贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高二上学期期中质量监测模拟练习数学试卷

贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高二上学期期中质量监测模拟练习数学试卷（自编供学生使用） （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．数据5，7，7，8，10，11的中位数和标准差分别为（    ） A．中位数为7，标准差为2 B．中位数为7，标准差为4 C．中位数为7.5，标准差为4 D．中位数为7.5，标准差为2 3．若直线经过，两点，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．在平行六面体ABCD- ­A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与向量的模相等的向量有(　　) A．7个 B．3个 C．5个 D．6个 5．如图所示，在三棱锥中，且，，，则下列命题不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 6．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（    ） A．18＋6 B．6＋ C．24 D．18 7．如图，在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数与的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9．下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（    ） A．线段的中点的坐标为 B．点关于轴对称的点的坐标为 C．点关于坐标原点对称的点的坐标为 D．点关于平面对称的点的坐标为 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在定义域上是增函数 D．的值域为 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是以为周期的周期函数 B．在上单调递减 C．的值域为 D．存在两个不同的实数，使得为偶函数 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．复数，则z的共轭复数的虚部为 ． 13．若，，，则的值为 ． 14．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机选取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 若从这批水果中随机选取1个，则这个水果是礼品果的概率为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由． (1)，； (2)，． 16．已知长方体中，，为侧面的中心，为的中点.求： (1)； (2)； (3)的长. 17．在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若点为边上靠近的三等分点，且，求面积的最大值． 18．某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度(单位：摄氏度)与时间(单位：小时)近似地满足函数关系，其中为大棚内一天中保温时段的通风量. （1）当时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到)； （2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于，求大棚一天中保温时段通风量的最小值. 19．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点为的中点，.    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A C B D D AD AB 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】利用一元二次不等式的解法求得集合，然后根据交集的概念可得结果. 【详解】依题意，，故. 故选：C 2．D 【解析】将数据按顺序排列，偶数个数据，中位数是中间两个数之和除以2，然后求得平均数，再代入标准差公式求解. 【详解】数据按顺序排列5，7，7，8，10，11， 所以中位数是， 平均数是， 标准差是. 3．C 【分析】利用直线斜率的计算公式求出直线的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意直线经过，两点， 得的斜率为， 由于直线的倾斜角范围为， 所以的倾斜角为， 故选：C 4．A 【分析】根据向量方向相同或方向相反时模长相等即可． 【详解】画出平行六面体结构如下图所示 所以与的模相等的向量有, , 共7个 所以选A 5．C 【分析】根据条件推出线面垂直，再根据面面垂直的判定定理判断ABD，利用反证法证明判断C. 【详解】，， 在中，， ， 又且, 平面, 又平面，平面 平面平面，平面平面， 故AB正确； 在中，， ， ， 平面, 又平面, 平面平面，故D正确； 对于C选项，若假设平面平面，则过作于，如图 由平面平面, 平面，可得，又，, 平面， , 这与中矛盾，故假设不正确，故C选项错误. 故选：C 6．B 【分析】依题意直接利用台体体积的计算公式即得结果. 【详解】依题意，棱台的上底面面积，下底面面积，高为， 故由公式可知，棱台的体积是， 故选：B. 7．D 【分析】由空间向量运算法则得,利用向量的线性运算求出结果. 【详解】因为点，分别是面对角线与的中点， ，，， 所以 故选:D. 8．D 【分析】根据零点的定义得出关于、的式子，再利用指数函数与的图象性质逐项分析即可求解. 【详解】根据题意，，所以且， ，所以且， 对比和可知，结合和只有一个交点， 所以，故，故选项A错误； 因为在定义域内单调递增， 易知在单调递增， 若，则， 与a是的零点矛盾，故选项B错误； 若成立， 则有，即有， 即有，故矛盾，所以选项C错误； ，故选项D正确． 故选：D． 9．AD 【分析】根据空间向量坐标运算依次判断选项即可. 【详解】由题意可知线段的中点的坐标为，所以A中说法正确； 点关于x轴对称的点的坐标为，所以B中说法错误； 点关于坐标原点对称的点的坐标为，所以C中说法错误； 点关于平面对称的点的坐标为，所以D中说法正确. 故选：AD. 10．AB 【分析】根据对数函数的定义域，奇函数的定义，复合函数的单调性，利用函数的单调性求值域依次判断即可. 【详解】对于选项,函数的定义域为，解得， 即的定义域为，所以正确； 对于选项,，即为奇函数，所以正确； 对于选项,，在上为单调递减，根据复合函数的单调性可知在定义域上是减函数， 所以不正确； 对于选项,因为的定义域为，所以，即，所以不正确； 故选：. 11．ABD 【分析】A选项，验证的关系即可判断；B选项，根据时，，得到，换元后得到，利用复合函数单调性即可判断；C选项，令，此时得到，换元后得到，结合二次函数的性质即可判断；D选项，由得到只需且，从而得到且，结合，解不等式，得到相应的，，验证后即可判断. 【详解】对于A，因为 ， 所以函数的周期为，故A正确； 对于B，时，， 故，令， 则， 因为，所以，故， 且在单调递减， 则，故， 故， 则在单调递增， 由复合函数满足同增异减可知：在单调递减，故B正确； 对于C，令， 若，，即，时， ， 两边平方得：， 故， 若，，即，时， 此时， 两边平方得： 此时， 综上：对于，均有， 所以变形为， 因为，所以当时，取得最大值，最大值为1， 其中，， 因为，故最小值为， 综上：的值域为，C错； 对于D，， 则， 假设为偶函数，则， 即， 只需且， 由， 可得①，或②， 其中由①得：，不能对所有恒成立，舍去； 由②得：， 由可得：③， 由③得：， 故需要保证与同时成立， 令，解得：且， 令，解得：且，故， 取，此时，此时令， 解得：，符合要求， 取，此时，此时令，解得：，舍去， 取，此时，此时令， 解得：，符合要求， 综上：存在两个不同的实数，使得为偶函数， ，就是这两个实数，D正确． 故选：ABD． 12． 【分析】求得，进而可得结果. 【详解】因为，所以， 故的虚部为. 故答案为：. 13．5 【分析】 根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】，故. 故答案为：5 14．/ 【分析】由表中数据，结合古典概型的概率计算公式可得答案. 【详解】由题意，随机选取100个水果，其中礼品果有20个，即选得礼品果的概率为， 所以这批水果中随机选取1个，是礼品果的概率为． 故答案为：. 15．(1)垂直，理由见解析 (2)平行，理由见解析 【分析】分别写出直线的斜率，即可判断出其位置关系. 【详解】（1）设直线的斜率分别为，． 因为，， 所以 从而与垂直; （2）因为， 从而与平行． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解； （2）将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解； （3）将用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1）如图所示， 因为为侧面的中心， 所以点为的交点， ， 则 ； （2）， ， 则 ； （3）， 则 . 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）依题意可得，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，从而求出面积的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理，又，所以. （2）因为点是边上靠近的三等分点， 即，所以， 在中，，由余弦定理， 即， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即面积的最大值为.    18．（1）；（2） 【分析】（1）由题设得，依据函数的单调性求最小值即可. （2）当时，同（1）根据函数单调性结合，求b的最小值；当时，利用基本不等式有，求b的最小值，注意判断b取最小值时是否在内即可，进而可确定上b的最小值. 【详解】（1）由题设知：，又均单调递减， ∴在上单调递减，故当时，， ∴大棚一天中保温时段的最低温度. （2）由题意，且， ∴当时，由（1）知递减，故只要即可，则， 当时，， 当且仅当时等号成立，故只要即可，则， 若有，此时成立. ∴综上，在上，要保持一天中保温时段的最低温度不小于， 大棚一天中保温时段通风量的最小值为 19．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）用向量法证明即可； （2）假设存在，根据线面角的公式运算即可得解. 【详解】（1）以为原点建立如图所示的坐标系，    ，，，， ，，， 设面的法向量为， ，令，则， ， 平面，， 平面； （2）假设存在点，设， 则， 设面法向量， ，， ，令，则， ， ，即， ， 故存在满足题意的点，此时. 答案第8页，共9页 答案第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$