精品解析： 江苏省扬州市仪征市第三中学2024～2025学年上学期八年级限时作业数学试题

仪征市第三中学2024～2025学年度秋学期八年级限时作业数学试题 （时间：80分钟 满分：100分） 2024.10.29 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，在和中，，，要证，需补充的条件是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，以的三边为直径的三个半圆的面积分别用，，表示，则它们之间的关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 下列各组数中，是勾股数的是（　 　） A. 2，3，4 B. 9，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. 7，24，25 6. 已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（ ） A. 12 B. 12或15 C. 15或18 D. 15 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 8. 直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 16的算术平方根是___________． 10. 在中，是斜边上的中线，若，则______． 11. 若一个正数的两个不同的平方根为2a+1和3a﹣11，则a＝___． 12. 如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝20°，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝______． 13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝10cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是_______． 14. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 15. 若三角形三边满足，且三角形周长为24cm，则这个三角形最长边上的高为__． 16. 如图，在中，，，，延长至E，使得，将沿翻折，使点B落点D处，连接，则的长为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 17. 求下列各式中x的值． （1）4（x+1）2＝9； （2）8x3+27＝0． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个直角三角形，且满足它是轴对称图形； （3）在图3中，画一个直角三角形，是它的三边长都是无理数． 19. 如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E， (1)求证：△ABD≌△ECB； (2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 20. A，B两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE＝200米，BF＝70米，它们的水平距离EF＝390米．现欲在公路旁建一个超市P，使超市到两居民楼的距离相等． （1）尺规作图：请在图中作出符合题意的点P；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求PE长． 21. “将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______． （3）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 22. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求的周长． （2）问为何值时，为等腰三角形？ （3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仪征市第三中学2024～2025学年度秋学期八年级限时作业数学试题 （时间：80分钟 满分：100分） 2024.10.29 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 如图所示，在和中，，，要证，需补充的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，结合题目已知及选项找到适合的判定即可得到答案； 【详解】解：补充， ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， 故选：C． 3. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：， ， 即， 故选：A． 4. 如图，以的三边为直径的三个半圆的面积分别用，，表示，则它们之间的关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、圆的面积，先利用圆的面积公式表示出，，，由勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：，，， 中， ， ， ． 故选B． 5. 下列各组数中，是勾股数的是（　 　） A. 2，3，4 B. 9，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】满足的三个正整数，称为勾股数，据此依次判断即可. 【详解】，故A选项错误；，故B选项错误；，但不是正整数，故C选项错误；，故D选项正确. 所以答案为D选项. 【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键. 6. 已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（ ） A. 12 B. 12或15 C. 15或18 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的周长的定义计算即可求解．此题主要考查了三角形三边关系，也利用了等腰三角形的性质，同时也利用了分类讨论的思想 【详解】解：等腰三角形的两边长分别是3和6， ①当腰为6时，三角形的周长为：； ②当腰为3时，，三角形不成立； 此等腰三角形的周长是． 故选D． 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解:∵在中，， ∴， 又∵、分别是、的角平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴是等腰三角形． ∴图中共有5个等腰三角形． 故选A． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 8. 直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱， ∴直棱柱的高， ∴，，，， ∵， ∴选B． 【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的关键． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 10. 在中，是斜边上的中线，若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．利用直角三角形斜边上的中线性质，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：6． 11. 若一个正数的两个不同的平方根为2a+1和3a﹣11，则a＝___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列方程即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3a﹣11， ∴， 解得． 故答案为： 2． 【点睛】本题考查了平方根的意义和解一元一次方程，解题关键是明确一个正数的两个不同的平方根互为相反数，根据题意列出方程． 12. 如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝20°，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝______． 【答案】##度 【解析】 【分析】依据三角形内角和定理即可得到∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得到∠DBC的度数，进而得出结论． 【详解】解：∵∠A=40°，∠C=20°， ∴∠ABC=180°-40°-20°=120°， ∵线段BC的垂直平分线DE交AC于点D， ∴DB=DC， ∴∠DBC=∠C=20°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=120°-20°=100°， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝10cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是_______． 【答案】10cm． 【解析】 【分析】由垂直的定义，三角形的内角和定理和角的和差求∠FBD=∠FAE，直角三角形中两锐角互余和等腰三角形的判定与性质求得BD=AD，用角角边证明△FBD≌△CAD，由其性质得BF=AC，求出BF的长是10cm． 【详解】解：如图所示： ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC=∠ADB=90°，∠BEA=90°， 又∵∠FBD+∠BDF+∠BFD=180°， ∠FAE+∠FEA+∠AFE=180°， ∠BFD=∠AFE， ∴∠FBD=∠FAE， 又∵∠ABC=45°，∠ABD+∠BAD=90°， ∴∠BAD=45°， ∴BD=AD， 在△FBD 和△CAD中， ， ∴△FBD≌△CAD（AAS）， ∴BF=AC， 又∵AC=10cm， ∴BF=10cm． 故答案为10cm． 【点睛】本题综合了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差，垂直定义和等腰三角形的判定与性质，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点用角角边证明的三角形全等问题，也可以用角边角证明三角形全等． 14. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 15. 若三角形三边满足，且三角形周长为24cm，则这个三角形最长边上的高为__． 【答案】cm 【解析】 【分析】首先根据三边比设三边长分别为cm，cm，cm，再根据周长计算出边长，然后利用勾股定理可证明三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式计算出最长边上的高． 【详解】解：∵ ， ∴设三边长分别为：cm，cm，cm， ∵周长为24cm， ∴， 解得： ， ∴三边长分别为：cm，cm，cm， ∵， ∴三角形是直角三角形， 设最长边上的高是hcm， 则h 解得：h． 故答案为：cm． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是利用方程思想正确计算出三边长． 16. 如图，在中，，，，延长至E，使得，将沿翻折，使点B落点D处，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，连接交于点F，由折叠的性质得出，，，利用等面积法求解长，进而求出的长度，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接交于点F， ∵将沿翻折，使点落点D处， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在直角中，． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 17. 求下列各式中x的值． （1）4（x+1）2＝9； （2）8x3+27＝0． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）直接开平方，得到两个一元一次方程，求解即可； （2）先移项，然后开立方即可求解． 【详解】解：（1） 开平方可得：或 解得：或 （2） 移项得： 开立方得： 解得： 【点睛】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个直角三角形，且满足它是轴对称图形； （3）在图3中，画一个直角三角形，是它的三边长都是无理数． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求； （3） 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点，画出一个两条直角边分别为3和4的直角三角形，此时斜边长为5； （2）根据网格的特点画出一个等腰三角形即可； （3）根据网格的特点画出一个两条直角边分别为和的直角三角形，此时斜边长为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，轴对称图形的定义，有理数和无理数的定义，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 19. 如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E， (1)求证：△ABD≌△ECB； (2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 【答案】(1) 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠EBC． ∵CE⊥BD，∠A=90°， ∴∠A=∠CEB， 又∵BC=BD， ∴△ABD≌△ECB； (2) 25° 【解析】 【分析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC=BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB=∠EBC，从而能证明：△ABD≌△ECB． （2）因为∠DBC=50°，BC=BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵∠DBC=50°，BC=BD， ∴∠EDC=（180°-50°）=65°， 又∵CE⊥BD， ∴∠CED=90°， ∴∠DCE=90°-∠EDC=90°-65°=25°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及直角梯形的性质，直角梯形有两个角是直角，有一组对边平行． 20. A，B两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE＝200米，BF＝70米，它们的水平距离EF＝390米．现欲在公路旁建一个超市P，使超市到两居民楼的距离相等． （1）尺规作图：请在图中作出符合题意的点P；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求PE长． 【答案】 （1）如图，即为所求作的点， （2）150米 【解析】 【分析】（1）连接 再分别以为圆心，大于为半径画弧，得两弧的交点 再作直线 交于 从而可得答案； （2）如图，连接 由是的中垂线，可得 设 则 结合 再建立方程，解方程即可. 【详解】解：（1）略 （2）如图，连接 是的中垂线， 设 则 AE＝200米，BF＝70米， 整理得： 解得： 所以米. 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，熟练的运用线段的垂直平分线的性质建立方程是解本题的关键. 21. “将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是______． （3）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______，此时______． 【答案】（1） 作图如下： （2）两点之间线段最短 （3）①12；②， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形； （2）根据两点之间线段最短解答； （3）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； 【小问3详解】 ①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（）， 作点关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质−最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求的周长． （2）问为何值时，为等腰三角形？ （3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】（1） （2）当为、、、时，为等腰三角形 （3）当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分 【解析】 【分析】（1）根据速度为每秒，求出出发2秒后的长，然后就知的长，利用勾股定理求得的长，最后即可求得周长． （2）因为与，由勾股定理得 因为为，所以必须使，或，所以必须使或等于3，有两种情况，为等腰三角形． （3）分类讨论：当点在上，在上，则，，；当点在上，在上，则，，． 【小问1详解】 解：如图1， 由，，， ，动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发2秒后，则， ， ， 的周长为：． 【小问2详解】 解：①如图2，若在边上时，， 此时用的时间为，为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： 如图3，若使，此时，运动的路程为， 所以用的时间为，为等腰三角形； 如图4，若，过作斜边的高，根据面积法求得高为， 作于点， 在中，， 所以， 所以运动的路程为， 则用的时间为，为等腰三角形； ⅲ如图5，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当为、、、时，为等腰三角形 【小问3详解】 解：如图6，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 如图7，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ， 当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，勾股定理以及一元一次方程的应用等知识，此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $