精品解析：上海大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考诊断测试数学试题

2024学年第一学期上大附中诊断测试 高三年级数学试卷 试卷满分150分 答题时间：120分钟 本卷为试题部分，考生应将试题答案写在答题纸上 一、填空题（1~6：每小题4分，7~12：每小题5分，共54分） 1. 若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的概念计算即可. 【详解】根据题意可知的实部和虚部分别为，所以. 故答案为： 2. 不等式的解集为______． 【答案】或, 【解析】 【分析】由分式不等式的解法求解即可. 【详解】不等式等价于：，解即， 解得：或， 所以不等式的解集为或, 故答案为：或 3. 将化为的形式______ 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式整理即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 4. 棱长为的正方体的内切球表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的性质可知棱长为2的正方体的内切球的半径，即得. 【详解】根据正方体的性质可知棱长为2的正方体的内切球的半径为， 所以其表面积. 故答案为：. 5. 若函数，，若的最小值为2，则______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减，根据最小值求出a. 【详解】根据题意，函数， 根据二次函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则的最小值为. 故答案为：2 6. 函数在处的切线倾斜角是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出函数在处的切线斜率，即可计算作答. 【详解】依题意，，则函数在处的切线斜率， 所以所求切线倾斜角为. 故答案为： 7. 若的展开式中常数项为________. 【答案】28 【解析】 【分析】求出展开式d 通项，令的指数为0即可求出. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得， 则展开式的常数项为. 故答案为：28. 8. 若数列是各项为正数的等差数列，且，则的最小值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及基本不等式求解. 【详解】由等差数列性质知，，且， 所以 ，当且仅当， 即，时等号成立. 故答案为： 9. 把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有__________个 【答案】14 【解析】 【分析】根据1是分界点，分类讨论即可. 【详解】该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当1前面只有一个数时，有种情况； 当1前面只有2个数时，有种情况； 当1前面只有3个数时，有种情况. 综上，这样的数列共有个. 故答案为：14 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点.且在上的投影为，则双曲线的离心率为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到点坐标关于的表示，再将其代入双曲线方程得到关于的齐次方程，从而得解. 【详解】解：如图所示： 在上的投影向量为， ， 又， ， 又在双曲线上， ， 则， 即， 整理得：， 即， 解得：或（舍去）， . 故答案为：. 11. 平面点集所构成区域的面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合描述确定轨迹内切于圆心为，半径为5的圆，外切于圆心为，半径为3的圆，即可求面积. 【详解】由题设表示圆心为，其在圆心为原点，半径为1的圆上， 显然轨迹是圆心在单位圆上，且半径为4的圆，故点集与原点距离最远恒为5，最近恒为3， 所以的轨迹为圆心为，外径为5，内径为3的圆环， 所以，平面点集所构成区域的面积为. 故答案为： 12. 已知函数，若对任意实数，方程有解，方程也有解，则的取值集合为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角不等式转化为恒成立问题，再结合余弦函数的性质，即可求解. 【详解】因为，所以，，， 由三角不等式， 得恒成立， 所以，即， 当或时，等号成立， 此时， 所以要对任意实数都成立，需满足. 同理恒成立， 所以，即， 当时，等号成立， 此时， 所以要对任意实数都成立，需满足. 综上所述，，即的取值集合为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用三角不等式将已知条件转化为恒成立问题，再利用余弦函数的性质求最值. 二、选择题（13~14：每小题4分，15~16：每小题5分，共18分） 13. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确. 【详解】若，，则，，则A、B错误； 若，，则，则C错误； ，，又，，则D正确. 故选：D. 14. 函数，正确的命题是（ ） A. 定义域为 B. 值域为 C. 在定义域上是严格增函数 D. 有两个不同的零点 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的性质，结合特值法，即可判断. 【详解】对于A：因为，定义域，所以定义域，故A错误； 对于B：设，则，故B错误； 对于C：因为，所以在定义域上是严格增函数，故C正确； 对于D：设，则，又因为，且在定义域上是严格增函数，所以只有一个零点，故D错误. 故选：C. 15. 下列四个命题中，真命题的个数为（ ） ①若事件A和相互独立，则；②若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则其平均数和方差都会发生变化；③“”是“和的夹角为锐角”的必要非充分条件；④函数满足，则该函数为奇函数或偶函数； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】对于①：根据独立事件和事件的运算分析判断；对于②：根据平均数和方差的性质分析判断；对于③：根据数据量与向量夹角之间的关系分析判断；对于④：举反例说明即可. 【详解】对于①：若事件A和相互独立，则， 所以，故①错误； 对于②：设原数据的平均数为，方差为， 将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则新数据的平均数为，方差为， 即方差不会发生改变，故②错误； 对于③：若，等价于和的夹角为锐角或为零角， 所以“”是“和的夹角为锐角”的必要非充分条件，故③正确； 对于④：例如，满足， 但为非奇非偶函数，故④错误； 综上所述：真命题的个数为1. 故选：B. 16. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记.下列命题中正确的是（ ） A. 已知，且，则 B. 已知，若，则对任意，都有 C. 已知，，则存在实数，使得 D. 已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得 【答案】D 【解析】 【分析】由，得到，可判断A；由，时可判断B；分情况讨论的范围可判断C，由时，求得可判断D. 【详解】A选项，由，可得，， 因为，所以，，故A错误； B选项，由知，且， 则且， 但是不一定成立，例如：，，故B错误； C选项，由，， 当，即时，； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以不存在实数，使得，故C错误； D选项，由，，取， 可得，对任意实数，总存在使之成立，故D正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数新定义的运用，需要准确把握定义要求，根据信息利用具体函数排除法，反证法，分类讨论法以及数形结合法一一判断即可. 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17. 已知集合， （1）求； （2）若不等式在集合上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合A，B，再根据补集及交集运算求解； （2）求出的解，根据不等式恒成立可得是解集的子集， 列出不等式即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 【小问2详解】 由题意，时，不等式恒成立， 由可得， 解得或， 所以时，不等式恒成立， 需满足或，即或. 故的取值范围为. 18. 在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一动点. （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为是正方形， 所以， 又因为平面，平面， 所以， 平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，由线面垂直的判断定理可得平面，即可得证； （2）以为原点，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为原点，建立如图所示的空间坐标系： 因为，为中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，取， 则， 设点到平面的距离为， 则. 19. 设函数，且. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于的不等式 【答案】（1）2； （2）偶函数，在上单调递减，在上单调递增，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据化简求解即可； （2）根据奇偶性定义和单调性定义即可判断奇偶性和单调性，结合单调性和奇偶性将函数符号去掉，转化为一元二次不等式求解可得. 【小问1详解】 由题知，， 因为，所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）知，，定义域为， 又，所以为偶函数. ，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递减， 又因为为偶函数，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以， 因为为偶函数，且在上单调递减， 所以，即，解得， 又，所以不等式解集为. 20. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点. （1）求当面积最大时直线的斜率； （2）若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记、的面积分别为、，求的最大值. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质判断面积最大时的位置，即可求直线斜率； （2）①利用垂直关系分别写出直线的方程，求出其交点的坐标，同理可求得的坐标，即可得出直线的方程； ②将直线与椭圆方程联立利用韦达定理可解得点纵坐标，同理得点纵坐标，再结合①中直线的方程可得，分别表示出的表达式利用基本不等式即可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意，， 所以为椭圆的上下顶点时，面积最大， 若为上顶点，此时， 若为下顶点，此时， 综上，面积最大时直线的斜率为. 【小问2详解】 如下图所示： ①设，由题意直线斜率一定存在，即， 所以，有直线，又，且相互垂直，则， 所以，故直线， 综上，，结合，可得， 所以直线交点横坐标为， 同理得，即直线交点横坐标为， 综上，直线为； ②设直线，与椭圆联立并整理得，易得，同理可得， 又，同理可得， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的面积问题往往是先写出面积表达式，通过合理变形再利用基本不等式或构造函数求出其范围即可. 21. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）①当时，恒成立，求正整数k的最大值； ②证明：． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）①； ②要证， 即证， 由①知，令， 则， 所以 ， 故. 【解析】 【分析】（1）由函数解析式，利用导数求其单调性，根据极值的定义，可得答案； （2）①由（1）所得函数的单调性，分情况求得最值，②利用不等式性质以及裂项相消，可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，，，又， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数取极小值， 所以函数有极小值，无极大值. 【小问2详解】 ①因为当时，恒成立，所以， 由（1）若，则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，令， 则在上恒成立，所以在上单调递减， 由，，， 则存在使得，所以的解集为， 综上满足条件的正整数的取值范围，其中， 所以正整数的最大值. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期上大附中诊断测试 高三年级数学试卷 试卷满分150分 答题时间：120分钟 本卷为试题部分，考生应将试题答案写在答题纸上 一、填空题（1~6：每小题4分，7~12：每小题5分，共54分） 1. 若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为______ 2. 不等式的解集为______． 3. 将化为的形式______ 4. 棱长为的正方体的内切球表面积为__________． 5. 若函数，，若的最小值为2，则______ 6. 函数在处的切线倾斜角是___________. 7. 若的展开式中常数项为________. 8. 若数列是各项为正数的等差数列，且，则的最小值为______ 9. 把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有__________个 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点.且在上的投影为，则双曲线的离心率为__________ 11. 平面点集所构成区域的面积为__________ 12. 已知函数，若对任意实数，方程有解，方程也有解，则的取值集合为__________ 二、选择题（13~14：每小题4分，15~16：每小题5分，共18分） 13. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 函数，正确的命题是（ ） A. 定义域为 B. 值域为 C. 在定义域上是严格增函数 D. 有两个不同的零点 15. 下列四个命题中，真命题的个数为（ ） ①若事件A和相互独立，则；②若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则其平均数和方差都会发生变化；③“”是“和的夹角为锐角”的必要非充分条件；④函数满足，则该函数为奇函数或偶函数； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记.下列命题中正确的是（ ） A. 已知，且，则 B. 已知，若，则对任意，都有 C. 已知，，则存在实数，使得 D. 已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17. 已知集合， （1）求； （2）若不等式在集合上恒成立，求的取值范围. 18. 在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一动点. （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求点到平面的距离. 19. 设函数，且. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于的不等式 20. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点. （1）求当面积最大时直线的斜率； （2）若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记、的面积分别为、，求的最大值. 21. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）①当时，恒成立，求正整数k的最大值； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $