精品解析：甘肃省武威第二十三中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年甘肃省武威二十三中九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( ) A. 1，-3，10 B. 1，7，-10 C. 1，-5，12 D. 1， 3，2 3. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（）个人． A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 6. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ） A. y＝－(x－)2＋3 B. y＝－3(x+)2+3 C. y＝－12(x-)2＋3 D. y＝－12(x+)2+3 10. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋2b（ab≠0）的图象大致如图（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 二次函数的顶点坐标是（ ）． 12. 已知一元二次方程x2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m=_____． 13. 关于x的方程 是一元二次方程，则_______. 14. 若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，则m=______． 15. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，求修建的路宽．设路宽为，可列方程______． 16. 已知m是关于x的方程的一个根，则＝______． 17. 已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 18. 设a,b是直角三角形的两条直角边的长，且，则直角三角形的斜边长为. 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 已知关于x的方程mx2＋x＋1＝0． (1)当该方程有一根为1时，试确定m的值； (2)当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围． 四、解答题：本题共8小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 21. 若α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，求的值． 22. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点． （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与轴的交点坐标． 23. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 24. 已知二次函数． （1）用配方法将解析式化为的形式； （2）求这个函数图象与x轴的交点坐标． 25. 如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 26. 某商品店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是5元，调查发现销售单价是12元时，月销售量30件．而销售单价上涨1元月销售量就减少2件． （1）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为240元？ （2）每件玩具的售价定为多少元时可是月销售利润最大？最大的月利润为多少元？ 27. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且B（3，0）． （1）求抛物线的函数关系式; (2)求点A和顶点D的坐标； （3）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省武威二十三中九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误； B、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误； C、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 2. 把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( ) A. 1，-3，10 B. 1，7，-10 C. 1，-5，12 D. 1， 3，2 【答案】A 【解析】 【分析】方程整理为一般形式，找出各项系数和常数项即可． 【详解】方程整理得：x2−3x+10=0， 则a=1，b=−3，c=10. 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式. 3. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线表达式化为顶点式，再根据二次函数平移规律，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位得到的函数表达式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移规律“左加右减，上加下减”． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式．求出判别式的符号，即可得出结论，掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（）个人． A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）=121，解方程即可求解． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得 1+x+x(1+x)=121，即(1+x)2=121 解方程得(舍去) 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的应用解题的关键是读懂题目，，从实际问题中抽象出方程模型，设出未知数，找出等量关系，列方程求解． 6. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率是x，，第一次降价后的价格为，第二次降价的价格为，根据题意列出函数关系式即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 8. 已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象与x轴交点个数判断即可． 【详解】解：因为抛物线开口向下，所以，（1）不正确； 因为抛物线对称轴是直线，即，（2）正确； 因为抛物线与y轴交点在正半轴，所以，（3）正确； 因为抛物线与x轴有两个交点，所以，（4）正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟记二次函数图象与系数的关系，利用图象和对称轴以及与坐标轴的交点进行判断． 9. 西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ） A. y＝－(x－)2＋3 B. y＝－3(x+)2+3 C. y＝－12(x-)2＋3 D. y＝－12(x+)2+3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，由此得到顶点坐标为（ ，3），所以设抛物线的解析式为y=a（x- ）2+3，而抛物线还经过（0，0），由此即可确定抛物线的解析式． 【详解】解：∵一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米， ∴顶点坐标为（，3）， 设抛物线的解析式为y=a（x-）2+3， 而抛物线还经过（0，0）， ∴0=a（0-）2+3， ∴a=-12， ∴抛物线的解析式为y=-12（x-）2+3． 故选C． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋2b（ab≠0）的图象大致如图（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 二次函数的顶点坐标是（ ）． 【答案】 【解析】 【分析】先把一般式配成顶点式得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，能把一般式配成顶点式是解题的关键． 12. 已知一元二次方程x2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m=_____． 【答案】2． 【解析】 【详解】试题分析：已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，可得△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×（m﹣1）=m2﹣4m+4=（m﹣2）2=0，解得m=2. 考点：根的判别式． 13. 关于x的方程 是一元二次方程，则_______. 【答案】a = 2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】由是一元二次方程，得 =2，且a+2≠0， 解得a=2， 故答案为 2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 14. 若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，则m=______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 x2+6x+32=7+32， ∴（x+3）2=16 ∴m=3． 故答案为：3 15. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，求修建的路宽．设路宽为，可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查理解题意的能力，关键是余下耕地的长和宽表示出来，然后根据面积可列出方程．可以用平移的知识假设把路移动边上，那么余下耕地部分的长和宽可表示出来，设路宽为，根据面积可列出方程． 【详解】解：设路宽为，那么余下耕地的长为，宽为， 根据面积可列出方程：， 故答案为：． 16. 已知m是关于x的方程的一个根，则＝______． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵m是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， ∴=6， 故答案为6． 17. 已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称． 【详解】解：设另一个交点的横坐标为 ， ∵抛物线对称轴是直线 ，与x轴的一个交点为 ，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为 ． 故答案为： ． 18. 设a,b是直角三角形的两条直角边的长，且，则直角三角形的斜边长为. 【答案】2 【解析】 【分析】将a2+b2看做整体解方程得a2+b2=4或a2+b2=-5（舍），从而得出c2=a2+b2=4，即可得答案． 【详解】∵（a2+b2）（a2+b2+1）=20， ∴（a2+b2）2+（a2+b2）-20=0， ∴（a2+b2-4）（a2+b2+5）=0， 解得：a2+b2=4或a2+b2=-5（舍）， 则c2=a2+b2=4， ∴这个直角三角形的斜边长为2， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 已知关于x的方程mx2＋x＋1＝0． (1)当该方程有一根为1时，试确定m的值； (2)当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围． 【答案】（1）m=－2；（2）m＜且m≠0． 【解析】 【分析】（1）将x=1代入方程得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值； （2）由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围． 【详解】解：（1）将x=1代入方程得：m+1+1=0， 解得：m=－2； （2）由方程有两个不相等的实数根，得到△=b2－4ac=1－4m＞0，且m≠0， 解得：m＜且m≠0． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．注意一元二次方程的二次项系数不能为0． 考点：根的判别式；一元二次方程的解． 四、解答题：本题共8小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）因式分解法求解可得； （2）先移项，再利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， 或 解得：，； 【小问2详解】 解： 或， 解得：，． 21. 若α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出α+β=2、α•β=﹣3，将代数式通分可得出，再代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根， ∴α+β=2，α•β=﹣3， ∴===． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则，两根之积等于． 22. 已知二次函数的图象以为顶点，且过点． （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据图象的顶点来设该二次函数的关系式，然后将点坐标代入，求出即可； （2）令，然后将其代入函数关系式，求出对应的函数值即可． 【详解】解：（1）由顶点，可设二次函数关系式为 ∵二次函数的图象过点 ∴ ∴ ∴二次函数的关系式是． （2）∵令，则 ∴图象与轴的交点坐标是． 故答案是：（1）；（2） 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点、待定系数法求二次函数解析式；熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式是解决问题的关键． 23. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2 【解析】 【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m， 由题意得 ， 化简，得，解得：， 当时，（舍去）， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 24. 已知二次函数． （1）用配方法将解析式化为的形式； （2）求这个函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式以及求抛物线与x轴的交点坐标，正确利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可； （2）令，得到关于x的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：令，则， 解得， 这条抛物线与x轴的交点坐标为，． 25. 如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式． （1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． 【小问1详解】 将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 、， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 26. 某商品店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是5元，调查发现销售单价是12元时，月销售量30件．而销售单价上涨1元月销售量就减少2件． （1）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为240元？ （2）每件玩具的售价定为多少元时可是月销售利润最大？最大的月利润为多少元？ 【答案】（1）售价定为15元或17元时，利润为240元 （2）定价为16元时，利润最大，最大利润为242元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程． （1）根据题意列方程即可得到结论； （2）把化成顶点式，求得当时，y有最大值，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设每件玩具的售价定为x元，月销售利润恰好为240元， 由题意得，， 解得：，或， 答：售价定为15元或17元时，利润为240元； 【小问2详解】 解：设每件玩具的售价定为x元时可是月销售利润最大，销售利润为y， 由题意得，， 即：， ， 定价为16元时，利润最大，最大利润为242元． 27. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且B（3，0）． （1）求抛物线的函数关系式; (2)求点A和顶点D的坐标； （3）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值． 【答案】（1）；（2）A(-1,0)，D(1,-4)；（3）CM+AM=. 【解析】 【分析】（1）把B的坐标代入函数的解析式，即可求得b的值，从而得到函数解析式； （2）利用配方法即可求得顶点坐标； （3）直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，BC的长就是最小值． 【详解】（1）∵点A（3，0）在抛物线y=x2+bx-3上， ∴b=-2， ∴抛物线解析式y=x2-2x-3， （2）令y=0，得x2-2x-3=0， 解得x1=3，x2=-1， ∴A坐标为（-1,0）， ∵抛物线y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴顶点D的坐标（1，-4）； ∴A坐标为（-1,0），点D的坐标（1，-4） （3）当x=0时，y=-3， ∴C（0，-3）， ∴OC=3， ∵B（3，0）， ∴OB=3， 由抛物线的性质可知：点A和B是对称点， ∴AM=BM， ∴AM+CM=BM+CM≥BC=3． ∴CM+AM的最小值是3． 【点睛】本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $