精品解析：广东省韶关市新丰县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中学业水平监测 九年级数学 注意事项： 1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的考号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应号码的标题涂黑． 3．在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效． 一、选择题：本大题共计10小题，每小题3分，共计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. x2﹣1=0 B. y=2x2+1 C. x+ =0 D. x2+y2=1 2. 抛物线与x轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合．（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 有最大值5 C. 对称轴 D. 顶点坐标 6. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，抛物线的图象如图所示，根据图象回答，当时，x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 8. 若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20=0的根，则△ABC的周长是（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 7或10 9. 《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. 与轴另一交点坐标为 D. 二、填空题：本大题共计5小题，每小题3分，共计15分． 11. 一元二次方程5x2– 3x = 4＋2x化为一般形式是_______． 12. 方程的根是________． 13. 为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排36场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排个球队参赛，根据题意，可列方程为 __． 14. 已知抛物线 与x轴有且只有一个交点，则____． 15. 如图，在ABC 中，AB=6，BC=13， B 60，将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，CD 的长为______． 三、解答题（一）：本大题共计3小题，每小题7分，共计21分． 16. 用指定方法解方程： （1）；（配方法） （2）．（公式法） 17. 已知二次函数的图象经过点 （1）求b的值； （2）求这个图象的顶点坐标与对称轴． 18. 如图，点是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合． （1）旋转中心是点_____．旋转角的度数为_____． （2）请你判断的形状，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共计3小题，每小题9分，共计27分． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果此方程有两个相等的实数根，求n的值； （2）如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根． 20. 某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m） （1）直接写出c＝　 　； （2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？ （3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由. 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 （1）请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标． （2）求的面积？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 该零件月销售利润能达到40000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点． 备用图 （1）求该抛物线的函数解析式． （2）在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值． （3）在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中学业水平监测 九年级数学 注意事项： 1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的考号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应号码的标题涂黑． 3．在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效． 一、选择题：本大题共计10小题，每小题3分，共计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. x2﹣1=0 B. y=2x2+1 C. x+ =0 D. x2+y2=1 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．x2﹣1=0是一元二次方程，故A正确； B．y=2x2+1是二次函数，故B错误； C．x+=0是分式方程，故C错误； D．x2+y2=1中含有两个未知数，故D错误． 故选A． 2. 抛物线与x轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与x轴的交点个数即为抛物线对应的一元二次方程的解的个数，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴抛物线与x轴的交点个数为0个， 故选：A． 3. 如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合．（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】据旋转中心、旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点，可知图中的旋转中心就是该图的几何中心，即点O．该图绕旋转中心O旋转90°，180°，270°，360°，都能与原来的图形重合，再利用中心对称图形的定义即可求解． 【详解】解：图中的旋转中心就是该图的几何中心，即点O．该图绕旋转中心O旋转90°，180°，270°，360°，都能与原来的图形重合， 故只有不能与原图形重合. 故选：B. 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．也考查了旋转中心、旋转角的定义及求法．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角． 4. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用顶点式求出新抛物线解析式． 【详解】∵ 抛物线的顶点坐标为（0，0）， ∴ 向上移2个单位后的抛物线顶点坐标为（0，2）， ∴ 新抛物线的解析式为+2． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，确定平移前后抛物线的顶点坐标是解题的关键． 5. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 有最大值5 C. 对称轴 D. 顶点坐标 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式依次判断． 【详解】解：∵二次函数解析式为y = (x-3) 2 +5， ∴图象开口向上，顶点坐标为（3，5），对称轴为直线，函数最小值为5， 故选D． 【点睛】本题考查了顶点式函数解析式的性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质． 6. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，根据二次函数的对称轴确定各点到对称轴的距离，结合二次函数的开口方向，即可判断，，的大小关系． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上， 且，，，抛物线开口向下， ∴， 故选：A． 7. 已知，抛物线的图象如图所示，根据图象回答，当时，x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可得：当时，或，可得当时，即图象在直线的下方，从而可得x的取值范围是． 【详解】解：由图象可得：当时，或， ∴当时，x的取值范围是； 故选A 【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 8. 若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20=0的根，则△ABC的周长是（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 7或10 【答案】A 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝5，再根据三角形三边的关系可判断△ABC的第三边长为4，然后计算△ABC的周长． 【详解】解：∵x2﹣9x+20=0， ∴（x−4）（x−5）＝0， ∴x−4＝0或x−5＝0， ∴x1＝4，x2＝5， ∵2＋3=5， ∴△ABC的第三边长为4， ∴△ABC的周长为2＋3＋4＝9． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系． 9. 《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设折断后的竹子高度为x尺，根据各部分的长，可得出折断部分的竹子长尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺， ∴折断部分的竹子长尺． 根据题意得：． 故选：A． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. 与轴另一交点坐标为 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向判断A，根据对称轴判断B，根据抛物线的对称性判断C，将代入解析式判断D． 【详解】解：抛物线开口向下， ，故A选项结论正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ，故B选项结论错误； 抛物线的对称轴为直线，与轴一交点坐标为 该抛物线与轴另一交点坐标的横坐标为， 该抛物线与轴另一交点坐标为，故C选项结论正确； 将代入，得，故D选项结论正确； 故选B． 二、填空题：本大题共计5小题，每小题3分，共计15分． 11. 一元二次方程5x2– 3x = 4＋2x化为一般形式是_______． 【答案】5x2– 5x -4=0 【解析】 【分析】根据一元二次方程一般式的形式化简即可． 【详解】解：5x2– 3x = 4＋2x化为一般式为5x2– 5x -4=0， 故答案为：5x2– 5x -4=0． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是． 12. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】直接根据平方根的性质，即可求解． 【详解】解：， ∴或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 13. 为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排36场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排个球队参赛，根据题意，可列方程为 __． 【答案】 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 14. 已知抛物线 与x轴有且只有一个交点，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，把二次函数转化为关于的一元二次方程，再根据一元二次方程根与系数的关系得出结论是本题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在ABC 中，AB=6，BC=13， B 60，将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，CD 的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得AD=AB，可证得ADB是等边三角形，可得BD=AB=6，据此即可求得． 【详解】解：将ABC 绕点 A 顺时针旋转得到ADE， AD=AB， 在ABC 中，B 60， ADB是等边三角形， BD=AB=6， CD=BC-BD=13-6=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，证出ADB是等边三角形是解决本题的关键． 三、解答题（一）：本大题共计3小题，每小题7分，共计21分． 16. 用指定方法解方程： （1）；（配方法） （2）．（公式法） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键． （1）运用配方法即可解答． （2）运用一元二次方程求根公式解答即可． 【小问1详解】 解：， 配方得，即， 开方得， 解得， 即，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴，． 17. 已知二次函数的图象经过点 （1）求b的值； （2）求这个图象的顶点坐标与对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标，对称轴为直线 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； （1）把点代入即可求解的值； （2）把抛物线化为顶点式，即可求解； 【小问1详解】 解：把点代入得： ∴； 【小问2详解】 ∵此抛物线的解析式为， ∴这个图象的顶点坐标， 对称轴为直线． 18. 如图，点是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合． （1）旋转中心是点_____．旋转角的度数为_____． （2）请你判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），； （2） 的形状是等腰直角三角形，理由： 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（）确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪是对应点，即可确定旋转中心以及旋转角； （）根据旋转的性质，可以得到旋转前后的两个图形全等，以及旋转角的定义即可作出判断； 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ∴， 根据题意可得：旋转中心是点，旋转角， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共计3小题，每小题9分，共计27分． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果此方程有两个相等的实数根，求n的值； （2）如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根． 【答案】（1）．（2）2． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式△=0列出关于n的方程，通过解方程即可求得n的值； （2）设方程的另一个实数为x2，再根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）∵原方程有两个相等实数根， ∴． 即． ∴． （2）∵原方程有一个实数根为0，设方程的另一个实数为x2， ∴0+ x2=2． ∴x2=2，即另一个根为2． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系．在利用根与系数的关系公式x1x2=，x1+x2=-时，一定要弄清楚公式中a、b、c所表示的意义． 20. 某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m） （1）直接写出c＝　 　； （2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？ （3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由. 【答案】（1）5； （2）10米； （3） 能安全通过， 理由： 把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4， 故能安全通过． 【解析】 【分析】（1）将点C（0，5）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c即可求解； （2）由图可知，A、B两点之间的距离即为该隧道截面的最大跨度，故由方程0＝﹣x2+c的解即可求得； （3）该隧道为双向车道，故将x＝3代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c，求得y的值与4比较大小即可求解． 【小问1详解】 解：∵顶点C（0，5） ∴c＝5， 故答案为：5． 【小问2详解】 解：由题意可得：0＝﹣x2+5， 解得：x1＝5，x2＝﹣5， 故AB＝2×5＝10米． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、解一元二次方程、二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，能结合图形与实际列式求解． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 （1）请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标． （2）求的面积？ 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定、、三点关于原点成中心对称的对称点，再连接即可； （2）利用长方形的面积减去周围多余三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为． 【点睛】本题主要考查了作图——中心对称变换，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 该零件月销售利润能达到40000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】任务一：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务二：该零件的实际售价应定为50元； 任务三：月销售利润不能达到40000元， 理由：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到40000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到40000元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； 任务二：设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论； 任务三：设该零件的实际售价n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【详解】解：任务一：设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务二：设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； 任务三：略 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点． 备用图 （1）求该抛物线的函数解析式． （2）在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值． （3）在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，点P的坐标为，的面积最大值为； （3）存在，N点坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）将点，代入抛物线的函数解析式求解，即可解题； （2）过点P作轴，交于点Q，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，表示出，利用二次函数的最值，得到的最大值，推出点P的坐标，进而得到的面积最大值； （3）根据以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况讨论，①当，为对角线时，②当，为对角线时，③以，为对角线时，利用平行四边形对角线互相平分的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 解：将点，代入中， 有，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为，把，代入， 可得，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， 点P在直线的下方， ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 此时点P的坐标为， 的面积最大值为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 点N是对称轴上的一点，点P是抛物线上一点， 设N点坐标为，P点坐标为， 以点B，C，P，N为顶点的平行四边形： ①当，为对角线时， ，且，解得，， 此时N点坐标为； ②当，为对角线时， ，且，解得，， 此时N点坐标为； ③以，为对角线时， ，且，解得，， 此时N点坐标为． 综上，N点坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $