精品解析：甘肃省白银市第八中学2025学届高三上学期10月期中考试数学试题

白银市第八中学2024-2025学年度第一学期期中考试试卷 科目：高三数学 命题人：张德刚 一、选择题 1. 已知集合，若，则实数的值不可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先要理解集合的概念，对于集合，通过求解方程得到集合中的元素.因为，这意味着，所以要对集合中的方程进行分析，分情况讨论的值，看哪些值满足. 【详解】对于方程，分解因式可得，解得或者， 所以.对于方程，其解为或者. 因为，这意味着. 当时，方程变为，此时，满足. 当时，，此时，满足. 当且时，. 因为，所以，解得，此时，满足. 综上，实数的值可以为、、，所以实数的值不可以为除、、之外的值. 故选：D. 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的二倍角公式与基本关系式得到，再利用正切函数的二倍角公式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B 3. 已知函数满足．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】中令，结合可得答案. 【详解】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将原式配凑为，利用基本不等式求解即可. 【详解】，，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为6. 故选：C. 5. 一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ） A. 5760 B. 5660 C. 5642 D. 5472 【答案】D 【解析】 【分析】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得. 【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种， 若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种， 则共有种． 故选：D. 6. 已知函数，若对于任意实数k，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将恒成立结合有解问题转化为函数的值域问题即可. 【详解】对于任意实数k，总存在实数，使得成立， 即值域为，因此要求取遍一切正数， 时，符合题意． 时，需，即． 综上，实数a的取值范围． 故选：D 7. 当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，得出该直线是圆的切线，即可求解. 【详解】方程可化为变动时，点到该直线的距离，则该直线是圆的切线，所以动直线围成的封闭图形的面积是圆的面积，面积为. 故选D. 8. 设，将的图像向右平移个单位，得到的图像，设，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移得到的解析式，根据得到的解析式，根据三角变换公式以及的增减性最后得到的最大值. 【详解】将的图像向右平移个单位，得到的图像， ， ，， ， ， ， ∵， ， ∴， 令，, ， 易知在单调递增， 即在单调递增， ∴在单调递减， ∴当时，最大值为， 故答案为：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用通分以及对化简，以及观察的单调性. 二、多选题 9. 在的二项展开式中，以下判断正确的是（ ） A. 所有项的系数之和为1024 B. 各二项式系数之和为32 C. 第3项系数最大 D. 常数项的值为90 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二项式展开式，二项式系数的性质等依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于选项A：令，可得二项展开式中各项系数之和为，故 A正确； 对于选项B：各二项式系数之和为，故 B 正确； 对于选项C：二项式展开式的通式公式为：， 第一项系数为：， 第二项系数为：， 第三项系数为：， 第四项系数为：， 第五项系数为：， 第六项系数为：， 所以，系数最大的是第二项，故 C 错误； 对于选项D：令，则，则，常数项的值应该为15，故选项D错误. 故选：AB. 10. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据图象确定函数的解析式，根据函数图象的平移，得到函数的解析式，可分析函数与的性质，判断ABC的真假，在分析函数的单调性，判断D的真假. 【详解】因为点在函数的图象上， 所以，且，所以.故A正确； 因为，由，， 得函数的对称中心为：，， 当时，得对称中心为：，故B正确； . 其对称轴为：，，所以不是函数的对称轴，故C错误； ， 由，，. 所以函数的单调减区间为：，， 因为，， 所以函数在区间上单调递减，故D正确. 故选：ABD 11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ） A. 函数的值域为R B. 函数的单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】先分析函数的单调性和函数值情况并作出函数的图象，对于A和B，由分析以及图象即可得解；由对于C和D，由方程得解为与，再根据条件树形结合依次分析两解对应的根的情况即可得解. 【详解】①当时，， 则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. ②当时，，， 当，在单调递增；当，在单调递减， 故，且恒有，综上①②可知，， 综上，作出函数大致图象，如下图： 对于A，由上可知函数的值域为，故A错误； 对于B，函数的单调减区间为，故B正确； 对于C，当时，则方程，解得或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由得此时有不相等的实数根，且均不为，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误； 对于D，若关于x的方程有3个不相等的实数根， 即方程与方程共有3个不相等的实数根， 又因为已有两个不等的实数根， 则方程有且仅有1个根，且不为. 所以与有且仅有1个公共点， 由图象可知，满足题意，即m的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：先研究函数的单调性以及函数值的分布情况，接着作出函数的图象，数形结合使得问题更直观，进而即可进一步研究函数的性质情况：研究方程的根的个数问题，可先解方程得与，再根据条件依次分析两解对应的根的情况并树形结合即可得解. 三、填空题 12. 当时，曲线与交点的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为个. 故答案为：. 13. 已知函数在区间内单调递减，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数求的单调递减区间，结合题意可得的最值，即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，可得，解得， 可知的单调递减区间为， 因为在区间单调递减，则， 可知，所以的最大值为． 故答案为：. 14. 函数的定义域为，若对满足的任意、，均有，则称函数具有“性质”，已知，且函数具有性质，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出，其中，求出的最小值，再结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】由题意，因为，且函数具有性质， 即对满足的任意、， 均有， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，，则. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为是方程的两个根， 所以， ， 又， . 16. 某革命老区县因地制宜的将该县打造成“生态水果特色小县”.该县某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价为10元/千克.在国务院关于新时代支持革命老区振兴发展的意见，支持发展特色农业产业的保障下，该县水果销路畅通.记该水果树的单株利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）4千克，370元 【解析】 【分析】(1)根据利润等于总收入减去成本，即可写出函数关系式； (2)分段求出函数的最大值，比较大小，即可确定最大利润. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 在单调递减，在单调递增， 则当时，取到最大值为360. 当时，. 因为，所以， 当且仅当，即时，取到最大值为370， 因为， 所以当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是370元. 17. 如图，在四棱锥中，平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为平面平面， 所以， 又因为， 所以，而平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ； 【小问3详解】 设，设， 于是有， ，由（2）可知平面的法向量为， 假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去， 即. 18. 已知某校共有1000名学生参加体能达标测试，现从中随机抽取100名学生的成绩，将他们的测试成绩(满分：100分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如下频数分布表. 成绩/分 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 10 15 20 30 15 10 （1）求这100名学生的体能测试平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). （2）在这100名学生中，规定：测试成绩不低于80分为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关？ 优秀 非优秀 总计 男生 30 女生 50 总计 （3）根据样本数据，可认为该校全体学生的体能测试成绩X近似服从正态分布N(μ，14.312)，其中μ近似为样本平均数，则这1000名学生中体能测试成绩不低于84.81分的估计有多少人？ 参考公式及数据：X~N(μ，σ2)，P(μ-σ≤X<μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X<μ+2σ)≈0.9545； ，其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）； （2）2×2列联表： 优秀 非优秀 总计 男生 20 30 50 女生 5 45 50 总计 25 75 100 有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关； （3）159人. 【解析】 【分析】（1）用各组区间的中点值乘以该组的频率再相加可得结果； （2）根据频数分布表可得完整的2×2列联表，计算出观测值，结合临界值表可得结果； （3）根据P(μ-σ≤X<μ+σ)=P(56.19≤X<84.81) ≈0.6827，可求得. 【详解】（1）由题意得这100名学生的体能测试平均成绩为. （2）在抽取的100名学生中，测试成绩优秀的有25人，由此可得完整的2×2列联表： 优秀 非优秀 总计 男生 20 30 50 女生 5 45 50 总计 25 75 100 K2的观测值， 故有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关. （3）依题意，X服从正态分布N(70.5，14.312)， 因为P(μ-σ≤X<μ+σ)=P(56.19≤X<84.81)≈0.6827， 所以， 所以这1000人中体能测试成绩不低于84.81分的人数估计为0.15865×1000≈159人. 【点睛】本题考查了根据频数分布表求平均值，考查了完善列联表，考查了独立性检验，考查了正态分布，属于中档题. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 【答案】（1） （2）时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为； （3）由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且， 则要证，即证，即证， 而，则，否则方程不成立）， 所以即证，化简得， 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以，而，所以， 所以，得证． 【解析】 【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； （2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间； （3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证． 【小问1详解】 ，， ，， 所以在点处的切线方程为， 整理得：； 【小问2详解】 函数定义域为， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得， 此时在上，在单调递减， 在上，在单调递增， 综上： 时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市第八中学2024-2025学年度第一学期期中考试试卷 科目：高三数学 命题人：张德刚 一、选择题 1. 已知集合，若，则实数的值不可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数满足．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ） A. 5760 B. 5660 C. 5642 D. 5472 6. 已知函数，若对于任意实数k，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设，将的图像向右平移个单位，得到的图像，设，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在的二项展开式中，以下判断正确的是（ ） A. 所有项的系数之和为1024 B. 各二项式系数之和为32 C. 第3项系数最大 D. 常数项的值为90 10. 函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减 11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ） A. 函数的值域为R B. 函数的单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 三、填空题 12. 当时，曲线与交点的个数为__________． 13. 已知函数在区间内单调递减，则的最大值为______． 14. 函数的定义域为，若对满足的任意、，均有，则称函数具有“性质”，已知，且函数具有性质，则实数的取值范围为______． 四、解答题 15. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 16. 某革命老区县因地制宜的将该县打造成“生态水果特色小县”.该县某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价为10元/千克.在国务院关于新时代支持革命老区振兴发展的意见，支持发展特色农业产业的保障下，该县水果销路畅通.记该水果树的单株利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 17. 如图，在四棱锥中，平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 18. 已知某校共有1000名学生参加体能达标测试，现从中随机抽取100名学生的成绩，将他们的测试成绩(满分：100分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如下频数分布表. 成绩/分 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 10 15 20 30 15 10 （1）求这100名学生的体能测试平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). （2）在这100名学生中，规定：测试成绩不低于80分为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关？ 优秀 非优秀 总计 男生 30 女生 50 总计 （3）根据样本数据，可认为该校全体学生的体能测试成绩X近似服从正态分布N(μ，14.312)，其中μ近似为样本平均数，则这1000名学生中体能测试成绩不低于84.81分的估计有多少人？ 参考公式及数据：X~N(μ，σ2)，P(μ-σ≤X<μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X<μ+2σ)≈0.9545； ，其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $