精品解析：陕西省渭南市三贤中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

渭南市三贤2024-2025学年度上学期期中考试 高二数学试题 命题人：吉红英 审核：高二数学备课组 第I卷选择题（共58分） 一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40.0分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 2. 与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 空间向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图，是的重心，，则（ ） A. B. C. D. 5. 方程表示的直线可能是图中的（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 10. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）. A. B. 若，则 C. 点关于平面对称的点的坐标为 D. 11. 为了实现信息技术与数学课堂的深度融合，体现利用信息技术研究几何动态问题的优越性，唐老师让学生使用几何画板研究圆的动态弦长问题，以培养学生直观想象的核心素养课堂上唐老师先让同学给出一个圆：，再让同学给出圆内的一个定点，最后要求同学们利用几何画板过点作一条直线与圆交于，两点，并通过几何画板的度量功能得到，两点间的距离后提交答案，现选取4位同学提交的答案，则度量结果可能正确的是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，，则______ 13. 若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是__________. 14. 在菱形中，，将沿对角线折起，若二面角为直二面角，则二面角的余弦值为___________. 四､解答题（本大题共5小题，共77.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知点，直线. （1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程； （2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程. 16. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 17. 已知圆：与圆：相交. （1）求交点所在直线方程； （2）若点P是圆C：上任意一点，求P点到（1）中交点所在直线距离的最大值和最小值. 18. 如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，将沿BD折起到的位置，使． （1）求证：平面平面ABD； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点． (1)求B点到平面PCD的距离； (2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南市三贤2024-2025学年度上学期期中考试 高二数学试题 命题人：吉红英 审核：高二数学备课组 第I卷选择题（共58分） 一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40.0分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线AB的斜率， 设直线AB的倾斜角为，则， 所以. 故选：B. 2. 与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】与向量同向的单位向量为，求解即可． 【详解】因为，所以与向量同向的单位向量为． 故选：A. 3. 空间向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】直线与平面所成的角的正弦值，通过直线与平面的数量积求解即可得出. 【详解】解：直线与平面所成的角的正弦值：. 则直线与平面所成角为：. 故选：A. 4. 如图，是的重心，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是的重心，可知，再根据向量加法、减法法则即可求解. 【详解】∵是的重心，∴. ， . 故选：D. 5. 方程表示的直线可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，分析直线的斜率及其在轴上的截距，由此可得出结果. 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为，则. 当时，直线的斜率，该直线在轴上的截距，四个选项都不符合； 当时，直线的斜率，该直线在轴上的截距，B选项符合. 故选：B. 6. 已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求解圆，的公共弦方程，再计算圆中的公共弦长即可得圆C的直径，进而求得面积即可 【详解】由题，圆，的公共弦为和的两式相减，化简可得，又到的距离 ，故公共弦长为，故圆C的半径为，故圆C的面积为 故选：B 7. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 8. 已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆上的点到直线上的点的距离最小时为圆心到直线的距离减去半径，由此确定，两点的位置，然后求出点到直线的距离作为底边上的高，求出三角形面积即可. 【详解】圆的圆心为原点，半径为2， 过原点且与直线垂直的直线方程为， 则点到直线的距离为. 又因为原点到直线的距离为， 所以的最小值为，则， 故选：D 二､多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）. A. B. 若，则 C. 点关于平面对称的点的坐标为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由向量的坐标运算可判断A，由数量积的坐标运算可判断B，由关于平面对称的点的坐标特点可判断C，由向量模的坐标运算可判断D. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，所以，故B正确； 对C，点关于平面对称的点的坐标为，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：AB. 11. 为了实现信息技术与数学课堂的深度融合，体现利用信息技术研究几何动态问题的优越性，唐老师让学生使用几何画板研究圆的动态弦长问题，以培养学生直观想象的核心素养课堂上唐老师先让同学给出一个圆：，再让同学给出圆内的一个定点，最后要求同学们利用几何画板过点作一条直线与圆交于，两点，并通过几何画板的度量功能得到，两点间的距离后提交答案，现选取4位同学提交的答案，则度量结果可能正确的是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】BC 【解析】 【分析】由圆的性质得的取值范围后求解， 【详解】依题意，圆心，半径， 则当直线过点，时，有最大值， 当直线时，有最小值，此时，故有最小值， 则， 故选：BC 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 13. 若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先求出圆的圆心，然后由题意可知直线过圆心，则可得所以，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由，得， 所以曲线表示的是以为圆心的圆， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以直线过点， 所以，即 所以 （当且仅当时，等号成立） 故答案为：4 14. 在菱形中，，将沿对角线折起，若二面角为直二面角，则二面角的余弦值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接、，依题意、、两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； 【详解】解：取的中点，连接、，依题意可得、、两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，令，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，显然平面的法向量可以为， 设二面角为，则，故二面角的余弦值为； 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知点，直线. （1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程； （2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出所求平行直线的方程，利用点坐标求得正确答案. （2）利用点斜式求得所求直线的方程. 【小问1详解】 设经过点P且与直线l平行的直线的方程为， 将代入得， 所以所求直线方程为 【小问2详解】 直线的斜率为， 与直线垂直的直线的斜率为， 所以经过点P且与直线l垂直的直线的方程为， 即. 16. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出圆的半径，由此可得出圆的方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程. 【小问1详解】 解：圆心到直线的距离为， 所以，圆的半径为， 因此，圆的方程为. 【小问2详解】 解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由题意可得，解得，此时，切线的方程为. 综上所述，所求切线的方程为或. 17. 已知圆：与圆：相交. （1）求交点所在直线方程； （2）若点P是圆C：上任意一点，求P点到（1）中交点所在直线距离的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）最大值，最小值. 【解析】 【分析】（1）根据两圆相交，两圆的方程相减即可求出公共弦所在直线方程； （2）根据圆的性质先求出圆心到直线距离，分别加减半径即可求解. 【详解】（1）由已知：圆：，圆：， 故交点所在直线的方程为：， 即， 故交点所在直线的方程为. （2）由圆C：知，圆心为，半径为1， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上点到直线的，. 18. 如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，将沿BD折起到的位置，使． （1）求证：平面平面ABD； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，取中点，连接OA，OP． 因为四边形ABCD是边长为2的菱形，，所以、是边长为2的正三角形， 因为O是BD中点，所以， 因为，所以，同理可得，因为， 所以，则，由二面角定义可得平面平面ABD． 或：又因为，平面ABD，平面， 所以平面，因为，所以平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，根据二面角的定义或通过证明平面来证得平面平面． （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面PAD的一个法向量为， 由得， 令得，则， 设直线AB与平面PAD所成的角为， 则． 所以直线AB与平面PAD所成角的正弦值为． 19. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点． (1)求B点到平面PCD的距离； (2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，且. 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，可以证明平面，，故可建立如图所示的空间直角系，计算出平面的法向量及后可得点到平面的距离． （2）设，用表示的坐标，从而平面的法向量也可以用表示，根据二面角的余弦值为可得到的值从而得到． 【详解】在中，， 为中点，∴. 又∵侧面底面，平面平面，平面， ∴平面. 在中，，，∴. 在直角梯形中，为的中点，，∴. 以为坐标原点， 为轴，为轴， 为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， (1)∴． 设平面的法向量为， 则即取，得． 则点到平面的距离. (2)设．∵，∴， ∴，∴，∴ ． 设平面的法向量为， 则即，取，得． 平面的一个法向量为， ∵二面角的余弦值为， ∴. 整理化简，得.解得或 (舍去)，∴存在，且. 【点睛】（1）空间中一点到平面的距离可由空间向量来计算，在平面中取一点，则． （2）与线段上的动点相关的问题，如果用空间向量来解决，则需设，因为此时的坐标是关于的一次式，这样的形式便于计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $