精品解析：河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题

2024—2025学年（上）南阳六校高一年级期中考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 为偶函数，且在上单调递减 B. 为偶函数，且在上单调递增 C. 为奇函数，且在上单调递减 D. 为奇函数，且在上单调递增 5. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. 8 B. C. D. 7. 若函数在区间上的值域为，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各式的值等于6的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知函数是上的减函数，则a的取值范围是______. 14. 已知函数在上具有单调性，且，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算 （1）； （2）已知，比较和的大小. 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 17. （1）若关于x的不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）讨论关于x的不等式的解集. 18. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 19. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（上）南阳六校高一年级期中考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】“，”的否定为“，”. 故选：D 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式，得到，由补集和交集的概念得到答案. 【详解】，故，解得， 故， 故选：B 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，解得， 因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 为偶函数，且在上单调递减 B. 为偶函数，且在上单调递增 C. 为奇函数，且在上单调递减 D. 为奇函数，且在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】设幂函数，又因为幂函数的图象经过点， 所以，解得, 所以，定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以为奇函数， 又因为，所以在上单调递减，故C正确. 故选：C. 5. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由特殊值代入可判断ABD，由不等式的性质可判断C. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当，时，满足， 此时，，，故B错误； C选项，由，可得，所以，故C正确； D选项，当时，，故D错误. 故选：C. 6. （ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将根式化为分数指数幂，结合对数运算法则进行计算 【详解】. 故选：A 7. 若函数在区间上的值域为，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由题意有最小值，当时，解得或，根据函数的单调性可得的最大值，的最小值，从而得解． 【详解】因为函数， 所以当时，有最小值， 当时，，解得或， 又因为当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的最大值为5，的最小值为， 所以的最大值为． 故选：D. 8. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为偶函数且在上单调递减，则，且在上单调递增，然后对分情况讨论，从而可求解. 【详解】由函数为偶函数且在上单调递减，且， 所以，且在上单调递增， 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 当时，，则，所以. 综上所述：不等式的解集为.故B正确. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系以及集合与集合的关系判断即可． 【详解】对于A，空集中不含有任何元素，故A正确； 对于B，空集是非空集合的子集，可知，故B正确； 对于C，应该用 “”符号，即，故C错误； 对于D，是集合中的元素，即，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列各式的值等于6的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，利用指数运算和根式运算法则得到答案；BCD选项，利用对数运算法则计算出答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项， ，D错误. 故选：BC 11. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可得，然后再利用基本不等式逐项判断即可对AB判断求解；由由，可得，再利用单位“”即可对C判断求解；由，再结合，即可对D判断求解. 【详解】A：由，可得，因为， 所以，即，得，当时取等号，故A正确； B：由，当时取等号，又因为，当时取等号， 所以，故B错误； C：由，可得， 所以， 当，即时取等号，故C正确； D：， 因为，所以，所以， 当时取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算法则及换底公式可得，再求出即可. 【详解】因为 ， 即，所以. 故答案为：. 13. 已知函数是上的减函数，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在上是减函数特征，两段函数各自为减函数，且左段函数的最小值大于等于右段函数的最大值，解不等式组即可求得的取值范围． 【详解】因为函数是上的减函数， 所以，解得， 即a的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数在上具有单调性，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，中，令，求出，从而得到，从而求出答案. 【详解】令，则， 中，令得，故， 显然单调递增，且，故， 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算 （1）； （2）已知，比较和的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数、对数的运算进行化简即可求解. （2）利用不等式性质即可求解. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 由，所以， 所以，因为， 所以，又因为，所以， 所以. 16. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，分别对进行讨论再结合，从而可求解. （2）分别对进行讨论再结合，从而可求解. 【小问1详解】 由题意可得， 当时，，此时，不符合题意； 当时，，由，可得； 当时，，由，可得； 综上所述：的取值范围为. 【小问2详解】 当时，，此时，故符合题意； 当时，，由，可得，解得； 当时，，由，可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 17. （1）若关于x的不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）讨论关于x的不等式的解集. 【答案】（1）； （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）且为方程的两个根，由韦达定理得到方程，求出答案； （2）因式分解，再分，，，，五种情况，求出不等式解集. 【详解】（1）由题意得且为方程的两个根， 故，，解得； （2）， 若，则，解得， 若，解得， 若，则，解得， 若，此时，解得或， 若，此时，解得或， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 18. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】（1）100个，30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 19. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. 【小问2详解】 由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即， 则实数m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $