精品解析：广西壮族自治区柳州市柳北区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

2024年九年级教学质量抽测试卷（十一月） 数学 （考试时间120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分，在草稿纸，试卷上答题无效）． 1. 下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的概念是关键． 根据二次函数的定义：形如的函数是二次函数逐项判断即得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数； B、是二次函数； C、不是二次函数； D、不是二次函数； 故选：B． 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：C． 3. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、是中心对称图形，符合题意，选项正确； C、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握其定义是解题关键． 4. 若关于x 的一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， 解得：； 故选C． 5. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令即可求得． 【详解】解：令， 则 = ∴抛物线与轴的交点坐标是（0，-3）， 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是令． 6. 如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（） A. ∠COE=∠DOE B. CE=DE C. OE=BE D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理可得：，DE=CE，进而得到∠COE=∠DOE，无法得到OE=BE． 【详解】∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E， ∴，DE=CE，， ∴B，D选项正确； ∵， ∴， ∴∠COE=∠DOE， ∴A选项正确； 只有当∠COE=60°时，才有OE=BE． ∴C选项不成立； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理和圆心角、弧之间的关系．解题的关键是熟练掌握垂径定理．垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． 7. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，由同弧所对圆周角等于圆心角一半得到代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 8. 二次函数的图象如图所示，当时自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，写出函数图象在x轴下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，时，. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合的思想求解 是解题关键． 9. 如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 故选：A． 10. 竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高度的是( ) A. 第2.5 秒 B. 第3秒 C. 第3.5 秒 D. 第4秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题中已知条件求出函数 的对称轴，四个选项中的时间越接近4小球就越高． 【详解】解：若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等， 小球达到最高度的是秒， 故选：D． 11. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 12. 如图，佳佳利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2025次后，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转、规律型，依题意不难发现第4次旋转后回到初始位置，而，据此可得当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合，据此即可解答． 【详解】解：∵每次绕点逆时针旋转， 第4次旋转后回到初始位置， 又， 当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合， 即此时点与点重合， 点， 点 转动2025次后，点的坐标为． 故选：B． 二、填空题．（本大题共6小题，每小题2分，满分12分，请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸，试卷上答题无效）． 13. 抛物线的开口向________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据的正负判断函数的开口朝向，如果，开口向上；如果，开口向下． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的开口向下， 故答案为：下． 14. 时钟从下午2时到晚上8时，时针沿顺时针方向旋转了______度． 【答案】180 【解析】 【分析】本题考查了钟面角，解题的关键是熟练掌握时针的旋转规律．时钟从下午2时到晚上8时，时针沿顺时针方向旋转了一个平角，据此解答即可． 【详解】解：时钟从下午2时到晚上8时，时针沿顺时针方向旋转了一个平角，即180度； 故答案为：180． 15. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数． 16. 已知关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根，满足， ∴， 解得：， 故答案为：． 17. 已知的半径为3，点P在外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为3，点P在外， ∴； 故答案为：． 18. 如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则_____度． 【答案】140 【解析】 【分析】首先根据圆内接四边形的性质得，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， 又∵， ∴， ∴°． 故答案为：140． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的对角互补，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键． 三．解答题（共8小题） 19. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．利用直接开平方法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， 或， 所以方程的解为． 20. 如图，与相切于点C， ，的直径为，，求长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，勾股定理知识．连接，根据切线的性质得，由于，则根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中利用勾股定理计算出的值即可． 【详解】解：连接， ∵切于C， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，，， ∴． 21. 2024年中国家电及消费电子博览会在上海举行．据了解某电商平台2024年2月份的销售额是10万元，由于乘借“以旧换新”的政策东风，4月份的销售额是12.1万元．求该电商平台3，4两个月销售额的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出方程．设该电商平台3，4两个月销售额的月平均增长率为x，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该电商平台3，4两个月销售额的月平均增长率为x． 根据题意得 解得，（不符合题意，舍去） 所以． 答：该电商平台3.4两个月销售额的月平均增长率为． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解不等式，对于（1），根据题意可知，再求出解即可； 对于（2），根据取值范围求出m的值，再求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：依题意，得 ． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵m为满足条件的最大整数， ∴． ∴， ∴． 23. 足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线解析式； （1）由题可得抛物线的顶点坐标为，经过，再根据抛物线的顶点式可设抛物线为，将代入计算，即可求解； （2）当时，求出球的高度，判断是否超过球门高度米，即可求解； 能根据题意找出顶点坐标，掌握抛物线的顶点式，理解、的实际意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 抛物线的顶点坐标为，经过， 可设抛物线为， 把点代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得 当时， ， 球不能射进球门． 24. 如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 【答案】（1）证明：连接OD ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴OD//AB ∵ ∴ ∴ ∴DF是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明； （2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵OD//AB， ∴OD为的中位线 ∴ ∵， ∴ ∴ 由勾股定理，得： ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 25. 【综合与实践】 问题情境：在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），连接对角线，测得，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动． 以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： 猜想证明： （1）如图2，“奋勇”小组将绕点D旋转得到当点落到对角线上时，与交于点F．求证：； （2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点E，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由； 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴，， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2） 四边形是菱形． 理由：由（1）得是等边三角形， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，点E是线段的中点， ∴， 又∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后利用得到，然后证明出是等边三角形，得到，即可证明出； （2）首先由是等边三角形得到，然后结合旋转的性质得到，然后证明出，然后由得到与互相平分，证明出四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题属于四边形旋转综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，旋转的性质的综合应用，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 26. 某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象． （1）若输入，，得到如图①所示的图象，求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B的坐标； （2）已知点，． ①若输入b，c的值后，得到如图②的图象恰好经过P，Q两点，求出b，c的值； ②经过P，Q两点的直线向下平移，当它与①中的抛物线有唯一交点时，求此时直线的解析式． 【答案】（1）C，， （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）将，，代入求出函数解析式，再求顶点和与x轴的交点坐标即可； （2）①，代入待定系数法进行求解即可；②设平移前直线的解析式为，将，代入求出解析式，设平移后的解析式为与抛物线解析式联立，根据与抛物线有唯一交点得，求出b值即可． 【小问1详解】 解：当，时，， ∴顶点C的坐标为； 当时，，即， 解得：，， ∴，； 【小问2详解】 ①抛物线恰好经过P，Q两点， 则：， 解得：； ∴ ②设平移前直线的解析式为 解得 ∴ 设平移后的解析式为 ∴ 整理得 ∵抛物线与直线有唯一交点 ∴ 解得 ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级教学质量抽测试卷（十一月） 数学 （考试时间120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分，在草稿纸，试卷上答题无效）． 1. 下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x 的一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 5. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（） A. ∠COE=∠DOE B. CE=DE C. OE=BE D. 7. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，当时自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 9. 如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 10. 竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高度的是( ) A. 第2.5 秒 B. 第3秒 C. 第3.5 秒 D. 第4秒 11. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，佳佳利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2025次后，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（本大题共6小题，每小题2分，满分12分，请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸，试卷上答题无效）． 13. 抛物线的开口向________．（填“上”或“下”） 14. 时钟从下午2时到晚上8时，时针沿顺时针方向旋转了______度． 15. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 16. 已知关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则______． 17. 已知的半径为3，点P在外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是______． 18. 如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则_____度． 三．解答题（共8小题） 19. 解方程：； 20. 如图，与相切于点C， ，的直径为，，求长． 21. 2024年中国家电及消费电子博览会在上海举行．据了解某电商平台2024年2月份的销售额是10万元，由于乘借“以旧换新”的政策东风，4月份的销售额是12.1万元．求该电商平台3，4两个月销售额的月平均增长率． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 23. 足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 24. 如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 25. 【综合与实践】 问题情境：在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），连接对角线，测得，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动． 以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： 猜想证明： （1）如图2，“奋勇”小组将绕点D旋转得到当点落到对角线上时，与交于点F．求证：； （2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点E，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由； 26. 某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象． （1）若输入，，得到如图①所示的图象，求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B的坐标； （2）已知点，． ①若输入b，c的值后，得到如图②的图象恰好经过P，Q两点，求出b，c的值； ②经过P，Q两点的直线向下平移，当它与①中的抛物线有唯一交点时，求此时直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $