精品解析：吉林省长春市九台区2024-2025学年上学期阶段性教学质量监测九年级数学试题

2024-2025学年度第一学期阶段性教学质量监测 九年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C D. 2. 用配方法将方程进行配方得（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则表示实数的点会落在数轴的（　　） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 5. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 6. 如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，若点C在函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 使有意义的x的取值范围是_______． 10. 如果，那么的值等于_____________． 11. 若m是方程的一个实数根，则代数式的值为________． 12. 已知、是方程的两根，则______________ 13. 如图，在中，，直尺一边与重合，另一边分别交，于点，．点，，，处的读数分别为15，12，0，1，直尺宽的长为，则的长为______． 14. 在中，，．在上取一点F，以B点为圆心，为半径作弧，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，连接，如图．在结论中：①；②；③；④当时，．其中正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共78分） 15. 计算： 16. 解方程：． 17. 如图，图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、M、N均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图时只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中，点P为与的交点，则的值为________； （2）在图②中，在线段上确定一点Q，使； （3）图③中，在线段上确定一点K，连结、，使． 18. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）当为正整数时，求方程的解． 19. 如图，中，，点、分别在、上，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 某校准备在一块长为米，宽为米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为米． （1）花园内的小路面积为______平方米用含的代数式表示． （2）若草坪面积为平方米时，求这时道路宽度的值． 21. 2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛．某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型．已知该模型每件成本40元，当模型售价为70元时，10月售出256件，11月、12月销量持续走高，并且11月、12月销售量的增长率相同，假如12月售出400件． （1）求11月、12月这两个月销量的月平均增长率． （2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售．若模型单价每降低1元，可多售出5件．若要使该商店仍能获利9000元，则每件模型应降价多少元？ 22. 【三角形中位线定理】已知：在中，点，分别是边，的中点．直接写出和的关系为 ； 【应用】如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，若，，，，则的度数为 度； 【拓展】如图，在四边形中，与相交于点，点，分别为，的中点，分别交，于点，，．求证：． 23. 如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标； （2）求直线MN的解析式； （3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 24. 如图，在中，于点，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线向终点运动，当点不与，B，C重合时，过点作交于点，过点作，使得，点、点在的同侧，连结，设点的运动时间为． （1）线段______； （2）当点在线段上时，______；（用含代数式表示） （3）当点落在的内部时，求的取值范围； （4）连结，当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段性教学质量监测 九年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程”对选项进行判断即可． 【详解】解：A．当时，原等式为，不满足一元二次方程的定义，不是一元二次方程，不符合题意； B．，未知数的最高次数是1，不满足一元二次方程的定义，不是一元二次方程，不符合题意； C．，满足一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； D．，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选C． 2. 用配方法将方程进行配方得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，按照完全平方公式，即可求解； 【详解】由题知，依据完全平方公式，对配方为： 故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，关键在熟练使用完全平方公式； 3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式：满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A.是最简二次根式，符合题意； B.，不是最简二次根式，不符合题意； C.，不是最简二次根式，不符合题意； D.，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的含义，二次根式的化简，掌握“最简二次根式的含义”是解本题的关键． 4. 若，则表示实数的点会落在数轴的（　　） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a范围，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：，即， ， ， ，即， 故实数的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 5. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； B、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； C、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 7. 如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行易证，由面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解． 详解】∵ ∴， ∴ ∵ ∴与周长之比为， 故选B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，若点C在函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用求出和，得到点C坐标即可求出k值． 【详解】解：作轴，垂足为点D， ∵点，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点C在函数的图象上， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 使有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得： x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义条件，比较简单． 10. 如果，那么的值等于_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 11. 若m是方程的一个实数根，则代数式的值为________． 【答案】2024 【解析】 【分析】由m是方程的一个实数根，可得，进而可得，然后整体代入所求的式子当中求值即可． 本题主要考查了一元二次方程的根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ， ， ． 故答案为：2024 12. 已知、是方程的两根，则______________ 【答案】6 【解析】 【分析】根据根与系数的关系变形后求解． 【详解】解：∵x1、x2是方程x2−2x−1＝0的两根， ∴x1＋x2＝2，x1×x2＝−1， ∴x12＋x22＝（x1＋x2）2−2x1x2＝22−2×（−1）＝6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1•x2＝． 13. 如图，在中，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．点，，，处的读数分别为15，12，0，1，直尺宽的长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】由题意得： ∵， ∴， ∴， ∵直尺宽的长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14. 在中，，．在上取一点F，以B点为圆心，为半径作弧，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，连接，如图．在结论中：①；②；③；④当时，．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线以及角平分线的性质．熟记相关结论识别出平分，垂直平分线段是解题关键．①证即可判断；②由①即可判断；③根据条件无法推出；④证得，设，则，即可判断． 【详解】解：由题意可知，平分，垂直平分线段， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中垂线， ∴，， ∴， ∴， ∴，因此①正确， ∴，因此②正确； 无法推出， ∴③不正确； ∵，， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 解得（舍去）或， 即，因此④正确， 综上所述，正确的结论有①②④． 三、解答题（本大题共78分） 15. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混和运算，先计算二次根式的乘法运算，化简二次根式，最后再计算二次根式的加减混合运算． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 17. 如图，图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、M、N均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图时只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中，点P为与的交点，则的值为________； （2）在图②中，在线段上确定一点Q，使； （3）图③中，在线段上确定一点K，连结、，使． 【答案】（1） （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）利用勾股定理求出，，问题得解； （2）取网格点S、T，连接交于点Q，根据可得：，即有，根据，即可得，问题得解； （3）取网格点U，连接交于点K，连接、，根据可得：，结合网格图可知，即可得，问题得解． 【小问1详解】 解：根据网格图可得：，， 则， 故答案为：； 【小问2详解】 解：作图如下，点Q即为所作； 【小问3详解】 解：作图如下，点K即为所作． 18. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）当为正整数时，求方程的解． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确理解并掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根得，计算即可； （2）根据m的取值范围可得，代入解方程即可． 【小问1详解】 方程有两个不相等的实数根， 解得：， ， ， 的取值范围为且； 【小问2详解】 为正整数，且， ， 当时，原方程为， 解这个方程得：，． 19. 如图，在中，，点、分别在、上，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，得出，即可证明； （2）先求出的长度，再根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ，， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质．有两个内角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例． 20. 某校准备在一块长为米，宽为米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为米． （1）花园内的小路面积为______平方米用含的代数式表示． （2）若草坪面积为平方米时，求这时道路宽度的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由亭子边长是小路宽度的倍，可得出亭子边长是米，利用花园内的小路面积小路的长度小路的宽度，即可用含的代数式表示出花园内的小路面积； （2）利用草坪的面积长方形花园的面积小路的面积亭子的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：小路宽度为米，亭子边长是小路宽度的倍， 亭子边长是米， 花园内的小路面积为平方米， 故答案为：； 【小问2详解】 依题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：这时道路宽度的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出花园内的小路面积；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 21. 2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛．某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型．已知该模型每件成本40元，当模型售价为70元时，10月售出256件，11月、12月销量持续走高，并且11月、12月销售量的增长率相同，假如12月售出400件． （1）求11月、12月这两个月销量的月平均增长率． （2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售．若模型单价每降低1元，可多售出5件．若要使该商店仍能获利9000元，则每件模型应降价多少元？ 【答案】（1）11月、12月这两个月的月平均增长率为 （2）每件模型应降价10元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，营销问题．熟练掌握终止件数与起始件数和增长率的关系，总利润与每件利润和件数的关系，是解决问题的关键． （1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为x，则11月售出件，12月售出件，再根据十二月售出400件列出方程求解即可； （2）设每件模型应降价m元，则每件模型的利润为元，销售量为件，再根据获利9000元列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设11月、12月这两个月的月销量平均增长率为． 根据题意得： ． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：11月、12月这两个月的月平均增长率为． 【小问2详解】 设当模型降价元时，该商店获利9000元． 根据题意得： ． 整理得：． 解得：（不合题意，舍去）． 答：每件模型应降价10元． 22. 【三角形中位线定理】已知：在中，点，分别是边，的中点．直接写出和的关系为 ； 【应用】如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，若，，，，则的度数为 度； 【拓展】如图，在四边形中，与相交于点，点，分别为，的中点，分别交，于点，，．求证：． 【答案】[三角形中位线定理]，；[应用]；[拓展]见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形中位线的应用是解题的关键． [三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； [拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，结合等腰三角形的判定和性质，平行线的性质即可得结论． 【详解】[三角形中位线定理]解：，； 理由：∵点，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 故答案为：，； [应用]解：如图所示，连接， ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展]证明：取的中点，连接、．如图： ∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴且， 同理可得且． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标； （2）求直线MN的解析式； （3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 【答案】（1）C（0，6）． （2）y=x+6． （3）P1（4，3），P2（）P3（），P4（）． 【解析】 【详解】试题分析： （1）通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）； （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值； （3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答． 试题解析： （1）解方程x2-14x+48=0得 x1=6，x2=8 ∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根 ∴OC=6，OA=8 ∴C（0，6） （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0） 由（1）知，OA=8，则A（8，0） ∵点A、C都在直线MN上 ∴ 解得， ∴直线MN的解析式为y=-x+6 （3） ∵A（8，0），C（0，6） ∴根据题意知B（8，6） ∵点P在直线MN y=-x+6上 ∴设P（a，--a+6） 当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论： ①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）； ②当PC=BC时，a2+（-a+6-6）2=64 解得，a=±，则P2（-，），P3（，） ③当PB=BC时，（a-8）2+（-a+6-6）2=64 解得，a=，则-a+6=- ∴P4（，） 综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2(-，)，P3(，)，P4（，-） 考点：一次函数综合题． 24. 如图，在中，于点，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线向终点运动，当点不与，B，C重合时，过点作交于点，过点作，使得，点、点在的同侧，连结，设点的运动时间为． （1）线段______； （2）当点在线段上时，______；（用含的代数式表示） （3）当点落在的内部时，求的取值范围； （4）连结，当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）首先根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后根据勾股定理即可求出线段的长度； （2）根据点P运动速度求出点P运动的路程，然后减去的长度即可求出的长度； （3）分两种情况，当点P在线段上时和点P在线段上时，分别利用相似三角形的性质计算出点M在线段上时和点M在线段上时的时间，即可求出t的取值范围； （4）分两种情况，当点P在线段上时和点P在线段上时，分别得出点M在线段上时和点M在线段上时是直角三角形，然后利用相似三角形的性质求出t的值，即可得出为锐角三角形时t的取值范围． 【小问1详解】 解：∵在中， ∴是等腰三角形 ∵于点D ∴（三线合一） ∴在中，由勾股定理得，； 【小问2详解】 解：∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线向终点B运动 ∴点P运动的路程为 ∴当点P在线段上时，； 【小问3详解】 解：当点P在线段上时， 由题意得，，， 如图所示，当点M在线段上时， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，即， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， 如图所示，当点M在线段上时， 同理可得，，，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，即， 解得：， ∴当时，点M落在的内部； 如图所示，当点P在线段上时，当点M在线段上时， 设，则， 同理可得，四边形是矩形，， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， 当点P运动到B点时，， ∴当时，点M落在的内部， 综上所述，当点M落在的内部时，t的取值范围是或； 【小问4详解】 解：当点M在线段上时，，即是直角三角形， 由（3）可得，此时， 当时，如图所示， ∵，，，则，， ∵，， 又∵， ∴ ∴，即， 解得：， ∴当时，是锐角三角形； 当点M在线段上时， 当时，即直角三角形，如图所示， 设，则，，，， 同理可得，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∵当点M在上时，此时，即是直角三角形， 由（3）可得，此时， ∴当时，是锐角三角形， ∴综上所述，当为锐角三角形时，t的取值范围是或． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形动点问题等知识，解题的关键是根据题意画出相应的图形，分情况讨论利用相似三角形的性质求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $