精品解析：上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市川沙中学2024学年第一学期高二期中考试数学试卷 命题：廖稀武 审题：石燕丽 一、填空 1. 正四棱柱的底面边长为2，高为3，则它的体积为___________ 【答案】12 【解析】 【分析】由棱柱体积公式直接计算可得. 【详解】由题知，正四棱柱的底面面积为， 所以，正四棱柱的体积为. 故答案为：12 2. 如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案. 【详解】连结，如图： 在长方体中，由平面，平面， 所以，则点到棱的距离是， 在矩形中，. 故答案为：5 3. 已知，，则直线m、n的位置关系为_______________________（填平行、相交、异面） 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】利用线面平行的定义直接判断即可. 【详解】由，得直线与平面无公共点，而， 因此直线没有公共点，所以直线m、n的位置关系为平行或异面. 故答案为：平行或异面 4. 如图，三棱柱中，若，则___________（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】由题意， 故答案为：． 5. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为______． 【答案】12 【解析】 【详解】依题意，的面积， 由水平放置的三角形面积是其直观图面积的倍，得的面积为. 6. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知圆锥的母线长为2，根据圆锥侧面展开图的弧长为圆锥的底面圆的周长，可求得底面圆的半径，进而求得圆锥的高. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 有题意知，，解得， 所以. 故答案为：. 7. 如图，在三棱柱中，P为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用棱锥、棱柱的体积公式求、，即可得结果. 【详解】令，棱柱的高为， 由题意，， 所以. 故答案为： 8. 如图,在棱长为1的正方体中，点P在截面上，则线段AP的最小值等于________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得平面，可得为与截面的垂足时线段最小，然后利用等积法求解． 【详解】如图， 连接交截面于，由底面，可得， 又，可得平面，则， 同理可得，得到平面，此时线段最小， 由棱长为1，可得等边三角形的边长为， ， ∵，∴，解得， 故答案为. 【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离的求法，利用了等积法求距离，属于中档题． 9. 在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则______ 【答案】5 【解析】 【分析】由异面直线的性质结合图形观察可得. 【详解】观察可得，与直线异面的直线有，共5条， 所以. 故答案为：5. 10. 如图为一几何体的展开图，其中是正方形，，，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合于点M，在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为___________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定的侧面展开图及信息，还原该几何体，再借助面面垂直的判定即可得解. 【详解】依题意，直线，点直线，点直线， 在几何体中，两两垂直，而平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 又平面，因此平面平面， 而，则平面，又平面，因此平面平面， 令平面平面，由，平面，平面， 得平面，而平面，于是，同理平面， 则平面，平面，则，是平面与平面的夹角， 而是锐角，因此平面与平面不垂直， 所以与平面垂直的平面个数为3. 故答案为：3 11. 正四棱锥的底面边长为4，高为3，E是边的中点，P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用正四棱锥的特征及线面垂直的判定计算即可. 【详解】 设S在底面的投影为O，由正四棱锥的特征知O亦为的交点， 取的中点， 设，由中位线的性质可知， 显然正方形中，为的中点， 所以，所以底面， 而底面，所以， 又平面， 所以平面，即动点P在的三条边上， 根据正四棱锥的底面边长为4，高为3， 可知，， 所以P的轨迹的周长为. 故答案为： 12. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为___________公里 【答案】9 【解析】 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图： 记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 因为的长为，所以， 由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的， 易知，所以， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的， 因为，所以. 故答案为：9 二、选择 13. 下列命题是假命题的是（ ） A. 棱柱的所有侧面都是平行四边形 B. 将矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱； C. 正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心； D. 将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆锥. 【答案】D 【解析】 【分析】由棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥的定义逐一判断可得选项. 【详解】解：对于A：由棱柱的定义得棱柱的所有侧面都是平行四边形，故A正确； 对于B：由圆柱的定义得将矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱，故B正确； 对于C：由正棱锥的定义得正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心，故C正确； 对于D：将直角三角形绕其斜边旋转一周所形成的几何体不是圆锥，故D不正确， 所以假命题的是D选项， 故选：D. 14. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A． 15. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为m，n，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系判断． 【详解】由正四面体性质知与正方体的六个面都是不平行，因此， 而正四面体中与垂直（证明如下），此， 因此与正方体的左右两个面平行，不相交，但与另外四个面都相交，， 所以， 故选：D． 下面证明： 取中点，连接，因为， 所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以． 16. 空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线l与这三条直线所成角均为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将题设三条直线置于正方体内，结合正方体的结构特征确定直线l为体对角线，进而找到的对应角，即可求其大小. 【详解】令空间中三条符合题设的直线分别为，如下图正方体所示， 又，故直线l与夹角，即为与夹角， 根据正方体的结构特征，易知其中体对角线与的夹角相等， 若为的中点，连接与交于，其中为正三棱锥且为底面中心， 所以面，面，则，且与的夹角为或其补角， 令正方体棱长为2，则，可得， 所以，故. 故选：D 三、解答（8分+8分+10分+12分+14分=52分） 17. 如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． （1）这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ （2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 【答案】（1）17 （2）880元 【解析】 【分析】（1）根据圆柱、球的体积计算公式即可求出几何体体积； （2）根据圆柱、球的表面积计算公式即可求出整个几何体表面积，从而得到建造费用. 【小问1详解】 由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成， 圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为， 球体体积， 所以“浮球”的体积. 【小问2详解】 由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积， ，故建造费用为元， 球形部分表面积为， 故建造费用为元， 所以整个“浮球”的建造费用为元. 18. 如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体，分别为的中点，F为弧的中点，G为弧的中点， （1）求直线与平面所成角的大小 （2）求异面直线与所成角的大小 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系，以及线面角的定义，作出线面角，即可求解； （2）根据平行关系，转化异面直线所成的角为相交直线所成的角，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，平面平面，且平面平面， 因为点是弧的中点，所以， 所以平面， 所以直线与平面所成角为， ，； 【小问2详解】 连结，， 因为点分别是弧的中点， 所以，所以， 所以异面直线与所成角为与所成角，即或其补角， ，， 所以， 所以异面直线与所成角为. 19. 如图，三棱锥中，平面． （1）求证： （2）若三棱锥的体积为，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带长度的最小值． 【答案】（1）证明：由题可知，平面，平面，所以， 因为,平面，平面， 所以平面，显然平面， 所以； （2）彩带长度的最小值为 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理证明，然后利用线面垂直判定定理证明平面，最后利用线面垂直性质定理证明即可. （2）先利用三棱锥体积计算出，然后将两个三角形放入同一平面，利用两点间线段最短得到彩带最短时的情况，然后利用两个三角形的图像和余弦定理计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，，， 所以， 如图，将三角形与三角形放在同一平面， 显然， 所以当彩带长度最小时为图中， 由余弦定理可知，， 所以. 20. 一组空间向量，记，如果存在，使得，那么称是该向量组的“h向量”. （1）已知，若是向量组的“h向量”，求实数t的取值范围； （2）四面体内接于以O为球心，1为半径的球，且， （i）记，向量组中是否存在“h向量”，若有，指出哪个是“h向量”并证明；若没有，请说明理由. （ii）求四面体体积的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）存在，和； （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题干信息求出，再代入题干关系得到不等式，解得的取值范围； （2）（i）由结合向量的运算可得，且在同一平面内，随之将问题转化为平面向量的问题，再依次分析哪个满足“h向量”的定义. （ii）由（i）可知过球心，且面积为定值，所以当平面时，四面体体积取得最大值. 【小问1详解】 由题意得，，， 又因为是向量组的“h向量”， 所以，即 ，解得或， 故的取值范围为. 【小问2详解】 （i）由题意得，因为四面体内接于球O，所以， 因为，所以， 两边同时平方得， 因为，，， 所以可得，即，，且在同一平面内. 如图所示， 以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 代入得， 于是可得， ， ， 所以由“h向量”的定义，，都是“h向量”. （ii）由（i）得，，且在同一平面内， 所以在过球心的截面上， 又，， 两边平方可得，，即，， 同理，两边平方可得， 即，， 于是 =++=. 所以当平面时，四面体体积取得最大值， 此时. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 21. 如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，N是的中点，动点P在直线上，且满足． （1）指出直线与平面的位置关系（不需说明理由） （2）设直线与平面所成的角为，求的取值范围 （3）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值 【答案】（1）与平面共面或平面 （2） （3）；-2 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可说明直线与平面的位置关系； （2）如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由题意得平面的法向量为，则，利用二次函数的性质求出的范围，继而即可求出的取值范围； （3）根据空间向量的坐标运算表示出二面夹角的余弦值，利用换元法及二次函数的性质求出最值即可. 【小问1详解】 当点与重合时，与平面共面， 当点不与重合时， 因为分别是，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设，由，得， 所以，则， 所以， 设平面的法向量为， 直线与平面所成的角为， 则， ， 所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知， ， ， 设平面的法向量为， 则，取， 为平面的法向量， 平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， 令，则， 则， 函数，当时，， 所以， 即当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市川沙中学2024学年第一学期高二期中考试数学试卷 命题：廖稀武 审题：石燕丽 一、填空 1. 正四棱柱的底面边长为2，高为3，则它的体积为___________ 2. 如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是______ 3. 已知，，则直线m、n的位置关系为_______________________（填平行、相交、异面） 4. 如图，三棱柱中，若，则___________（用表示） 5. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为______． 6. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为______ 7. 如图，在三棱柱中，P为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则______ 8. 如图,在棱长为1的正方体中，点P在截面上，则线段AP的最小值等于________. 9. 在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则______ 10. 如图为一几何体的展开图，其中是正方形，，，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合于点M，在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为___________ 11. 正四棱锥的底面边长为4，高为3，E是边的中点，P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为___________ 12. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为___________公里 二、选择 13. 下列命题是假命题的是（ ） A. 棱柱的所有侧面都是平行四边形 B. 将矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱； C. 正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心； D. 将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆锥. 14. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为m，n，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 16. 空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线l与这三条直线所成角均为，则的值为（ ） A. B. C. D. 三、解答（8分+8分+10分+12分+14分=52分） 17. 如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． （1）这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ （2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 18. 如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体，分别为的中点，F为弧的中点，G为弧的中点， （1）求直线与平面所成角的大小 （2）求异面直线与所成角的大小 19. 如图，三棱锥中，平面． （1）求证： （2）若三棱锥的体积为，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带长度的最小值． 20. 一组空间向量，记，如果存在，使得，那么称是该向量组的“h向量”. （1）已知，若是向量组的“h向量”，求实数t的取值范围； （2）四面体内接于以O为球心，1为半径的球，且， （i）记，向量组中是否存在“h向量”，若有，指出哪个是“h向量”并证明；若没有，请说明理由. （ii）求四面体体积的最大值. 21. 如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，是的中点，N是的中点，动点P在直线上，且满足． （1）指出直线与平面的位置关系（不需说明理由） （2）设直线与平面所成的角为，求的取值范围 （3）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $