精品解析：河南省商丘市睢县回族高级中学2025届高三上学期第二次月考数学试题

睢县回族高级中学高三第二次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则集合在集合A中的补集是（ ） A. B. C. D. 2. 已知（i为虚数单位），那么复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 5. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 21 B. 19 C. 12 D. 42 7. 已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是曲线的一条对称轴 D. 在区间上单调递增 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 11. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 定义域为 B. 是偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15 分） 12. 幂函数在上是减函数，则的值为______． 13. 已知函数的最小正周期为，若，且是的一个极值点，则___________. 14. 曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知内角所对的边长分别为. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，底面 ,,， （1）证明：平面平面 ； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. （1）求的通项公式； （2）若，，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若对于任意，都有，求实数的取值范围. 19. 在等差数列中，已知成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）数列是否为等比数列？若是求其前项和，若不是，请说明理由； （3）设，且，求的所有取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 睢县回族高级中学高三第二次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则集合在集合A中的补集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，分别求得和，结合集合交集和补集的运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得，即， 又由不等式，解得，即， 则， 所以集合在集合A中的补集是. 故选：C. 2. 已知（i为虚数单位），那么复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据虚部定义求解. 【详解】由可得， 所以,的故虚部为. 故选：A 3. 已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把平方转化为数量积运算，结合二次函数知识得最小值． 【详解】设，又， 所以， 所以当时，， 故选：D． 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用“1”的妙用结合基本不等式可求最小值. 【详解】，，， 当且仅当，即，时等号成立， 因此所求最小值为， 故选：B. 5. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 6. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 21 B. 19 C. 12 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的基本量运算，找出和，再根据等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】记公差为，由题， 故， ， 故选：A. 7. 已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由当时，恒成立，则，先利用导数工具研究函数的单调性，从而求出函数的值域为，进而构造函数，求出函数的最小值即为，进而即可得解. 【详解】令，则， 所以当时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 又当时，恒成立，所以， 故实数a的取值范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：恒成立求参问题通常转化为最值问题，对“时，恒成立”可转化为“”，利用导数工具可求得函数的值域，从而函数的最小值即为，故只需求出函数的最小值即可得解. 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由三角恒等变换公式化简，然后换元，结合二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】因为 ，且， 则， 令，则， 所以，，对称轴为， 当时，， 当时，， 即函数的值域为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是曲线的一条对称轴 D. 在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据图象求得求解判断；对于B，由求解判断；利用三角函数的对称轴对C选项进行判断，利用三角函数的单调性对D选项进行判断. 【详解】对于A，因为，所以由图象知， ，所以，A选项正确； 由图象知，又因为， 所以即， 因为，所以，B错误； 对于C，当时，， 则不是的对称轴，故C错误； 对于D，的单调增区间满足：，， 即单调增区间为，， 当时，增区间为，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为，则 D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D. 【详解】向量，， 对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，由，得，因此，B正确； 对于C，与的夹角为，，， 因此，C错误； 对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 11. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 定义域为 B. 是偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可求定义域判断A；根据定义域是否关于原点对称判断B；计算是否为0判断C；由复合函数的单调性判断D. 【详解】对于A，由得或，故定义域为，A正确； 对于B，因为定义域不关于原点对称，故不是偶函数，B错误； 对于C，因为 ， 所以图象关于点对称，正确； 对于D，， 因为函数在区间上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15 分） 12. 幂函数在上是减函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数及其单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得：, 所以. 故答案为： 13. 已知函数的最小正周期为，若，且是的一个极值点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】将化简为，表示出最小正周期为，由，求出的范围，再由是的一个极值点，求出符合范围的的值. 【详解】 所以的最小正周期为， 于是，解得， 因为是的一个极值点，则， 解得，所以时，. 故答案为：. 14. 曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】求出在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得. 【详解】对于，易知，切线斜率为，切点为； 则曲线在处的切线为， 显然，设切点， 由，解得. 故答案为：2 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知内角所对的边长分别为. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小； （2）法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围. 【小问1详解】 由余弦定理得，即， 所以，又，则. 【小问2详解】 法一：为锐角三角形，，则， 所以，可得， 又，则，故 由，即而， 所以，故面积的取值范围为. 法二：由，画出如图所示三角形， 为锐角三角形， 点落在线段（端点除外）上， 当时，， 当时，， . 16. 如图，在四棱锥中，底面 ,,， （1）证明：平面平面 ； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：记， 因为，所以， 所以， 即， 又底面平面， 所以， 因为，且平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的定理证明结果即可； （2）建立如图所示坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入公式计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，则，所以平面， 所以三条直线两两垂直， 分别以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 设平面的法向量为， 则，可取， 同理设平面的一个法向量为， 则，可取 所以，， 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. （1）求的通项公式； （2）若，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式把、、都用与表示，结合已知解出，即可得出的通项公式； （2）先表示出，再表示出，用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设的公差为，因为是与的等比中项， 所以，即， 整理得. 又，，所以， 则. 【小问2详解】 由（1）可得，， 则①， ②， ①-②得 则. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若对于任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）. 【解析】 【分析】 （1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程； （2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间； （3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围. 【详解】（1）因为函数， 所以，. 又因为，则切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数定义域为， 由（1）可知，. 令解得. 与在区间上的情况如下： － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以，的单调递增区间是； 的单调递减区间是. （3）当时，“”等价于“”. 令，，，. 令解得， 当时，，所以在区间单调递减. 当时，，所以在区间单调递增. 而，. 所以在区间上的最大值为. 所以当时，对于任意，都有. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题. 19. 在等差数列中，已知成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）数列是否为等比数列？若是求其前项和，若不是，请说明理由； （3）设，且，求的所有取值． 【答案】（1） （2）是等比数列， （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意得到关于、的方程组，解得即可； （2）根据等比数列的定义判断，再由等比数列求和公式计算可得； （3）依题意可得当时无解，当时解得，说明时无解，即可确定的值. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 因为成等差数列， 所以，解得， 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的前项和为． 【小问3详解】 因为，所以， 因为， 所以， 当时，无解； 当时，解得或（舍去）； 当时，，即， 令，则为关于的单调递增函数， 因为，所以， 所以无解， 所以的取值为， 进一步得，当时，对任意的正整数， ， 满足：， 所以的所有取值是． 【点睛】关键点点睛：第三问由于的任意性取特殊值确定的值，再验证其合理性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $