2.3 整 式的概念 课件 2025—2026学年湘教版数学七年级上册

第1课时 整式 第2章 代数式 2.3 整 式的概念 湘教版数学七年级上册 1 如图是由一个长方形和一个半圆组成. 已知长方形的长为 x，宽为 y，半圆的直径为 y. (1) 长方形的面积为多少? (2) 半圆的面积为多少? (3) 由长方形和半圆组成的 图形的面积为多少? y x xy 这三个式子都是代数式，那么不同的代数式之间又有哪些区别和联系呢？ 单项式的相关概念 1 下面下划线上的代数式里含有加减运算吗? 只含有哪些运算? (1) 以 8 km/h 的平均速度行走 t h 的路程是 ； (2) 半径为 r 的圆的面积是 ； (3) 底面是边长为 x 的正方形，高为 y 的长方体的体积是 . 8t πr2 x2y 合作探究 问题：这些代数式有什么共同点？ 8 t πr2 x2y = 8×t = π×r2 = x2×y 乘积 π 代表的是圆周率，应看作常数. 都是数与字母及其幂的__________. 知识要点 单项式 定义： 由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式. 例如：像 -b，a， 等是单项式. 注意：像 ， ， 等不是单项式. 为什么？ 单独的一个数或一个字母也是单项式. 练一练 1.下列式子中哪些是单项式？ √ √ √ √ √ √ 思考：单项式中的数字和字母各有何意义呢? a 2 6 系数 次数 __ 1 5 = - ab 系数 定义： 单项式中数与字母相乘，通常把数字因数叫作系数； 所有字母的指数的和叫作单项式的次数. 二次 次数 对于单独一个非零的数，规定它的次数为 0. 做一做 填表： 单项式 -1.5x4 x2 y3 -y 5xy2 πx2y 2πx 系数 -1.5 1 次数 4 2 1 3 -1 1 5 3 π 3 2π 1 总结 当单项式系数为 1 或 -1 时，“1”通常省略不写. 练一练 2. 判断下列说法是否正确： ①－7xy2 的系数是 7；（ ） ②－x2y3 与 x3 没有系数；（ ） ③－ab3c2 的次数等于 3＋2；（ ） ④－a3 的系数是－1； （ ） ⑤－32x2y3 的次数是 7；（ ） ⑥ πr2h 的系数是 .（ ） × × × × × √ π 是系数的一部分 勿遗漏 a 的指数 1 任何单项式都有系数 多项式的相关概念 2 0.8p mn a2h -n v + 2.5 v - 2.5 3x + 5y + 2z x2 + 2x + 18 100t 单项式 ？ 观察：这些式子可以怎么分类？分别填入下面的框中. v + 2.5 v - 2.5 3x + 5y + 2z x2 + 2x + 18 探究：这些式子有什么特点？ v 2.5 v - 2.5 3x 5y 2z x2 2x 18 都可以看作几个单项式的和． v + (-2.5) 总结 多项式：几个单项式的 叫作多项式. 和 多项式的概念： 常数项 1.每个单项式叫作多项式的项. 次数： 2.不含字母的项叫作常数项. 4.次数最高项的次数，叫作这个多项式的次数. 一次二项式 名称： 多项式的相关概念： 项数： 1 2 一次项 3.每一项次数是几就叫作几次项. (最高次项) 定义总结 5.多项式没有系数，但它的每一项有系数，系数也包含符号. v - 2.5 v - 2.5 例1 分别写出下列多项式的次数和常数项： 解：(1) 2x－3 的次数是 1，常数项是 -3. (2) －x3＋7x－4 的次数是 3，常数项是 -4. (3) 3x2－5xy＋y2－4x＋6y－9 的次数是 2，常数项是 -9. 典例精析 (1) 2x－3； (2) －x3＋7x－4； (3) 3x2－5xy＋y2－4x＋6y－9. 例2 若多项式 x|a|+1y3 - (a - 1)x + x2 是五次三项式，求 a 的值. 典例精讲 解：由题意，得 |a| + 1 + 3 = 5， a - 1≠0， 解得 a = ±1， a≠1， 所以 a = -1. 分析：项的次数依次为 |a| + 1 + 3， 1， 2； 五次 → |a| + 1 + 3 = 5； 三项 → 三项前的系数不为 0 → a - 1≠0. 练一练 2. (x + 3) ayb + ab2 - 5 是关于 a、b 的四次三项式， 最高次项的系数为 2，则 x = ，y = . y + 1 = 4 x + 1 = 2 1 3 1. 关于 x、y 的多项式 -3kxy + 3y - 8x + 1 (k 为常数)不含二次项，则 k = . -3k = 0 0 整式 3 单项式 多项式 整式 单项式与多项式统称为整式. 整式： 定义总结 单项式有： ；多项式有： ； 整式有： . 典例精讲 ① ② ③ ⑤ ① ② ③ ⑤ 分析：⑤ ， ⑥整式的每一项都是数或字母的积， 是除法. 例2 填序号： ① 3、② x + y、③ 、④ 、 ⑤ 、⑥ . 等式 单项式 概念 数与字母及其幂的 组成的代数式叫作单项式 相关概念 单项式中的_____是这个单项式的系数. 一个单项式中，所有字母的指数的___叫作单项式的_____. 对于单独一个非零的数，规定它的次数为___. 乘积 数字 和 次数 0 几个单项式的 叫作多项式 整式 单项式 多项式 多项式中每个单项式叫作___ 相关概念 和 常数项 概念 项 多项式中，不含字母的项叫作 多项式中，次数 项的次数，叫作这个多项式的____ 最高 次数 × × × 1. 下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 3x，2x-1， ，-5， -1，3m - 4n + m2n． 2. 判断正误： （1）多项式 -x2y + 2x2 - y 的次数 2．（ ） （2）多项式 - - a + 3a2 的一次项系数是 1．（ ） （3）- x - y - z 是三次三项式．（ ） 3. 一个关于字母 x 的二次三项式的二次项系数为 4，一次项系数为 1，常数项为 7，则这个二次三项式为＿＿＿＿＿． 4x2 + x + 7 4. 若 是关于 x 的一次式，则 a =____，若它是关于 x 的二次二项式，则 a =____. 2 -3 5. 如图，某居民小区有一块宽为 2a 米，长为 b 米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为 a 米的扇形花台，在花台内种花，其余种草. 如果建造花台及种花费用每平方米为 100 元，种草费用每平方米为 50 元. 那么美化这块空地共需多少元？ 解：花台面积和为 πa2 平方米， 草地面积为 (2ab－πa2) 平方米. 所以需资金为 [100πa2＋50(2ab－πa2)] 元. 北师大 数学 一年级 上册 第2课时 合并同类项 第2章 代数式 2.3 整 式的概念 湘教版数学七年级上册 23 引言：一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为 96 km/h. 在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为 72 km/h 和 92 km/h. 请根据这些效据回答下列问题： 如果汽车通过海底隧道需要 a h，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的 1.25 倍，你能用含 a 的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长吗? 路程＝速度×时间 香港口岸到西人工岛＝海底隧道＋香港口岸到东人工岛 ＝72a＋96×1.25a ＝72a＋120a 如何计算？ 同类项 1 填空： (1) 72×2 + 120×2 = ( )×2 (2) 72×(-2)+120×(-2)= ( )×(-2) 72 + 120 探究1 72 + 120 结构相同，用字母 a 代表数字 (2 或 -2). 铁路全长 (单位：km) ：72a＋120a = (72 + 120) a = 192a = 192×2 = 192×(-2) 探究2 填空： (1) 72a - 120a = ( ) a (2) 3m2 + 2m2 = ( ) m2 (3) 3xy2 - 4xy2 = ( ) xy2 72 - 120 3 + 2 3 - 4 观察等号左边的式子有什么共同特点，你能从中得出什么规律？ 1. 多项式 2. 每项所含的字母相同 3. 相同字母的指数相同 = -48a = 5m2 = -xy2 把所含 相同并且相同字母的 也相同的单项式叫做同类项. 字母 指数 非零常数也是同类项吗？ 几个常数项也是同类项． 同类项： 定义总结 3 和 1 互为同类项． 比如 3ab2 和 4ab2 互为同类项． (3) -3pq 与 3qp (1) 2x2y 与 -3x2y (2) 2abc 与 3ab (4) -4x2y 与 5xy2 例1 判断每一组是否是同类项，不是则为前者配一个. √ × 3abc √ × 5x2y 总结 同类项的判别方法： 只与字母及其指数有关，与系数无关， 与字母排列顺序无关. 典例精讲 练一练 2. 如果 2a2bn+1 与 -4amb3 是同类项，那么 m = ， n = . 1. 在 x4－3x2y＋5x＋7x2y＋4 中 与 是同类项. -3x2y 2 2 7x2y 合并同类项 2 探究3 计算：x4－3x2y＋5x3＋7x2y＋4. 解：原式＝x4－3x2y＋7x2y＋5x3＋4 ＝x4＋(－3x2y＋7x2y)＋5x3＋4 ＝x4＋(－3＋7) x2y＋5x3＋4 ＝x4＋4x2y＋5x3＋4. 思考：每一步分别用了什么运算律？ 交换律 结合律 分配律 合并同类项 合并同类项： 在多项式中，要把同类项的系数相加合并成 ，这叫作合并同类项. 一项 知识要点 合并同类项法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的 ，且字母连同它的 不变． 和 指数 知识要点 把只有一个字母的多项式的各项按照该字母的指数由大到小 (或由小到大) 排列，称为降幂 (或升幂) 排列. 降幂：x4＋5x3＋4x2y＋4 升幂：4＋4x2y＋5x3＋x4 合并完后，多项式的次数和项数分别是几，则称此多项式为几次几项式. 例如，x4＋4x2y＋5x3＋4 是为四次四项式. 典例精讲 例2 把下列多项式合并同类项： (1) 2x3－9x3＋x2－7； 解 (1) 2x3－9x3＋x2－7 ＝ (2－9)x3＋x2－7 ＝－7x3＋x2－7 ①找出同类项 ②用运算律将同类项移至一起 ③合并同类项 (2) －3x2y2＋5xy3－7x2y2－8xy3－10； (2) －3x2y2＋5xy3－7x2y2－8xy3－10 ＝(－3－7)x2y2＋(5－8)xy3－10 ＝－10x2y2－3xy3－10. 总结 习惯上，把只有一个字母的多项式按降幂排列； 把含有多个字母的多项式按照其中某个字母进行降幂排列. 例3 写出下列多项式的次数和常数项，并指出它们是不是按 x 降幂排列，对于不是按 x 降幂排列的多项式，试着按 x 进行降幂排列： (2) 5x2y4－2x3y2＋6xy3－7y－19. 解 (1) 的次数是 5，常数项是 10，且是按 x 降幂排列. (2) 5x2y4－2x3y2＋6xy3－7y－19. (2) 5x2y4－2x3y2＋6xy3－7y－19 的次数是 6，常数项是－19，它不是按 x 降幂排列，按 x 降幂排列应为 －2x3y2＋5x2y4＋6xy3－7y－19. 练一练 1.求多项式 3a + abc - c2 - 3a + c2 的值，其中 a = ，b = 2，c = -3. 解：原式= (3 - 3)a + abc + ( )c = -abc. 当 a = ，b = 2，c = -3 时， 上式 = × 2 × (-3) = 1. ①将多项式化简 ②将数值代入化简后的式子 ③计算结果 说一说 分别将多项式 x3－4x2＋7x2－2x－5 与多项式 x3＋3x2－6x＋4x－5 合并同类项，你会发现什么？ x3－4x2＋7x2－2x－5＝ x3＋3x2－2x－5 x3＋3x2－6x＋4x－5＝ x3＋3x2－2x－5 知识要点 两个多项式分别合并同类项后，如果它们的对应项系数都相等，那么称这两个多项式相等. 例如，若多项式 ax2＋bxy－cy 与多项式 dx2－exy 相等，其中 a，b，c，d，e 均为常数， 则 a＝d，b＝－e，－c＝0. 所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项；几个 也是同类项 合并同类项 概念 法则 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的 的和，且字母连同它的 不变 用整式表示数量关系并合并同类项 字母 指数 应用 把同类项的系数相加合并成 ,叫作合并同类项 在多项式求值时，可以先将多项式中的同类项 ，然后再代入求值，这样可以 计算 常数项 一项 系数 指数 合并 简化 1. 下列各组式子中是同类项的是（ ） A．-2a 与 a2 B．2a2b 与 3ab2 C．5ab2c 与 -b2ac D．-ab2 和 4ab2c 2. 下列运算中正确的是（ ） A．3a2 - 2a2 = a2 B．3a2 - 2a2 = 1 C．3x2 - x2 = 3 D．3x2 - x = 2x C A 3. 如果 5x2y 与 xmyn 是同类项，那么 m = ，n =____. 4. 合并同类项： （1）-a - a - 2a =______； （2）-xy - 5xy + 6yx =____； （3）0.8ab2 - a2b + 0.2ab2 = ； （4）3a2b - 4ab2 - 4 + 5a2b + 2ab2 + 7 = . 1 -4a 0 ab2 - a2b 2 8a2b - 2ab2 + 3 5．合并同类项: (1) -7mn + mn + 5nm； (2) 3a2b - 4ab2 - 4 + 5a2b + 2ab2 + 7． - mn 8a2b - 2ab2 + 3 6．求值：a2b - 6ab - 3a2b + 5ab + 2a2b， 其中 a = 0.1，b = 0.01． -0.001 谢谢聆听 45 $$