（决胜中考）一次函数小专题训练-2025年中考数学一轮复习

（决胜中考）一次函数小专题训练-2025年中考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•清镇市期中）以下函数中y是x的一次函数的是（　　） ①y＝﹣2x2 ②y＝x ③ ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2024秋•舒城县校级月考）动点A（2a，3a﹣1）的运动轨迹表达式为（　　） A．y＝2x B．y＝3x﹣1 C． D． 3．（2024秋•天长市月考）已知函数y＝（3a﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•福州模拟）已知一次函数y＝（m﹣3）x+n+3的图象如图所示，则点P（m﹣n，2n）所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024•湖北模拟）清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　） A．乙提速后每分钟攀登30米 B．乙攀登到300米时共用时11分钟 C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟 D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米 6．（2024•喀什地区一模）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．（2024春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx的图象经过点P1（﹣1，y1），P2（2，y2），且y1＞y2，则k的值可能为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 8．（2024秋•竞秀区校级月考）一次函数y＝﹣2x+5的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．点P的坐标为（　　）时，矩形OCPD的面积为2． A．（2，1） B．（1，2）或 C． D．（2，1）或 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•南岗区月考）在函数中，自变量x的取值范围是 　 　． 10．（2024秋•朝阳区校级月考）已知直线y＝kx+b（k、b是常数）经过点（1，1），且y随x的增大而增大，则b的值可以是 　 　．（写出一个即可） 11．（2024秋•长寿区校级月考）若一次函数y＝﹣2x+3的图象向上平移4个单位长度后经过点（m，1），则m的值为 　 　． 12．（2024春•丰都县期末）如果关于x的分式方程有非负整数解，一次函数y＝（m+4）x+m﹣3的图象过一、三、四象限，则所有符合条件的整数m的和是 　 　． 13．（2024秋•榆次区校级月考）如图，直线AB的表达式为y＝2x+5，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，则线段EF的最小值为 　 　． 14．（2024秋•锦江区校级月考）已知一次函数y＝kx﹣1中，k满足，那么直线y＝kx﹣1与x轴的交点坐标为 　 　． 15．（2024•龙岗区三模）如图，已知函数y＝ax+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），则不等式ax+b≤kx﹣3的解集是 　 　． 16．（2024春•西城区期末）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的1.2倍快步赶往图书馆，并在从家出发20min时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示． （1）小华从家出发 　 　min时，爸爸追上小华； （2）图书馆离小华家 　 　m． 三．解答题（共5小题） 17．（2024•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标； （2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围． 18．（2024•西山区校级模拟）某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，若用1200元购买，甲种服装比乙种服装少5件． （1）求甲、乙两种服装的进价； （2）现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，且购进这100件服装的费用不得超过7500元．甲种服装每件售价120元，乙种服装每件售价90元．设甲种服装购进a件，如果这100件服装都可售完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？ 19．（2024秋•铁西区月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x﹣6与x轴，y轴交于点A，B．我们定义点P（m，n）的五步平移变换点为点Q．当m＞0时，点Q的坐标为（m+4，n﹣1），当m≤0时，点Q的坐标为（m﹣2，n+3）． （1）点（1，2）的五步平移变换点的坐标为 　 　； （2）若点（a，4）的五步平移变换点在直线l上，求a的值； （3）若点E在直线y＝x+1上，点E的五步平移变换点为点F． ①点F到点A，B的距离相等，求点E的坐标； ②过点F作x轴的垂线交直线l于点R，若四边形EAFR有一组对边平行，求点R的坐标． 20．（2024秋•武侯区校级月考）在平面直角坐标系中，直线l1与直线l2：y＝2x交于点M（1，m），与x轴，y轴分别交于点A（3，0），B． （1）求m的值和直线l1的解析式； （2）如图1．已知点P（t，0）（t≠1）是x轴上的动点，过点P作垂直于x轴的直线，分别与直线l1和l2相交于D，C两点，过点D作DE∥x轴，交直线l2于点E． ①当CE＝3EO时，求t的值； ②如图2，过点C作CF⊥CE交l1于F，当动点P在x轴上运动时，试判断是否为一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 21．（2024秋•武侯区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于线段a，给出如下定义： 直线l1：y＝3x+b1经过线段a的一个端点，直线l2：y＝﹣2x+b2经过线段a的另一个端点，若直线l1与l2交于点M（点M不在线段a上），则称点M为线段a的“双线融合点”． 请阅读新定义，完成如下问题： （1）如图，线段a的两个端点分别为（2，2）和（4，3），求线段a的“双线融合点”； （2）点A（x1，y），是直线上的两个动点． ①点M为线段a的“双线融合点”，当“双线融合点”M的横坐标等于纵坐标时，求“双线融合点”M的坐标； ②正方形CDEF的四个顶点分别为C（t，t），D（t，﹣t），E（3t，﹣t），F（3t，t）．当点A，B在直线上运动时，不断产生线段AB的“双线融合点”，若所有的线段AB的“双线融合点”中，恰有两个点在正方形CDEF边上，直接写出t的取值范围． （决胜中考）一次函数小专题训练-2025年中考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•清镇市期中）以下函数中y是x的一次函数的是（　　） ①y＝﹣2x2 ②y＝x ③ ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：①y＝﹣2x2是二次函数，故此选项不符合题意； ②y＝x是一次函数，故此选项符合题意； ③y＝不是一次函数，是反比例函数，故此选项不符合题意； ④y＝﹣x是一次函数，故此选项符合题意． 故选：C． 2．（2024秋•舒城县校级月考）动点A（2a，3a﹣1）的运动轨迹表达式为（　　） A．y＝2x B．y＝3x﹣1 C． D． 【解答】解：根据题意，得， 由①，得③， 把③代入②，得y＝3×x﹣1＝x﹣1， ∴动点A（2a，3a﹣1）的运动轨迹表达式为． 故选：C． 3．（2024秋•天长市月考）已知函数y＝（3a﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵函数y＝（3a﹣1）x中y随x的增大而减小， ∴3a﹣1＜0， 解得， 故选：B． 4．（2024•福州模拟）已知一次函数y＝（m﹣3）x+n+3的图象如图所示，则点P（m﹣n，2n）所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：由题意得：m﹣3＞0，n+3＜0， ∴m＞3，n＜﹣3， ∴﹣n＞3， ∴m﹣n＞6，2n＜﹣6， ∴m﹣n＞0，2n＜0， 故选：D． 5．（2024•湖北模拟）清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　） A．乙提速后每分钟攀登30米 B．乙攀登到300米时共用时11分钟 C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟 D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米 【解答】解：甲的速度为：（300﹣100）÷20＝10（米/分）， 10×3＝30（米/分）， 即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意； 乙攀登到300米时共用时：2+（300﹣30）÷30＝11（分钟），故选项B不符合题意； 设y甲＝k1x+b1，y乙＝k2x+b2， 由函数图象得：， 解得， ∴y甲＝10x+100， ∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍， ∴乙提速后的速度为：30米/分， ∴乙从A到B的时间为：（300﹣30）÷30＝9， ∴t＝2+9＝11， ∴B（11，300）， ∴， 解得， ∴y乙＝30x﹣30， （3）当y甲＝y乙时， 则10x+100＝30x﹣30， 解得x＝6.5， 即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟，故选项C不符合题意； 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了：6.5×10+30+30×（6.5﹣2）＝65+30+135＝230（米），故选项D符合题意． 故选：D． 6．（2024•喀什地区一模）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知，k＜0，b＞0， ∴﹣b＜0， ∴一次函数y＝﹣bx+k的图象经过二、三、四象限． 故选：B． 7．（2024春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx的图象经过点P1（﹣1，y1），P2（2，y2），且y1＞y2，则k的值可能为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【解答】解：正比例函数y＝kx的图象经过点P1（﹣1，y1），P2（2，y2）， ∵﹣1＜2，y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴k可能为﹣1． 故选：D． 8．（2024秋•竞秀区校级月考）一次函数y＝﹣2x+5的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．点P的坐标为（　　）时，矩形OCPD的面积为2． A．（2，1） B．（1，2）或 C． D．（2，1）或 【解答】解：∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，点P在线段AB上（不与点A，B重合）， ∴设点P的坐标为（m，﹣2m+5）（0＜m＜2.5）， ∴OC＝m，OD＝﹣2m+5． 由矩形面积为2可得：m（﹣2m+5）＝2， ∴2m2﹣5m+2＝0， ∴m1＝2，， ∴点P的坐标为（2，1）或． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•南岗区月考）在函数中，自变量x的取值范围是 　x≠5　． 【解答】解：由题意得：x﹣5≠0， 解得：x≠5， ∴自变量x的取值范围是x≠5， 故答案为：x≠5． 10．（2024秋•朝阳区校级月考）已知直线y＝kx+b（k、b是常数）经过点（1，1），且y随x的增大而增大，则b的值可以是 　0（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【解答】解：∵直线y＝kx+b（k、b是常数）经过点（1，1）， ∴1＝k+b． ∵y随x的增大而增大， ∴k＞0， 当k＝1时，1＝1+b， 解得：b＝0， ∴b的值可以是0． 故答案为：0（答案不唯一）． 11．（2024秋•长寿区校级月考）若一次函数y＝﹣2x+3的图象向上平移4个单位长度后经过点（m，1），则m的值为 　3　． 【解答】解；由“上加下减”的法则可知，一次函数y＝﹣2x+3的图象向上平移4个单位长度后的直线解析式为y＝﹣2x+3+4，即y＝﹣2x+7， ∵函数y＝﹣2x+3的图象向上平移4个单位长度后经过点（m，1）， ∴1＝﹣2m+7， ∴m＝3， 故答案为：3． 12．（2024春•丰都县期末）如果关于x的分式方程有非负整数解，一次函数y＝（m+4）x+m﹣3的图象过一、三、四象限，则所有符合条件的整数m的和是 　﹣4　． 【解答】解：， x﹣（m+1）＝2（x﹣2）， 解得x＝3﹣m， ∵x﹣2≠0， ∴3﹣m﹣2≠0， 解得m≠1， ∵分式方程的解为非负整数解， ∴3﹣m≥0， 解得m≤3， ∴m≤3且m≠1（m为整数）， ∵一次函数y＝（m+4）x+m﹣3的图象过一、三、四象限， ∴m+4＞0且m﹣3＜0， 解得﹣4＜m＜3， 综上所述，m的取值范围为﹣4＜m＜3且m≠1且m为整数， 即m为﹣3、﹣2、﹣1、0、2， 它们的和为﹣4． 故答案为：﹣4． 13．（2024秋•榆次区校级月考）如图，直线AB的表达式为y＝2x+5，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，则线段EF的最小值为 　　． 【解答】解：连接OP，如图， ∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F， ∴∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴四边形OEPF是矩形， ∴OP＝EF， 当OP⊥AB时，OP有最小值，如图， ∵直线AB的解析式为y＝2x+5， ∴A（0，5），， ∴OA＝5，， ∴AB＝＝， ∵S△AOB＝， ∴， ∴， ∴线段EF的最小值为， 故答案为：． 14．（2024秋•锦江区校级月考）已知一次函数y＝kx﹣1中，k满足，那么直线y＝kx﹣1与x轴的交点坐标为 　（﹣，0）或（1，0）　． 【解答】解：∵k＝＝＝， 当a+b+c＝0时，k＝﹣2； 当a+b+c≠0时，k＝＝1， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣1或y＝x﹣1． 当y＝0时，﹣2x﹣1＝0或x﹣1＝0， 解得：x＝﹣或x＝1， ∴直线y＝kx﹣1与x轴的交点坐标为（﹣，0）或（1，0）． 故答案为：（﹣，0）或（1，0）． 15．（2024•龙岗区三模）如图，已知函数y＝ax+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），则不等式ax+b≤kx﹣3的解集是 　x≤4　． 【解答】解：∵函数y＝ax+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6）， ∴不等式ax+b≤kx﹣3的解集是x≤4． 故答案为x≤4． 16．（2024春•西城区期末）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的1.2倍快步赶往图书馆，并在从家出发20min时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示． （1）小华从家出发 　10　min时，爸爸追上小华； （2）图书馆离小华家 　1760　m． 【解答】解：（1）由图象可知，小华从家出发10min时，与爸爸的距离为0，即爸爸追上小华时，小华从家出发10min； 故答案为：10； （2）由图象可知，爸爸追上小华后用14﹣10＝4（min）回到家， ∴小华提速前的速度与爸爸的速度比为4：10＝， 设爸爸速度为x m/min，则小华提速前的速度为x m/min，提速后速度为x×1.2＝x m/min， ∴4（x+x）＝1184， 解得x＝200， ∴小华提速前的速度为x＝200×＝80（m/min），提速后速度为x＝200×＝96（m/min）， ∵10×80+（20﹣10）×96＝1760（m）， ∴图书馆离小华家1760m， 故答案为：1760． 三．解答题（共5小题） 17．（2024•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标； （2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2）， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝x+1； 在y＝x+1中，令y＝0得0＝x+1， 解得x＝﹣3， ∴B的坐标为（﹣3，0）； （2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0， ∵当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值， ∴﹣3+m≥0， 解得m≥3， ∴m的取值范围是m≥3． 18．（2024•西山区校级模拟）某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，若用1200元购买，甲种服装比乙种服装少5件． （1）求甲、乙两种服装的进价； （2）现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，且购进这100件服装的费用不得超过7500元．甲种服装每件售价120元，乙种服装每件售价90元．设甲种服装购进a件，如果这100件服装都可售完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？ 【解答】解：（1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价（x+20）元， 据题意得：， 解得：x1＝60，x2＝﹣80（不合题意，舍去）， 经检验x＝60是原方程的根，且符合题意． 答：甲种服装的进价为80元，乙种服装的进价为60元； （2）设计划购买a件甲种服装，则购买（100﹣a）件乙种服装， 根据题意得 解得65≤a≤75，且a是整数， 设总利润为w元，则w＝（120﹣80）a+（90﹣60）（100﹣a）＝10a+3000， ∵10＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝75时，w有最大值， ∴购进甲种服装75件，乙种服装25件才能获得最大利润． 19．（2024秋•铁西区月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x﹣6与x轴，y轴交于点A，B．我们定义点P（m，n）的五步平移变换点为点Q．当m＞0时，点Q的坐标为（m+4，n﹣1），当m≤0时，点Q的坐标为（m﹣2，n+3）． （1）点（1，2）的五步平移变换点的坐标为 　（5，1）　； （2）若点（a，4）的五步平移变换点在直线l上，求a的值； （3）若点E在直线y＝x+1上，点E的五步平移变换点为点F． ①点F到点A，B的距离相等，求点E的坐标； ②过点F作x轴的垂线交直线l于点R，若四边形EAFR有一组对边平行，求点R的坐标． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x﹣6与x轴，y轴交于点A，B．我们定义点P（m，n）的五步平移变换点为点Q．当m＞0时，点Q的坐标为（m+4，n﹣1）， ∵点（1，2）中，m＝1＞0， ∴（1，2）的五步平移变换点的坐标为（5，1）， 故答案为：（5，1）； （2）当a＞0时，点（a，4）的五步平移变换点（a+4，3）， ∵点（a+4，3）在l：y＝2x﹣6上， ∴2（a+4）﹣6＝3， 解得； 当a≤0时，点（a，4）的五步平移变换点（a﹣2，7）， ∵点（a﹣2，7）在l：y＝2x﹣6上， ∴2（a﹣2）﹣6＝7， 解得；不符合题意，舍去， 故； （3）∵点E在直线y＝x+1上，设点E（t，t+1）， ∴当t＞0时，点F的坐标为（t+4，t）；当t≤0时，点F的坐标为（t﹣2，t+4）． ∵直线l：y＝2x﹣6与x轴，y轴交于点A，B， ∴A（3，0），B（0，﹣6）． ①当t＞0时，点F的坐标为（t+4，t）， ∵点F到点A，B的距离相等， ∴（t+4﹣3）2+t2＝（t+4）2+（t+6）2， 解得，不符合题意，舍去； 当t≤0时，点F的坐标为（t﹣2，t+4）， ∵点F到点A，B的距离相等， ∴（t﹣2﹣3）2+（t+4）2＝（t﹣2）2+（t+4+6）2， 解得，符合题意； 故． ②解：当t＞0时，点E（t，t+1），点F的坐标为（t+4，t）， ∵过点F作x轴的垂线交直线l于点R，如图1，且直线l：y＝2x﹣6， ∴R（t+4，2t+2）， 当E2A∥F2R2时，此时E2（3，4）即t＝3， 此时R2（7，8）； 当E1R1∥AF1时，此时， ∵点E1（t，t+1），点F的坐标为（t+4，t），R1（t+4，2t+2），A（3，0）， 设直线E1R1的解析式为y＝k1x+b1， ∴， 解得， 同理可证，， ∴， 解得t＝1， 此时R1（5，4）； 当t≤0时，如图2，四边形EAFR凹四边形，故没有平行的对边， 综上所述，满足条件的R的坐标为R1（5，4）或R2（7，8）． 20．（2024秋•武侯区校级月考）在平面直角坐标系中，直线l1与直线l2：y＝2x交于点M（1，m），与x轴，y轴分别交于点A（3，0），B． （1）求m的值和直线l1的解析式； （2）如图1．已知点P（t，0）（t≠1）是x轴上的动点，过点P作垂直于x轴的直线，分别与直线l1和l2相交于D，C两点，过点D作DE∥x轴，交直线l2于点E． ①当CE＝3EO时，求t的值； ②如图2，过点C作CF⊥CE交l1于F，当动点P在x轴上运动时，试判断是否为一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）∵直线l1与直线l2：y＝2x交于点M（1，m）， ∴m＝2， ∴M（1，2）， 设直线l1的解析式为y＝kx+b， 由题意可得：， 解得， ∴直线l1的解析式为y＝﹣x+3； （2）①由题意，D（t，﹣t+3），C（t，2t）， 当1＜t＜3时，如图1，则DP＝﹣t+3，CD＝2t﹣（﹣t+3）＝3t﹣3， ∵DE∥x轴，CE＝3EO， ∴， ∴CD＝3DP， ∴3t﹣3＝3（﹣t+3）， ∴t＝2； 当t＞4时，如图2，则DP＝﹣（﹣t+3）＝t﹣3，CD＝2t﹣（﹣t+3）＝3t﹣3， ∵DE∥x轴，CE＝3EO， ∴， ∴CD＝3DP， ∴3t﹣3＝3（t﹣3），此方程无解； 当0＜t＜1时，如图4，由EO＞CE得CE＝3EO不成立； 当t＜0时，如图5，则DP＝﹣t+3，CD＝﹣t+3﹣2t＝﹣3t+3， ∵DE∥x轴，CE＝3EO， ∴， ∴CD＝3DP， ∴﹣3t+3＝3（﹣t+3），方程无解， 综上，满足条件的t值为2； ②当t＞1时，如图2，由题意，设F（k，﹣k+3）， 由①知，C（t，2t），D（t，﹣t+3），，，CD＝2t﹣（﹣t+3）＝3t﹣3， ∵CF⊥CE， ∴∠FCK+∠ECD＝90°， 过F作FK⊥CD，交DC延长线于K，则∠FKC＝∠CDE＝90°， ∴FK＝t﹣k，CK＝﹣k+3﹣2t，∠FCK+∠CFK＝90°， ∴∠ECD＝∠CFK， ∴△CED∽△FCK， ∴， 由得，即﹣2k+6﹣4t＝t﹣k， 解得k＝6﹣5t，则FK＝t﹣（6﹣5t）＝6t﹣6， ∴； 当t＜1时，如图5， 同理可得△FCK∽△CED， ， ∵CD＝﹣t+3﹣2t＝﹣3t+3，，CK＝2t﹣（﹣k+3）＝2t+k﹣3，FK＝k﹣t， 由， ∴， ∴k﹣t＝4t+2k﹣6， ∴k＝6﹣5t， ∴FK＝6﹣5t﹣t＝6﹣6t， ∴， ∴是一个定值，且． 21．（2024秋•武侯区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于线段a，给出如下定义： 直线l1：y＝3x+b1经过线段a的一个端点，直线l2：y＝﹣2x+b2经过线段a的另一个端点，若直线l1与l2交于点M（点M不在线段a上），则称点M为线段a的“双线融合点”． 请阅读新定义，完成如下问题： （1）如图，线段a的两个端点分别为（2，2）和（4，3），求线段a的“双线融合点”； （2）点A（x1，y），是直线上的两个动点． ①点M为线段a的“双线融合点”，当“双线融合点”M的横坐标等于纵坐标时，求“双线融合点”M的坐标； ②正方形CDEF的四个顶点分别为C（t，t），D（t，﹣t），E（3t，﹣t），F（3t，t）．当点A，B在直线上运动时，不断产生线段AB的“双线融合点”，若所有的线段AB的“双线融合点”中，恰有两个点在正方形CDEF边上，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）如图，当l1：y＝3x+b1经过点（2，2），l2：y＝﹣2x+b2经过（4，3）时， ∴2＝3×2+b1，3＝﹣2×4+b2， 解得：b1＝﹣4，b2＝11， ∴直线l1：y＝3x﹣4，l2：y＝﹣2x+11 联立得， 解得：， ∴“双线融合点M”坐标为（3，5）； 如图， 当l1：y＝3x+b1经过点（4，3），l2：y＝﹣2x+b2经过（2，2）时， ∴3＝3×4+b1，2＝﹣2×2+b2， 解得：b1＝﹣9，b2＝6， ∴直线l1：y＝3x﹣9，l2：y＝﹣2x+6， 联立得， 解得：， ∴“双线融合点M”坐标为（3，0）； 综上可知：线段a的“双线融合点”为（3，5）或（3，0）； （2）①∵点A（x1，y），是直线上的两个动点， ∴， 设x1＝2m，则， ∴点A（2m，m），， i）当l1：y＝3x+b1经过点A（2m，m），l2：y＝﹣2x+b2经过时 ∴m＝3×2m+b1，， 解得：b1＝﹣5m，， ∴直线l1：y＝3x﹣5m，， 联立得， 解得：， ∴“双线融合点”M的坐标为， ∵“双线融合点”M的横坐标等于纵坐标， ∴，解得：， ∴“双线融合点”M的坐标为； ii）当l1：y＝3x+b1经过点，l2：y＝﹣2x+b2经过时A（2m，m）时， ∴，m＝﹣2×2m+b2， 解得：，b2＝5m， ∴直线，l2：y＝﹣2x+5m， 联立得， 解得：， ∵“双线融合点”M的横坐标等于纵坐标， “双线融合点”M的坐标为， ∴，解得：， ∴“双线融合点”M的坐标为； 综上可知：“双线融合点”M的坐标为或； ②设线段AB的“双线融合点”为M，N， 由上可得：，， ∴消去m得：，， 即线段AB的“双线融合点”为M，N在直线或上运动， i）t＞0时， 如图，当经过点E（3t，﹣t）时，一个点在正方形CDEF边上， ∴，解得：， 如图，当经过点C（t，t）时，三个点在正方形CDEF边上， ∴，解得：， ∴恰有两个点在正方形CDEF边上，t的取值范围为； ii）t＜0时， 如图，当经过点E（3t，﹣t）时，一个点在正方形CDEF边上， ∴，解得：， 如图，当经过点C（t，t）时，三个点在正方形CDEF边上， ∴，解得：， ∴恰有两个点在正方形CDEF边上，t的取值范围为； 综上可知：恰有两个点在正方形CDEF边上，t的取值范围为或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$