第1章一元二次方程 测试卷2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程测试卷2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•新昌县期末）用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•天河区校级月考）方程4x2﹣x﹣1＝0中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．4、﹣1、﹣1 B．4、﹣1、1 C．4、﹣1、2 D．4、﹣1、3 3．（2024秋•番禺区校级月考）关于x的一元二次方程2x2+3kx﹣1＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 4．（2024秋•番禺区校级月考）设x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则+3x1x2+的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2024秋•红桥区期中）解一元二次方程（x+6）2﹣9＝0时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为x+6＝3，则另一个一元一次方程为（　　） A．x+6＝﹣3 B．x+6＝﹣9 C．x﹣6＝﹣3 D．x﹣6＝﹣9 6．（2024秋•铁岭县校级月考）保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出符合题意的方程是（　　） A．100（1﹣x）＝81 B．100（1+2x）＝81 C．81（1﹣x）2＝100 D．81（1+x）2＝100 7．（2024秋•蓬江区校级月考）怡福中学体育组计划组织一场篮球邀请赛，参赛队伍由同学们自由组合，参赛的每两个队伍之间都要比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排10天，每天安排3场比赛，则可以邀请的队伍有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 8．（2024秋•新城区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx﹣c＝0（a≠0），下列说法： ①若a﹣c＝b，则b2+4ac≥0； ②若方程ax2﹣c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx﹣c＝0必有两个不相等的实根； ③若x＝c是方程ax2+bx﹣c＝0的一个根，则一定有ac+b﹣1＝0成立； ④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx﹣c＝0的根，则b2+4ac＝（2ax0+b）2 其中正确的是（　　） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 二．填空题（共7小题） 9．（2024秋•越秀区校级月考）一元二次方程x2＝2024x的解是 　 　． 10．（2024秋•番禺区校级月考）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　． 11．（2024秋•闵行区期中）一元二次方程x2﹣x+4＝0的根的判别式的值是 　 　． 12．（2024秋•越秀区校级月考）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x1+x2﹣4x1x2的值为 　 　． 13．（2024秋•天河区校级月考）某商店以每件25元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（400﹣10a）件，商店计划要盈利500元，则可列方程为 　 　． 14．（2024秋•新城区校级月考）下列说法： ①方程ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程； ②方程3x2＝4的常数项是4； ③当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解； ④若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根．其中正确的是 　 　． 15．（2024秋•西山区校级月考）如图，在宽AD为18米，长AB为28米的矩形地面上修筑三条同样宽的道路（阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为368平方米，求道路的宽，若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为 　 　． 三．解答题（共6小题） 16．（2024秋•渝中区校级月考）解方程： （1）x2﹣2x+1＝0； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0． 17．（2024秋•蓬江区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，满足x1x2﹣x1﹣x2＝m2﹣31？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 18．（2024秋•南海区校级月考）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，依题意，可列方程 　 　； （2）从7月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物每件售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 19．（2024•凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长． （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 20．（2024秋•衡阳月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①x2﹣x﹣6＝0；②． （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． （3）若关于x的方程mx2+nx+2＝0（m，n是常数，m＞0）是“邻根方程”，令t＝n2﹣4m2，试求t的最大值． 21．（2024秋•齐河县校级月考）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加2m/s． （1）设vt（单位：m/s）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和vt数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … vt（米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）若斜面A的坡面MN长为16m，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少1.6m/s．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程s＝平均速度×运动时间t，，v0是开始时速度，vt是t秒时的速度） 第1章一元二次方程测试卷2024-2025学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•新昌县期末）用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：x2﹣x﹣＝0， x2﹣x＝， x2﹣x+＝+， （x﹣）2＝4． 故选：A． 2．（2024秋•天河区校级月考）方程4x2﹣x﹣1＝0中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．4、﹣1、﹣1 B．4、﹣1、1 C．4、﹣1、2 D．4、﹣1、3 【解答】解：方程4x2﹣x﹣1＝0中二次项系数是4，一次项系数是﹣1，常数项分别是﹣1， 即方程4x2﹣x﹣1＝0中二次项系数、一次项系数、常数项分别是4、﹣1、﹣1， 故选：A． 3．（2024秋•番禺区校级月考）关于x的一元二次方程2x2+3kx﹣1＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【解答】解：在关于x的一元二次方程2x2+3kx﹣1＝0中，a＝2，b＝3k，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝9k2+8， 因为k2＞0，所以Δ＝b2﹣4ac＝9k2+8＞0， 所以关于x的一元二次方程2x2+3kx﹣1＝0根的情况是有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．（2024秋•番禺区校级月考）设x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则+3x1x2+的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：由题意得，x1+x2＝3，x1x2＝﹣2， 所以 ＝ ＝32+（﹣2） ＝9﹣2 ＝7， 故选：D． 5．（2024秋•红桥区期中）解一元二次方程（x+6）2﹣9＝0时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为x+6＝3，则另一个一元一次方程为（　　） A．x+6＝﹣3 B．x+6＝﹣9 C．x﹣6＝﹣3 D．x﹣6＝﹣9 【解答】解：原方程变形为：（x+6）2＝9， ∴x+6＝±3， ∴x+6＝3或x+6＝﹣3， 故选：A． 6．（2024秋•铁岭县校级月考）保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出符合题意的方程是（　　） A．100（1﹣x）＝81 B．100（1+2x）＝81 C．81（1﹣x）2＝100 D．81（1+x）2＝100 【解答】解：这两年培育新品种数量的平均年增长率为x， 根据经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子得： 81（1+x）2＝100， 故选：D． 7．（2024秋•蓬江区校级月考）怡福中学体育组计划组织一场篮球邀请赛，参赛队伍由同学们自由组合，参赛的每两个队伍之间都要比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排10天，每天安排3场比赛，则可以邀请的队伍有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【解答】解：设比赛组织者应邀请x队参赛， ∵赛程计划安排10天，每天安排3场比赛， ∴共10×3＝30场比赛， 则由题意可列方程为x（x﹣1）＝30． 解得：x1＝6，x2＝﹣5舍去）， 答：可以邀请的队伍6队参赛． 故选：B． 8．（2024秋•新城区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx﹣c＝0（a≠0），下列说法： ①若a﹣c＝b，则b2+4ac≥0； ②若方程ax2﹣c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx﹣c＝0必有两个不相等的实根； ③若x＝c是方程ax2+bx﹣c＝0的一个根，则一定有ac+b﹣1＝0成立； ④若x＝x0是一元二次方程ax2+bx﹣c＝0的根，则b2+4ac＝（2ax0+b）2 其中正确的是（　　） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 【解答】解：①若a﹣c＝b，即a﹣b﹣c＝0， 则x＝﹣1是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：b2﹣4a（﹣c）＝b2+4ac≥0， 故①正确； ②∵方程ax2﹣c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4ac＞0， 又∵方程ax2+bx﹣c＝0的判别式为Δ＝b2+4ac， ∴b2+4ac＞0， ∴方程ax2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根， 故②正确； ③x＝c是一元二次方程的一个根， ∴ac2+bc﹣c＝0， ∴c（ac+b﹣1）＝0， ∴c＝0或ac+b+1＝0， 故③错误； ④若x＝x0是方程的根， ∴或， ∴或， ∴， 故④正确． 故选：A． 二．填空题（共7小题） 9．（2024秋•越秀区校级月考）一元二次方程x2＝2024x的解是 　x1＝0，x2＝2024　． 【解答】解：x2＝2024x， 移项，得x2﹣2024x＝0， 分解因式，得x（x﹣2024）＝0， 则x＝0，x﹣2024＝0， 解得x1＝0，x2＝2024． 故答案为：x1＝0，x2＝2024． 10．（2024秋•番禺区校级月考）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　﹣1　． 【解答】解：由题意可知，m﹣3≠0且|m﹣1|＝2， 解得：m≠3，且m＝3或m＝﹣1， ∴m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 11．（2024秋•闵行区期中）一元二次方程x2﹣x+4＝0的根的判别式的值是 　﹣15　． 【解答】解：Δ＝（﹣1）2﹣4×1×4＝﹣15． 故答案为：﹣15． 12．（2024秋•越秀区校级月考）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x1+x2﹣4x1x2的值为 　7　． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2， ∴x1+x2﹣4x1x2 ＝﹣1﹣4×（﹣2） ＝﹣1+8 ＝7． 故答案为：7． 13．（2024秋•天河区校级月考）某商店以每件25元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（400﹣10a）件，商店计划要盈利500元，则可列方程为 　（a﹣25）（400﹣10a）＝500　． 【解答】解：∵每件商品的进价为25元，每件商品售价a元， ∴每件商品盈利（a﹣25）元． 根据题意得：（a﹣25）（400﹣10a）＝500， 故答案为：（a﹣25）（400﹣10a）＝500． 14．（2024秋•新城区校级月考）下列说法： ①方程ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程； ②方程3x2＝4的常数项是4； ③当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解； ④若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根．其中正确的是 　④　． 【解答】解：①方程ax2+bx+c＝0，若a＝0，则该方程不是关于x的一元二次方程，原说法错误，不符合题意； ②方程3x2＝4整理为一般形式为3x2﹣4＝0，其常数项是﹣4，原说法错误，不符合题意； ③当一次项系数为0时，一元二次方程不一定有解，原说法错误，不符合题意； ④若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根，正确，符合题意， 故答案为：④． 15．（2024秋•西山区校级月考）如图，在宽AD为18米，长AB为28米的矩形地面上修筑三条同样宽的道路（阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为368平方米，求道路的宽，若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为 　（28﹣2x）（18﹣x）＝368　． 【解答】解：∵AB＝28米，AD＝18米，且道路宽为x米， ∴余下部分可合成长为（28﹣2x）米，宽为（18﹣x）米． 根据题意得：（28﹣2x）（18﹣x）＝368． 故答案为：（28﹣2x）（18﹣x）＝368． 三．解答题（共6小题） 16．（2024秋•渝中区校级月考）解方程： （1）x2﹣2x+1＝0； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0． 【解答】解：（1）∵x2﹣2x+1＝0， ∴（x﹣1）2＝0， ∴x﹣1＝0， ∴x1＝x2＝1； （2）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0， ∴（x﹣2）（x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或x+1＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1． 17．（2024秋•蓬江区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，满足x1x2﹣x1﹣x2＝m2﹣31？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（2m﹣1）＞0， 解得：m＜5， ∴m的取值范围为m＜5； （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1， ∵x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝2m﹣1﹣6＝m2﹣31， ∴m2﹣2m﹣38＝0， 解得：m1＝1﹣，m2＝1+（不符合题意，舍去）， ∴存在实数m＝1﹣，满足x1x2﹣x1﹣x2＝m2﹣31． 18．（2024秋•南海区校级月考）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，依题意，可列方程 　256（1+x）2＝400　； （2）从7月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物每件售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【解答】解：（1）根据题意得：256（1+x）2＝400． 故答案为：256（1+x）2＝400； （2）设该吉祥物每件售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 整理得：y2﹣113y+3150＝0， ∴（y﹣50）（y﹣63）＝0， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）． 答：该吉祥物每件售价为50元时，月销售利润达8400元． 19．（2024•凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长． （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m， 根据题意得：x（28+2﹣3x）＝72， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝4，x2＝6， 当x＝4时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×4＝18＞15，不符合题意，舍去； 当x＝6时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×6＝12＜15，符合题意． 答：AB的长为6m； （2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由如下： 假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m， 根据题意得：y（28+2﹣3y）＝80， 整理得：3y2﹣30y+80＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×3×80＝﹣60＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2． 20．（2024秋•衡阳月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①x2﹣x﹣6＝0；②． （2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． （3）若关于x的方程mx2+nx+2＝0（m，n是常数，m＞0）是“邻根方程”，令t＝n2﹣4m2，试求t的最大值． 【解答】解：（1）①解方程得：x1＝3，x2＝﹣2， ∵3﹣（﹣2）＝5， ∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”； ②解方程得：，， ∵， ∴原方程是“邻根方程”； （2）解方程得：（x+3）（x﹣k）＝0， ∴x1＝k，x2＝﹣3， 由于方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0是“邻根方程”， 则k﹣（﹣3）＝1或﹣3﹣k＝1， 解得k＝﹣2或k＝﹣4； （3）解方程得：， ∵关于x的方程mx2+nx+2＝0（m，n是常数，m＞0）是“邻根方程”， ∴， 整理得n2＝m2+8m， ∵t＝n2﹣4m2， ∴， ∴当时，t有最大值． 21．（2024秋•齐河县校级月考）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加2m/s． （1）设vt（单位：m/s）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和vt数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … vt（米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：a＝ 　4　，b＝ 　6　； （2）若斜面A的坡面MN长为16m，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少1.6m/s．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程s＝平均速度×运动时间t，，v0是开始时速度，vt是t秒时的速度） 【解答】解：（1）由题意可得：a＝2+2＝4，b＝2+2+2＝6； 故答案为：4；6； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为2t米/秒，由题意可得：16＝•t， ∴t＝±4， 又∵t＞0， ∴t＝4， 答：此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴0＝8﹣1.6t， 解得：t＝5， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$