上海市同济大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

同济大学第二附属中学2024学年第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 满分:150分,完成时间:120分钟 一、填空题(本题满分54分,共12小题,第1-6题每题4分,7-12题每题5分) 1. 空间中两条直线没有公共点,则这两条直线的位置关系是 2. 半径为2的球的表面积为__ 3. 已知长方体ABCD-A.B.C.D.的校AD-AA.=1,AB-2,则异面直线BD与B、C 所成角的余弦值为__. 4. 在四面体P-ABC中,若底面ABC的-个法向量为n=(1,1,0).CP=(2,2,-1) 则顶点P到底面ABC的距离为__. 5. 圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的侧面积为 6. 如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OA'BC',且 OA'l|IB'C',OA'=2B'C'=4,A'B'=2,则原平面图形的面积头 7. 三校锥P一ABC中,三条侧校PA一PB=PC,则顶点P在平面ABC内的射影O是 △ABC的__.(填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”) 8. 在空间四边形ABCD中,E.F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,若四边形 对角线AC-BD=2,对角线AC与BD所成的角为.则FH-__ 9. 如图,在圆柱内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切,记圆柱的体积为V,球o的体积为V.,则的值是__. 10. 已知二面角a一AB一B为30*,P是半平面a内一点,点P到平面的 距离是1,则点P在平面B内的投影到AB的距离是_ 第9题图 11. 如图是底面半径为3的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕 圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回愿位置时,圆锥本身恰好滚动 了4周,则圆锥的母线长为__. 第11题图 第1页共4页 12. 如图,正方体ABCD-A.B.C.D.的校长为4,点P在正方形 ABCD的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足 4< A.Pl<25的点P组成,则四面体P-A.BC的体积的取值范 围是 二、选择题(本题满分18分,共4小题,第13、14题每题4分,15、16题每题5分) 13. 已知直线i和平面a,则"!垂直于a内的两条直线”是“/1a”的( A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 14. 把一个圆锥戴成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比为1:4,母线(原圆锥母线在圆 台中的部分)长为12,则原圆锥的母线长为( _ C.20 A.16 B.18 D.22 15. m、n为空间中两条直线,“、B为空间中两个不同平面,下列命题中正确的个数为 ) ①二面角的范围是[0,n): ②经过3个点有且只有一个平面 ③若m、n为两条异面直线,mCa,nCB,mllB,则nlla. ④若m、n为两条异面直线,且mllo,n/la,mllB,nllB,则allB. C.2 A.0 B.1 D.3 16. 将底面为直角三角形且侧梭垂直于底面的三校柱称为“暂堵”;底面为矩形,一条侧 垂直于底面的四校锥称为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌腐”,如 图,在堵ABC一A.B.C.中,AC1BC,且AA.=AB=2.下列说法错误的是( _ A. 四校锥B一A:ACC:为“阳马" A B. 四面体A.-C.CB为“整" C. 四校锥B-A.ACO,体积的最大值为2 D. 过A点作AE1A.B于点E,过E点作EF1A.B于点F,则A.B1.面AEF 第2页共4页 三、解答题(本题满分78分,共5小题) 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 如图,校长为2的正方体ABCD-A.B.C.D.中,M、N、P分别是C、D、CC.、AA的 中点. D M 5 (1)证明:MN//平面ABB,A. A (2)求异面直线PD:与MN所成角的大小.(结果用反三角表示) P A 18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 如图,已知PA=AC=PC=AB=a,PA1AB,AC1AB,M为AC的中点 (1)求证:PM1平面ABC (2)求直线PB与平面ABC所成角的大小.(结果用反三角表示 19.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 现需要设计一个仓库,由上、下两部分组成,如图所示FF0C上部的形状是正四校锥 P-ABCD,下部的形状是正四校柱ABCD-4B.CD,并要求正四校柱的高OO是正四 校锥的高PO的4倍 (1)若AB=6m,PO.-2m,则仓库的容积是多少 (2)若正四校锥的侧校长为6m,当P0.为多少时,下部的正四校柱侧面积最大,最大面积 是多少? 第3页共4页 20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 如图,AB是圆柱的底面直径,AB-2,PA是圆柱的母线且PA一2,点C是圆柱底面圆 周上的点. (1)求圆杜的表面积 (2)证明:平面PBC1平面PAC; (3)若AC=1,D是PB的中点,点E在线段PA上,求CE+ED的最小值 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点,且点P在底面ABCD上的射影是AC 与BD的交点O,已知之BAD-60”,△PDB是等边三角形. (1)求证:AC1PD: (2)求点D到平面PBC的距离 (3)若点E是线段AD上的动点,问:点E在何处时,直线PE与平面PBC所成的角最大? 求出最大角的正弦值,并说明点E此时所在的位置 第4页共4页