精品解析：辽宁省大连市中山区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

八年级阶段质量抽测 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 3. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是（ ） A. SAA B. ASA C. AAS D. SSS 4. 如图，，，添加一个条件，不能直接证明的是（ ） A. B. C. D. 5. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点P在的平分线上，于点F，于点E，若，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 9. 如图，在中，，垂直平分交于点．若的周长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，与交于点，过点作直线．和关于直线对称，点，的对称点分别是点，，连接，．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为______． 12. 计算______． 13. 已知，则_____． 14. 如图，在和中，，，，则______． 15. 如图，在中，，，，，，则的长度为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）直接写出，，的坐标． 18. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 19. 如图，为的外角，．作的平分线． （1）尺规作图：依题意补全图形（保留作图痕迹可加黑，不写作法）； （2）求证：． 20. 阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． （1）请完成图3中的证明； （2）如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； （3）如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 21. 定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． （1）若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； （2）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 22. 如图1，在中，，点在上，点在延长线上，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 　　， 　　．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点坐标是，点，，且，连接．求的度数； 【模型拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，若点坐标为，点在直线上，点在轴上，当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级阶段质量抽测 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案． 【详解】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意； B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 3. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是（ ） A. SAA B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键． 证明，进而可证射线是的角平分线，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 又∵，， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线， 故选：D． 4. 如图，，，添加一个条件，不能直接证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，，， ∴，故A不符合要求； ∵，，， ∴，故B不符合要求； ∵，，， ∴，故C不符合要求； ，，，不能直接证明，故D符合要求； 故选：D． 5. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得． 【详解】解：等腰三角形有一个内角为， ∴这个等腰三角形的底角是， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，零指数幂，积的乘方对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，正确，故符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，零指数幂，积的乘方等知识．熟练掌握合并同类项，单项式乘以单项式，零指数幂，积的乘方是解题的关键． 7. 李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘多项式法则求解即可． 【详解】解：长方形的面积为=， 故选：D． 8. 如图，已知点P在的平分线上，于点F，于点E，若，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，正确掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角的分线上的点到角的两边距离相等即可解题． 【详解】解：点P在的平分线上，于点F，于点E， ， ， ． 故选：A． 9. 如图，在中，，垂直平分交于点．若的周长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分交于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 10. 如图，与交于点，过点作直线．和关于直线对称，点，的对称点分别是点，，连接，．下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，，， ， 不一定垂直，故选项A不一定正确，符合题意， B、C、D选项不符合题意， 故选：A 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用乘法公式计算之后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的计算，能够熟练计算乘积是解题关键． 14. 如图，在和中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，，，则的长度为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，三角形的外角性质．先利用证明，求得，，，再利用三角形的外角性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵，设交于点． ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则； （1）利用单项式乘多项式法则展开计算即可； （2）利用多项式乘以多项式，再合并同类项，即可求解； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． ， ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）直接写出，，的坐标． 【答案】（1）见详解 （2）；； 【解析】 【分析】本题考查轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点的位置写出坐标即可； 【小问1详解】 解：如下图所示： 【小问2详解】 解：；； 18. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】略 19. 如图，为的外角，．作的平分线． （1）尺规作图：依题意补全图形（保留作图痕迹可加黑，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）按照作角平分线的方法，作图即可； （2）根据等腰三角形和三角形外角的性质，可得，即可求证． 【详解】（1）解：作图如下，为的平分线， （2）证明： 平分 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，尺规作图－角平分线，平行线的判定方法，三角形外角的性质，解题的关键是掌握相关基本性质进行求解． 20. 阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． （1）请完成图3中的证明； （2）如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； （3）如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）由题意知，是等边的对称轴，如图1，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； （3）由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据，即，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； 【小问2详解】 解：∵等边，是的平分线， ∴是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，连接，， ∴为的中点，为的平分线， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点，连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 21. 定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． （1）若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； （2）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】（1）是的“好多项式”，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，掌握“好多项式”和“极好多项式”的定义，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键. （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于的方程，解方程即可求解； 【小问1详解】 解： ， 是的“好多项式” 【小问2详解】 解： ． 当时，，， ， ， 当时， ， 22. 如图1，在中，，点在上，点在延长线上，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线，灵活运用三角形全等的性质是解题的关键； （1）根据，得到，由三角形外角的性质及角的关系即可得出结论； （2）根据，，进一步证明是等边三角形，在上取点，使，连接，证明是等边三角形．证明，即可证明； （3）根据，，进一步证明，延长至点，使，连接，，得出，同理，，． 【小问1详解】 证明：， ， 同理， ，， ； 【小问2详解】 证明：， ． ，， ． ． 是等边三角形． ，． 在上取点，使，连接， 是等边三角形． ，． ． 在和中， ， ． ． ，， ． ； 【小问3详解】 证明：， ． ． ，，． ． 延长至点，使，连接， 在和中， ， ． ，． ． ， ． 在和中， ． ． ， ． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 　　， 　　．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点坐标是，点，，且，连接．求的度数； 【模型拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，若点坐标为，点在直线上，点在轴上，当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；；（2）；（3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得结论； （2）如图2，过点作于点，证明，则，，最后证明△是等腰直角三角形，从而可解答此题； （3）分三种情况讨论：①当时，如图3，过点作轴于；②当时，如图4，过点作轴于；③当时，如图6，过点作轴于，过点作于；证明三角形全等，同理可得结论． 【详解】解：（1）， ， 在和中， ， ，， 故答案为：；； （2）如图2，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 即； （3）分三种情况： ①当时，如图3，过点作轴于， 由（2）可知， ， 是等腰直角三角形， ， 同理得：， ，， ， ， ； ②当时，如图4，过点作轴于， ， 同理得：， ，， ， ； 同理：如图5，，， ， ； ③当时，如图6，过点作轴于，过点作于， 同理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $