辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题

葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024—2025学年度（上）高三期中考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 第I卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知复数，则（ ）． A. B. C. D. 2． 已知集合，，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3．已知，则（ ） A． B． C． D．4 4．函数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ） A. 228里 B. 192里 C. 126里 D. 63里 6．若函数在具有单调性，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知直线是曲线的一条切线，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8．已知函数有且只有一个零点，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分） 9．若，则下列关系一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在方格中，向量，，的始点和终点均为小正方形的顶点，则（ ） （第9题图） A． B． C． D． 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则一定是钝角三角形 B. 若，则有两解 C. 若，则为等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上） 12．在等比数列中，，，则__________. 13．点到双曲线的一条渐近线的距离为__________. 14．已知函数在区间恰有一个极小值点，三个零点，则的取值范围是__________. 四、解答题（本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 已知是公差不为的等差数列的前项和，是与的等比中项，. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 16． 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围． 17．设函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）当时，证明：． 18.如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，平面平面，是的中点，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 19．（本题满分12分） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值. （高三数学）参考答案 一、单项选择题 1-4 AAAC 5-8BCDA 二、多项选择题 9．BC 10．BCD 11．AD 三、填空题 12．8 13．2 14． 四、解答题 15．（1） （2） 16．解：（1）由题设及正弦定理得，……………………2分 所以，故，……………………4分 因为，所以．……………………6分 （2）由题设及（1）知△ABC的面积． 由正弦定理得．……………………8分 由于△ABC为锐角三角形，故，． 由（1）知，所以，……………………10分 故，从而． 因此，△ABC面积的取值范围是．……………………………12分 17．【小问1详解】 时， 所以， 所以在处的切线方程为． 【小问2详解】 证明：当时，化为. 令， 时，，此时函数单调递减； ，此时函数单调递增． 时，函数取得极小值即最小值， 所以只要证明， 即证明即可． 令，， , 可得时，函数取得极小值即最小值，， 所以在上恒成立， 所以，当时，成立． 18．【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合面面垂直的性质中点平面，进而证得； （2）取的中点，连接，可得，以为原点建立的空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为是等边三角形，且是的中点，所以， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又由平面，所以. 【小问2详解】 解：取的中点，连接， 、分别为、的中点，则， ，则，又因为平面， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为且等边三角形，可得, 可得， 则， 设平面的法向量， 则，令，可得，即， 设平面的法向量， 则，令，可得，即， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 19．解：（1）由抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴可知， 点和点不可能同时在抛物线上，点和点不可能同时在抛物线上，点和点也不可能同时在抛物线上， 所以抛物线过，两点.……………………3分 设，代入点，则，得， 所以，抛物线过点，满足题意． 综上，抛物线的方程为．……………………5分 （2）设直线，， 根据题意可知：，且， 联立，得，则， 同理联立，得，则，……………………7分 由得，即， 所以， 即，整理得……………………8分 又因为，所以，……………………9分 由，得 联立，所以，……………………11分 故.……………………………12分 学科网（北京）股份有限公司 $$