精品解析：陕西省西安市新城区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 九年级教学质量监测 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列投影是平行投影的是(　　) A. 太阳光下窗户的影子 B. 台灯下书本的影子 C. 在手电筒照射下纸片的影子 D. 路灯下行人的影子 2. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 4. 如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ④②①③ C. ④①②③ D. ①③④② 5. 如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线的交点，与相交于点，则的周长与的周长的比为（ ） A. B. C. 1：4 D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆轴，点A的坐标为，木杆在x轴上的影长为6，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（ ） A. 1，5 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则的值为_______． 10. 五边形五边形，且它们的相似比为．若五边形的面积为6，则五边形的面积为_______． 11. 如图，要在一块长30米、宽20米的矩形地面上，修建三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，另一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为468平方米，设道路的宽为米，则可列方程：__________． 12. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度为，则树高__________． 13. 如图，在矩形中，，，连接，点E，F分别在边，上，连接，分别交于点M，N．若，，则的长为__________________． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 解方程：． 15. 已知线段是成比例线段，其中，求线段的长． 16. 设是一元二次方程的两个实数根，求的值． 17. 如图，在锐角中，作一个最大的菱形，使为所作菱形的一个内角．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长． 19. 已知是一元二次方程的一个根，求的值． 20. 如图，小树在路灯的照射下形成树影．已知路灯的高度为5m，树影为3m，树与路灯的水平距离为，求树高． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为． （2）在（1）的条件下，若为内部的一点，则点在内部的对应点的坐标为 ． 22. 小明参加某个智力竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉一个错误选项）． （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ． （2）如果小明将“求助”在第一题使用，请用画树状图或列表的方法，求小明顺利通关的概率． 23. 如图，这是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数． （1）请在方格图中，画出该几何体的主视图和左视图． （2）若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加个________小正方体． 24. 如图，在中，点分别在边上，，． （1）求证：． （2）若，求的长． 25. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点平分． （1）求证：四边形是菱形． （2）若于点，求的长． 26. 问题提出 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，且．若，则__________． 问题解决 （2）如图2，有一平行四边形板材，现需要从该板材中裁出一个形状为四边形的部件．已知点分别在边上，，，求部件四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 试卷类型：A 九年级教学质量监测 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列投影是平行投影的是(　　) A. 太阳光下窗户的影子 B. 台灯下书本的影子 C. 在手电筒照射下纸片的影子 D. 路灯下行人的影子 【答案】A 【解析】 【分析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案即可． 【详解】解：A、太阳光下窗户的影子，是平行投影，故本选项正确； B、台灯下书本的影子是中心投影，故本选项错误； C、在手电筒照射下纸片的影子是中心投影，故本选项错误； D、路灯下行人的影子是中心投影，故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查了平行投影特点：解题的关键是根据平行投影和中心投影的区别进行解答即可． 2. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是指从上面往下面看到的图形进行分析，作答即可． 【详解】解：依题意，该几何体的俯视图是， 故选：C． 3. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可． 【详解】解：A、只有正方形和矩形的对角线相等，菱形和平行四边形的对角线不一定相等，不符合题意； B、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，符合题意； C、只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，矩形和平行四边形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意； D、只有菱形和正方形的对角线互相垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质，解决本题的关键是结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质进行分析． 4. 如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ④②①③ C. ④①②③ D. ①③④② 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，在不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长，据此即可判断求解，掌握平行投影的特点和规律是解题的关键． 【详解】解：∵就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长， ∴影子的图按时间先后顺序进行排列为④②①③， 故选：． 5. 如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线的交点，与相交于点，则的周长与的周长的比为（ ） A. B. C. 1：4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，关键是判断两三角形相似，确定其相似比． 设小方格的边长为1，根据等腰直角三角形和勾股定理求出和的长，再根据得到，然后利用相似三角形的性质来求解． 【详解】解：如下图， 设小方格的边长为1， ∵、分别是边长为1和2的等腰直角三角形， ∴，，． ∵， ∴， ∴． 又∵ ， ∴， ∴的周长与的周长的比． 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆轴，点A的坐标为，木杆在x轴上的影长为6，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交轴于，作轴于，交于，由题意知，，，证明，则，即，可求，进而可求点B的坐标． 【详解】解：如图，延长交轴于，作轴于，交于， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故选：B． 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 8. 若关于的一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（ ） A. 1，5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解；利用换元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程（a≠0）的两根. 【详解】解：记，则即的两根为， 故或， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，设，，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：设，， 则 ． 故答案为：． 10. 五边形五边形，且它们的相似比为．若五边形的面积为6，则五边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形面积之比等于相似比的平方即可解答. 【详解】解：∵五边形五边形，它们的相似比为， ∴ ∵五边形的面积为6， ∴五边形的面积为 故答案为：. 11. 如图，要在一块长30米、宽20米的矩形地面上，修建三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，另一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为468平方米，设道路的宽为米，则可列方程：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：道路的宽为米， 由题意得，， 故答案为：． 12. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度为，则树高__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理求得，然后利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高． 【详解】解：在中，，， ∴， ，， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 13. 如图，在矩形中，，，连接，点E，F分别在边，上，连接，分别交于点M，N．若，，则的长为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，根据矩形的性质和勾股定理求出，证明，求出，再证明，，，对应边成比例即可解决问题． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， 由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， 解得：． 15. 已知线段是成比例线段，其中，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有，那么就说这四条线段成比例．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d． 【详解】解：已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入， 解得：． 16. 设是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后将所求式子变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 17. 如图，在锐角中，作一个最大的菱形，使为所作菱形的一个内角．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，菱形即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，作角平分线，作垂线，菱形的性质与判定；先作的角平分线交于点，再作的垂直平分线分别交于点，连接，则菱形即为所求． 【详解】解：证明：设交于点， ∵平分，， ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 18. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 19. 已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，注意一元二次方程（a、b、c是常数）的二次项系数不为零．根据一元二次方程的解得定义把代入一元二次方程，即可求出待定系数a的值，注意：一元二次方程的二次系数不为零． 【详解】解：将代入得， 20. 如图，小树在路灯的照射下形成树影．已知路灯的高度为5m，树影为3m，树与路灯的水平距离为，求树高． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质应用；根据可得，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∴， 解得： 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为． （2）在（1）的条件下，若为内部的一点，则点在内部的对应点的坐标为 ． 【答案】（1） 解：如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查位似图形作图，位似的性质． （1）由题意可知，分别为的中点，据此可确定的坐标，即可完成作图； （2）由位似的性质，将的横、纵坐标乘以，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在（1）的条件下，若为内部的一点，则点在内部的对应点的坐标为， 故答案为：． 22. 小明参加某个智力竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉一个错误选项）． （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ． （2）如果小明将“求助”在第一题使用，请用画树状图或列表的方法，求小明顺利通关的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用； （1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用，，表示第一道单选题的个选项，，，表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵第一道单选题有3个选项， ∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是： ； 故答案为：； 【小问2详解】 分别用，，表示第一道单选题的个选项，，，，表示剩下的第二道单选题的4个选项， 画树状图得： ∵共有8种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况， ∴小明顺利通关的概率为：． 23. 如图，这是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数． （1）请在方格图中，画出该几何体的主视图和左视图． （2）若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添加个________小正方体． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查三视图的画法； （1）根据三视图的画法，画出图形即可求解； （2）从俯视图的角度出发，同时考虑左视图的情况，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示：保持主视图和左视图不变，则最多可以添加1个小正方体． 24. 如图，在中，点分别在边上，，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由，可得，即得，又根据三角形外角性质可得，进而即可求证； （）证明得到，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形外角性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点平分． （1）求证：四边形是菱形． （2）若于点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理； （1）根据平行四边形的性质可得，则，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，根据等角对等边，可得，进而根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证； （2）勾股定理求得，进而根据等面积法，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵， ∴． 26. 问题提出 （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，且．若，则__________． 问题解决 （2）如图2，有一平行四边形板材，现需要从该板材中裁出一个形状为四边形的部件．已知点分别在边上，，，求部件四边形的周长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，等边三角形的判定和性质： （1）证明，即可求解； （2）过点E作于点G，延长至点H，使，连接，先根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，再证明是等边三角形，可得，然后证明，可得，，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为： （2）如图，过点E作于点G，延长至点H，使，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴部件四边形的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $