精品解析：山西省吕梁市2024-2025学年高三上学期11月期中阶段性测试数学试题

2024-2025学年吕梁市高三年级阶段性测试 数学试题 （本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为， 又，所以. 故选：D. 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算求出，再利用复模的运算即可得解. 【详解】复数，所以. 故选：A. 3. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性、单调性的定义判断． 【详解】选项A中是偶函数，BCD三选项中函数都是奇函数； 在和上都是减函数，但在定义域内不是减函数，B错； 结合幂函数性质知是减函数，C正确； 中，设，则，而， 因此，即，是增函数，D错． 故选：C． 4. 已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先验证甲是否能推出乙，再验证乙是否能推出甲求解. 【详解】验证甲是否能推出乙，甲的意思是该数列隔项成等比数列， 甲可构造数列， 显然甲推不出乙，验证乙是否能推出甲， 因为数列是等比数列，所以，， 所以， 所以乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】令，过作于，利用投影向量的意义求出，再利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求出，由给定向量等式确定点的位置即可求解. 【详解】在中，令，过作于，， 由向量在向量上的投影向量为，得， 解得，则，由，得 ，解得，由， 得，即，因此， 在中，. 故选：C 6. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，记的周长为，面积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设，利用三角形全等得到的周长为4，再利用勾股定理得出关于的表达式，进而得到关于的表达式，利用换元法与基本不等式即可得解. 【详解】因为矩形的周长为， 设，则，故，得， 因为，，， 所以，设，则， 所以的周长为， 在直角中，由勾股定理得，解得， 则，所以， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得到的周期和对称轴，对A，根据周期可得到，再根据对称轴得到，结合解析式即可求解；对B，根据周期可得到，再根据对称轴得到，结合解析式即可求解；对C，D，结合函数在上的单调性和的对称性即可判断. 【详解】为偶函数，，即， 即函数关于对称， 又为奇函数，， 故，即的最小正周期为4， 对A，的最小正周期为4，， 又关于对称，， 当时，，则， 即，故A错； 对B，的最小正周期为4，， 又关于对称，， 当时，， 即，故，故B错； 对C，当时，，易知在上单调递增， 又关于对称，， ，，即， 故，故C错误； 对D，， 且， 故，故D对. 故选：D. 8. 当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别作出与的图象，可得，从而可求解. 【详解】由，如图所示，画出在时的图象， 对于，，， 令，得，，得，， 由与的图象有个交点， 由图知，解得，故B正确. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. 在等差数列中，，，，则 D. 在等差数列中，为其前项和，若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，由弦切互化结合三角恒等变换公式即可计算求解；对于CD，由等差数列通项公式和前n项和公式即可计算求解. 【详解】A选项， ，A选项正确. B选项， ，所以B选项错误. C选项，在等差数列中，，，， 设等差数列的公差为，则， 两式相减得，所以， 则，所以，C选项正确. D选项，设等差数列的公差为，则， 即，两式相减得， 所以，所以D选项错误. 故选：AC 10. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将等式变形为，利用可得选项A正确；通过配方得，利用可得选项B错误； 等式可变形为，利用可得选项C正确；通过配方可得，利用可得选项D正确. 【详解】对于A，可化为，， ∵（当且仅当时取等号）， ∴， ∴， ∴，选项A正确. 对于B，由得， ∴， ∴，选项B错误. 对于C，由得， ∴， ∵（当且仅当时取等号）， ∴， ∴， ∴，选项C正确. D. 由得， ∴， ∴. 由得， ∴， ∴，选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 有两个零点 C. D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求出定义域，求导，得到函数在上单调递减，举出反例得到A错误；B选项，在A选项基础上，结合零点存在性定理进行求解；C选项，计算出，C正确；D选项，计算得到，在C选项基础上求出D正确. 【详解】A选项，定义域为， ， 故在上单调递减， 不妨取，此时满足，但， ，，A错误； B选项，由A选项知，在上单调递减， 其中，， ，， 由零点存在性定理可知，存在，使得， 故有两个零点，B正确； C选项，， 而， 故，C正确； D选项，， 又，， 且，，，结合C选项知，， 则，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：互为倒数关系，从而研究得到，并由此得出D选项的思路，由求出. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，， 则， 又，则，解得， 故答案为： 13. 对于数列，定义数列为数列的“和数列”，若，数列的“和数列”的通项公式为，则数列的前21项和______．（结果保留指数形式） 【答案】． 【解析】 【分析】利用等比数列求和公式求解即可． 【详解】因为，数列的“和数列”的通项公式为， 所以数列， ， 故答案为：． 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题根据余弦定理与正弦定理进行化简，得到为，求出的范围，结合对勾函数的特点，即可求得. 【详解】由题意，因为，即 由正弦定理可得，， 所以或，， 又，，， ， ，解得， ， 又因为， 令，则，， 根据对勾函数的性质，函数在上单调递增， 所以， 所以则的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了余弦定理、正弦定理以及对勾函数的性质，较为综合. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且的最小正周期为． （1）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求的最小值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，根据的最小正周期求得，利用三角函数图象变换的知识求得，再根据是偶函数来求得的最小值. （2）根据三角恒等变换的知识求得. 【小问1详解】 ， 由于的最小正周期为，所以， 所以， 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数， 由于是偶函数，所以， 由于，所以时，取得最小值为. 【小问2详解】 ， 由于， 所以， 所以 . 16. 已知函数． （1）证明：曲线是轴对称图形； （2）若函数在上有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：由函数，定义域为， 则， 因此可得， 故函数的图象关于，即曲线是轴对称图形. （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可说明曲线是轴对称图形； （2）首先求出，然后将问题转化为与的图象在上有三个交点，结合的图象即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 若函数在上有三个零点， 则方程在上有三个实根， 即在上有三个实根， 令，则与的图象在上有三个交点， 又， 当或时，， 则在和上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，， ，， 因此可得的图象如图所示， 结合图象，要使与的图象在上有三个交点， 则实数的取值范围为. 17. 民族要复兴，乡村需振兴．为响应国家号召，我市城市规划管理局拟将某乡村一三角形区域规划成休闲度假区，通过文旅赋能乡村经济发展．度假区按如图所示规划为三个功能区：区域规划为露营区，区域规划为休闲垂钓区，区域规划为自由活动区．为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏．已知，，，为内一点，． （1）当时，求护栏的长度（的周长）； （2）若，求； （3）为了容纳更多的游客，露营区的面积要尽可能大，求露营区面积的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，在中，利用余弦定理即可求解得答案. （2）设锐角，在与中，利用正弦定理建立关系，再利用差角的正弦公式计算即得. （3）设，利用正弦定理求出，利用三角形面积公式建立关系，借助三角恒等变换及正弦函数的性质求出最大值. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，即， 解得，而为锐角，则， 在中，由余弦定理得，即， 所以的周长，即护栏的长度为. 【小问2详解】 令锐角，则， 在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得，则， 于是，即， 整理得，因此，所以. 【小问3详解】 设，则， 在中，由正弦定理得，则， 于是的面积 ，而， 则当，即时，， 所以露营区面积的最大值为. 18. 已知函数． （1）令，求的单调区间； （2）若存在使得，求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）证明：，解得，解得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，令，， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，所以只需证明即可， 所以只需证明， 令，， 令，函数定义域为， ，当时，，当时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以， 所以， 所以在上单调递增，所以，得证. 【解析】 【分析】（1）求出，分、和三种情况讨论； （2）求出的极值点，求出，令，求出，求出，求出，求出，求出，说明只需证明，只需证明，令，利用导数即可证明. 【小问1详解】 ，， 当时，恒成立， 所以在单调递增； 当时，恒成立， 所以在上单调递增； 当时，，存在两根，， 因为，所以， 所以时，，所以单调递增，时，，单调递减， 所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于令，求出，说明只需证明. 19. 对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质． （1）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？ （2）把（1）中满足性质的从小到大一一列出，构成新的数列，若，求证：； （3）对于无穷数列，设，若数列具有性质，求集合中元素个数的最大值．（写出表达式即可，结论不需要证明） 【答案】（1）数列不具有性质，具有性质； （2）证明：因为， ，为偶数, 时, 均为奇数，故由题设条件知不可能为奇数， 又，， 令， 则； （3）集合中元素个数的最大值为. 【解析】 【分析】（1）结合的通项公式，利用定义分别判断是否具有性质和性质； （2）先证明不可能为奇数，由此可得，由此证明，结合等比数列求和公式证明结论； （3）根据数列具有性质，得到数列的元素个数，从而证得结果； 【小问1详解】 因为 ， 当时，均为奇数， 故若存在， 由题意可得，与为偶数矛盾， 所以数列不具有性质； 因为，，且，， 故数列具有性质； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的，且， 满足，即， 由性质的定义可得，， ，，， 所以数列中，从第项开始的各项呈现周期性规律为一个周期中的各项， 所以数列中最多有个不同的项， 所以中最多有个元素. 又若当，，且数列为周期数列，最小正周期为， 则，，，， 该数列具有性质， 若，，时，， 不妨设，则，所以， 此时等式右侧为奇数，左侧为偶数，矛盾， 所以若或，则， 所以集合中含有个元素. 所以集合中元素个数的最大值为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年吕梁市高三年级阶段性测试 数学试题 （本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，记的周长为，面积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. 在等差数列中，，，，则 D. 在等差数列中，为其前项和，若，，则 10. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 有两个零点 C. D. 若，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则______． 13. 对于数列，定义数列为数列的“和数列”，若，数列的“和数列”的通项公式为，则数列的前21项和______．（结果保留指数形式） 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且的最小正周期为． （1）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求的最小值； （2）若，，求的值． 16. 已知函数． （1）证明：曲线是轴对称图形； （2）若函数在上有三个零点，求实数的取值范围． 17. 民族要复兴，乡村需振兴．为响应国家号召，我市城市规划管理局拟将某乡村一三角形区域规划成休闲度假区，通过文旅赋能乡村经济发展．度假区按如图所示规划为三个功能区：区域规划为露营区，区域规划为休闲垂钓区，区域规划为自由活动区．为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏．已知，，，为内一点，． （1）当时，求护栏的长度（的周长）； （2）若，求； （3）为了容纳更多的游客，露营区的面积要尽可能大，求露营区面积的最大值． 18. 已知函数． （1）令，求的单调区间； （2）若存在使得，求证：． 19. 对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质． （1）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？ （2）把（1）中满足性质的从小到大一一列出，构成新的数列，若，求证：； （3）对于无穷数列，设，若数列具有性质，求集合中元素个数的最大值．（写出表达式即可，结论不需要证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $