3.2 等式的基本性质 同步课件 2025--2026学年湘教版七年级数学上册

第1课时 等式的基本性质 第3章 一次方程（组） 3.2 等式的基本性质 湘教版数学七年级上册 1 小学已经学习了等式的两个基本性质： 等式的基本性质I 等式两边都加上或减去同一个数，等式两边仍然相等. 等式的基本性质II 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，等式两边仍然相等. 等式的性质 1 自主思考 (1) 方程 5x = 4x + 2 与方程 x = 2 的解相同吗? 为什么? 猜测：相同 如何证明呢？ (1) 设数 a 是方程 5x = 4x + 2 的解， 则 5a = 4a + 2. 5a - 4a = 4a + 2 - 4a 根据小学所学的等式的基本性质I， 两边都减去同一个数 4a， a = 2 因此，2 是方程 5x = 4x + 2 的唯一解. 又 2 是方程 x = 2 的唯一解. 因此，方程 5x = 4x + 2 与方程 x = 2 的解相同. 证一证 知识要点 x = 2. 5x = 4x + 2 等式的基本性质1： 等式两边都加上或减去同一个数 (或整式)， 等式两边仍然相等. 两边都减去 4x 自主思考 (2) 方程 与方程 x = 15 的解相同吗? 为什么? 根据小学所学的等式的基本性质II， 两边都乘同一个数 3， (2) 设数 b 是方程 的解， 则 . b = 15 因此，15 是方程 的唯一解. 又 15 是方程 x = 15 的唯一解， 因此， 方程 与方程 x = 15 的解相同. 知识要点 x = 15. 等式的基本性质2： 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，等式两边仍然相等. 两边都乘 3 或除以 典例精析 例1 填空，并说明理由. (1) 如果 x + 2 = y + 7，那么 x = ； 解：因为 x + 2 = y + 7，由等式性质 1 可知， 等式两边都减去 2，得 x + 2 - 2 = y + 7 -2， 即 x = y + 5. y + 5 (2) 如果 3x = 9y，那么 x = ； 解：因为 3x = 9y，由等式性质 2 可知， (3) 如果 ，那么 3x = . 解：因为 ，由等式性质 2 可知， -2y 等式两边都乘 -6，得 即 3x = -2y. 等式两边都除以 3，得 ， 即 x = 3y. 3y (2) 怎样从等式 3 + x = 1 得到等式 x =－2? (3) 怎样从等式 4x = 12 得到等式 x = 3? 依据等式的性质 1 两边同时减 3. 依据等式的性质 2 两边同时除以 4 或同乘 . 依据等式的性质 2 两边同时除以 或同乘 100. 1. (1) 怎样从等式 x－5 = y－5 得到等式 x = y? 依据等式的性质 1 两边同时加 5. (4) 怎样从等式 得到等式 a = b? 练一练 例2 判断下列等式变形是否正确，并说明理由. (1) 如果 2m - 3n = 7，那么 2m = 7 + 3n； (2) 如果 ，那么 5(2x - 1) = 4(4x - 2). 解：(1) 错误. 由等式性质 1 可知，等式两边都加上 3n， 得 2m - 3n + 3n = 7 + 3n，即 2m = 7 + 3n. (2) 正确. 由等式性质 2 可知，等式两边都乘 20， 得 ，即 5(2x - 1) = 4(4x - 2). 例3 已知 mx = my，下列结论错误的是 （ ） A. x = y B. a + mx = a + my C. mx－y = my－y D. amx = amy 解析：根据等式的性质 1，可知 B、C 正确；根据等式的性质 2，可知 D 正确；根据等式的性质 2，A 选项只有 m ≠ 0 时才成立，故 A 错误，故选 A． A 易错提醒：此类判断等式变形是否正确的题型中，尤其注意利用等式的性质 2 两边同除以某个字母参数时，只有这个字母参数确定不为 0 的情况下，等式才成立. 等式的 基本性质 基本性质1 基本性质2 如果 a = b，那么 a±c = b±c. 如果 a = b，那么 ac = bc； 如果 a = b ，那么 (d ≠ 0). 1. 填空： (1) 将等式 x－3 = 5 的两边都_____得到 x = 8 ， 这是根据等式的性质__； (2) 将等式 的两边都乘___或除以 ___ 得 到 x = －2，这是根据等式性质 ___； 加 3 1 2 2 (3) 将等式 x + y = 0 的两边都_____得到 x = －y， 这是根据等式的性质___； (4) 将等式 xy = 1(x≠0) 的两边都______得到 ， 这是根据等式的性质___． 减 y 1 除以 x 2 2. 下列变形，正确的是 （ ） A. 若 ac = bc，则 a = b B. 若 ，则 a = b C. 若 a2 = b2，则 a = b D. 若 ，则 x = －2 B 3.(石狮市校级期中)根据等式的基本性质，下列结论正确的是 ( ) A. 若 x＝y，则 z＋2＝y－2 B. 若 2x＝y，则 6x＝y C. 若 ax＝2，则 x＝ D. 若 x＝y，则 x－c＝y－c D 北师大 数学 一年级 上册 第2课时 移项、合并同类项 第3章 一次方程（组） 3.2 等式的基本性质 湘教版数学七年级上册 18 我们在上节课学习了哪些等式的性质？ 等式的性质1： 如果 a＝b，那么_______________。 a ± c ＝ b ± c 如果 a＝b，那么_____________； 如果 a＝b (c ≠ 0)，那么________。 ac ＝ bc 等式的性质2： 用移项化简方程 1 探究1 利用等式的基本性质把下列方程化成 x = a 的形式： (1) 7x＝6x－5； (2) 2x＋80＝110. 解:方程两边都减去 6x，得 7x ＝6x－5 －6x －6x， 7x－6x＝－5， 即 x＝－5. 解:方程两边都减去 80，得 2x＋80 ＝110 －80 －80， 即 2x＝30， 在方程两边都除以 2，得 x＝15. 2x＝110－80， 7x＝ 6x －5 ① 7x －6x ＝－5 ② 由方程① 到方程 ②， “－6x”这项移动后，发生了什么变化? 改变了符号 这个变形相当于把 ① 中的“6x”这一项 从方程的右边移到了方程的左边. 2x＝110 －80 ④ 2x ＋80 ＝110 ③ 这个变形相当于把③中的 “ ＋80 ”这一项 由方程③ 到方程 ④， “－80 ”这项移动后，发生了什么变化? 改变了符号 从方程的左边移到了方程的右边. 知识要点 把方程中的某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边，方程的这种变形叫作移项，必须牢记： 移项要变号. 7x＝ 6x －5 7x －6x ＝－5 2x＝110 －80 2x ＋80 ＝110 议一议 (1) 若 x－4＝8，则 x＝8 －4 ； (2) 若 3y＝2y＋5，则 －3y－2y ＝5； (3) 若 5x－2＝4x＋1，则 5x－4x＝1＋2. × × √ ＋4 3y－2y 下面方程的移项是否正确？如有错误，请改正？ 练一练 1.下列移项正确的是 ( ) A. 由 2＋x＝8，得到 x＝8＋2 B. 由 5x＝－8＋x，得到 5x＋x＝ －8 C. 由 4x＝2x＋1，得到 4x－2x＝1 D. 由 5x－3＝0，得到 5x＝－3 C 2 利用移项和合并同类项化简方程 探究2 把方程 化为 x = a 的形式. 解：移项，得 合并同类项 ，得 两边都乘－3，得 x＝－27. 移项实际上是利用等式的性质 1，但是解题步骤更为简捷！ 2. 把下列方程化为 x = a 的形式： (1) 5x - 7 = 2x - 10； (2) -0.3x + 3 = 9 + 1.2x. 解：(1) 移项，得 5x - 2x = -10 + 7， 合并同类项，得 3x = -3， x = -1. (2) 移项，得 -0.3x - 1.2x = 9 - 3， 合并同类项，得 -1.5x = 6， x = -4. 练一练 两边都除以 3，得 两边都除以 -1.5，得 利用移项与合并同类项解一元一次方程 移项 利用移项解方程 移项的概念 移项法则 移项 系数化 1 合并同类项 1. 通过移项将下列方程变形，正确的是 ( ) A. 由 5x－7＝2，得 5x＝2－7 B. 由 6x－3＝x＋4，得 3－6x＝4＋x C. 由 8－x＝x－5，得 －x－x＝－5－8 D. 由 x＋9＝3x－1，得 3x－x＝－1＋9 C 2. 已知 2m－3 = 3n + 1，则 2m－3n = . 3. 如果 与 互为相反数，则 m 的值 为 . 4 4. 把下列方程化为 x = a 的形式： (1) 4x + 3 = 2 - x； 5x = -1. 两边都除以 5，得 4x + x = 2 - 3. 合并同类项，得 解： (1) 移项，得 两边乘 2，得 合并同类项，得 (2) 移项，得 x = -4. (3) 3x－7＋4x＝6x－2； (4) 6－8x＝3x＋3－5x. x＝5. 3x＋4x－6x＝－2＋7. 合并同类项，得 解：(3) 移项，得 两边都除以 －6，得 合并同类项，得 (4) 移项，得 －8x－3x＋5x＝3－6. －6x＝－3. 北师大 数学 一年级 上册 第3课时 去括号、去分母 第3章 一次方程（组） 3.2 等式的基本性质 湘教版数学七年级上册 33 1.去括号规律是什么？ + (a - b)＝ - (a - b)＝ a - b -a + b 去掉“+( )”，括号内各项的符号不变. 去掉“–( )”，括号内各项的符号改变. 2. 等式的性质 2：等式两边都乘同一个 ，或除以同一个不为 的数， 两边仍然相等. 3. 写出下列各组数的最小公倍数： （1）2 和 4 _____； （2）2 和 3 ______； （3）2，3 和 6 _____； （4）4，5 和 6 ______。 8 6 6 120 等式 数 0 利用去括号化简方程 1 探究1 如何把方程 3(2x＋5) ＝ x＋5 化成 x＝a 的形式？ 解：运用乘法对加法的分配律，得 6x＋15＝x＋5， 合并同类项，得 两边都除以 5，得 移项，得 6x－x＝5－15， 5x＝－10， x＝－2. 运用乘法对加法的分配律，将方程中的括号去掉，方程的这种变形叫作去括号. 知识要点 一元一次方程去括号有什么样的规律？说说你的理由. 整式 去括号规律： ＋(a－b)＝a－b －(a－b)＝－a＋b 方程 去括号 左右两边 去括号 议一议 1. 下面方程的求解是否正确？如不正确，请改正. 解方程 2(2x + 3) = 2 + x. 解： 去括号，得 4x + 3 = 2 + x. 移项，得 4x + x = 2 - 3. 化简，得 5x = -1. 方程两边都除以 5 ，得 x = -. 应改为 4 x + 6 = 2 + x 应改为 4x–x = 2 - 6 应改为 3x = -4 应改为 x = 应改为 3 练一练 1. 把下列方程化成 x＝a 的形式： (1) 2x－(x＋10)＝5x＋2(x－1)； 两边都除以 －6，得 合并同类项，得 移项，得 解：去括号，得 2x－x－10＝5x＋2x－2. 2x－x－5x－2x＝－2＋10. －6x＝8. (2) 3x－7(x－1) ＝3－2(x＋3). 两边都除以 －2，得 合并同类项，得 移项，得 解：去括号，得 3x－7x＋7＝3－2x－6. 3x－7x＋2x＝3－6－7. －2x＝－10. x＝5. 利用去分母化简方程 2 探究2 把方程 化成 x＝a 的形式. 解：在原方程的两边都乘 6，得 15x－8x＝－42， 合并同类项，得 两边都除以 7，得 移项，得 15x＝8x－42， 7x＝－42， x＝－6. 去括号，得 在原方程的两边都乘各个分母的最小公倍数，从而将分母去掉，方程的这种变形叫作去分母. 议一议 下面方程的去分母是否正确? 如有错误，请改正. (1) ，去分母，得 5x－2x＋3＝2； (2) ，去分母，得 4(3x＋1)＋25x＝80. 25x－3(2x－3)＝30 ×15 ×15 ×15 ×20 ×20 ×20 × √ 1. 去分母时，应将方程的左右两边同乘分母的 ； 2. 去分母的依据是 ，去分母时 不能漏乘 ； 3. 去分母与去括号这两步分开写，尽量不要跳步， 防止忘记变号. 最小公倍数 等式基本性质 2 没有分母的项 方法总结 典例精析 例1 把方程 化成 x＝a 的形式. 解：去分母，得 2(3x＋1)＝7＋x， 去括号，得 6x＋2＝7＋x， 移项，得 6x－x＝7－2， 合并同类项，得 5x＝5， 两边同时除以 5，得 x＝1. 练一练 2. 把方程 化成 x＝a 的形式. 解：去分母，得 3(x - 3) - 2(x＋1) = 1， 去括号，得 3x - 9 - 2x - 2 = 1， 移项，得 3x - 2x = 1 + 9 + 2， 合并同类项，得 x = 12. 去括号与去分母 去分母步骤： (1) 确定分母的___________； (2) 方程________同乘这个数，约去_____ 最小公倍数 左右两边 分母 去括号: 括号前为“-”，去括号后_________； 括号前为“+”，去括号后_________ 符号改变 符号不变 1.去括号： (1) 8－(7x＋2)＝________________________； (2) 3(x－1)＋5(2－x)＝___________________； (3) 4(x＋2)＋3(x－7)－2(5－x)＝ ____________________________________. 8－7x－2 3x－3＋10－5x 4x＋8＋3x－21－10＋2x 2. (武昌区期末) 方程 ，去分母正确的是 ( ) A. 3(x－1)－2(2x＋3)＝1 B. 3(x－1)－2(2x＋3)＝6 C. 3x－1－4x＋3＝1 D. 3x－1－4x＋3＝6 B 3. 把下列方程化成 x＝a 的形式： (1) 7x－3＝3x－(x－2)； 5x＝5. 两边同时除以 5，得 7x－3x＋x＝2＋3. 合并同类项，得 解：(1) (2) 3(x－1)－2(2x＋1)＝12； 移项，得 去括号，得 7x－3＝3x－x＋2. x＝1. －x＝17. 两边同时除以 －1，得 3x－4x＝12＋3＋2. 合并同类项，得 移项，得 (2) 去括号，得 3x－3－4x－2＝12. x＝－17. 4. (澄海区期末) 解下列方程： 两边同时除以 5，得 3(3y＋2) －12×1＝ 2(2y－1). 去括号，得 9y＋6－12＝4y － 2. 移项，得 9y－4y＝－2＋12－6. 合并同类项，得 5y＝4. 解：(1) 去分母 (方程两边乘 12)，得 两边同时除以 7，得 2(x－1)＋5x＝10×1. 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 解：(2) 去分母 (方程两边乘 10)，得 2x－2＋5x＝10. 2x＋5x＝10＋2. 7x＝12. 谢谢聆听 52 A A ＝ A － ＝1 (1) －1＝ ； (2) ＋ ＝1. x＝ . $$