4.3.2 角的度量与计算 课件 2024—2025学年湘教版数学七年级上册

第1课时 角的度量与计算 第4章 图形的认识 4.3.2 角的度量与计算 湘教版数学七年级上册 1 问题导入 下面两个钟面上，时针与分针间的夹角谁大谁小呢? 具体大多少？ 如何去度量？ 探索新知 把一个周角（即它的旋转量）分为 360 等份，每一等份叫作 1 度，记作 1°. 1度的概念 如何衡量一个角的大小? 用量角器可以量出角的度数，那么、“1度”到底是多大呢? 角的分类 周角 平角 直角 锐角 钝角 角度范围 角的名称 相互关系 小于90° 等于90° 大于90° 但小于180° 180° 360° 锐角 直角 钝角 平角 周角 锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角； 1平角=2直角； 1周角=2平角=4直角 角的度量与换算 角的基本度量单位是度、分、秒. 把 1°的角分成 60 等份，每一等份叫作 1 分，记作 1′； 把 1′ 的角分成 60 等份， 每一等份叫作 1 秒， 记作 1″. 读数为25°55′10″ 1°=60′ 1′=60″ 1′=()° 1″=()′ 度、分、秒之间的换算是六十进制. 度 分 秒 × 60 ×3 600 × 60 ÷3 600 ÷ 60 ÷ 60 度分秒进率关系图 用度、分、秒表示 54.26°. 解 54.26°= 54°+ 0.26°. 又 0.26°= 0.26× 60′ = 15.6′ = 15′ + 0.6′， 而 0.6′ = 0.6 × 60″ = 36″， 因此，54.26°= 54°15′36″. 按1°=60′，1′=60″先把度化成分，再把分化成秒. （小数化整数） 用度表示 48°25′48″. 解 因此，48°25′48″ = 48.43°. 按1″=(1/60)′，1′= (1/60)°，先把秒化成分，再把分化成度. (整数化小数) 25′48″ = 25′+48″= 25′+ 0.8′= 25.8′， 计算： (1) 把25.72°用度、分、秒的形式表示； (2) 把45°12′30″化成度. 解： (1) ∵0.72°= 0.72× 60′=43.2′， 0.2× 60″=12″， ∴25.72°=25°43′12″ (2) ∵30″= 30× ()′=0.5′， 12.5× ()°≈0. 21°， ∴45°12′30″≈45. 21° 除不尽可以四舍五入取近似值 计算： (1) 37°28′ + 24°35′； (2) 83°20′- 45°38′20″ 解 (1) 37°28′+ 24°35′ = 61°63′ = 62°3′； (2) 83°20′ - 45°38′20″ = 82°79′60″ - 45°38′20″ = 37°41′40″. 逢“60”进 “1” 不够减，向前一位借“1” 计算： (1) 20°26′ + 30°54′； (2) 90°- 43°18′. 解 (1) 20°26′+ 35°54′ = 55°80′ = 56°20′； (2) 90° -43°18′ = 89°60′- 43°18′ = 46°42′. (1) 把度换算成度、分、秒：从左往右依次进行. 整数度保持不变，把不满 1 度的小数度化为分，再把不满 1 分的小数分化为秒，最后把度、分、秒合写在一起. (2) 把度、分、秒换算成度：从右往左进行. 先把秒化为分，再把分化为度，最后把原来的度与由分和秒转化成的度相加. 角度单位之间的换算方法： 课堂练习 1. 下列算式正确的是( ) ①33.33°=33°3′3″； ②33.33°=33°19′48″； ③50°40′33″=50.43°； ④50°40′30″=50.675°. A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. ②和④ D 【教材P164页 练习第1题】 2. 填空： (1) 0.65°= ′； (2) 32.43°= ° ′ ″； (3) 120°36′54″=　 　°； (4) 108°42′36″ = °. 39 32 25 48 120.615 108.71 4. 若∠C ＝ 90°，∠A ＝ 25°30′，则 ∠C－∠A 的结果是（ ） A. 75°30′ B. 74°30′ C. 65°30′ D. 64°30′ D 3. 比较大小：74.45°_______ 74°45′ ＜ 5. 计算： (1) 72°12′ + 50°40′30″； (2) 113°50′40″ - 57°48′42″. 122°52′30″ 56°1′58″ 【教材P164页 练习第2题】 6. 10 时整，钟表的时针与分针之间所成的角的度数是多少？15 时整呢？ 答：10 时整，钟表的时针与分针之间所成的角度数为 60 度，15时整所成的角是 90 度. 【教材P164页 练习第3题】 7. 小红早晨8:30出发，中午12:30到家，则小红出发时时针和分针的夹角为_______，到家时时针和分针的夹角为_______. 75° 165° 解析:与12点整相比，8:30时， 时针转过了 (8+ ）×30°=255°， 分针转过了 30×6°=180°, 所以夹角为255°-180°=75°. 同理12:30时，时针和分针的夹角为165°. 课堂小结 角的度量与计算 角的分类 角的单位换算 借位 进位 角的和、差计算 大单位化成小单位 小单位化成大单位 北师大 数学 一年级 上册 第2课时 余角和补角 第4章 图形的认识 4.3.2 角的度量与计算 湘教版数学七年级上册 22 情境导入 如图，将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角. 1 2 3 4 1.∠1和∠2有什么数量关系？ 2.∠3和∠4有什么数量关系？ ∠1+∠2=90° ∠3+∠4=180° 探索新知 余角和补角的定义 如果两个角的和等于一个直角(90°)，那么就说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角. 若∠1＋∠2＝ 90°，则∠1 与∠2 互为余角，其中∠1 是∠2 的余角， ∠2 也是∠1的余角. 1 2 几何语言： ∵∠1+∠2=90°， ∴∠1与∠2互为余角. 如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么就说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角. 若∠3＋∠4 ＝ 180°，则∠3 与∠4 互为补角，其中∠3 是∠4 的补角， ∠4 也是∠3 的补角. 几何语言： ∵∠3+∠4=180°， ∴∠3与∠4互为补角. 3 4 ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 45° 60° 77° 81°15′ x° （0＜x＜90） 85° 175° 45° 135° 30° 120° 13° 103° 8°45′ 98°45′ (90-x)° (180-x)° 锐角的补角比它的余角大______. 90° 填表： 判断： (1) 一个角的余角必为锐角. (2) 一个角的补角必为钝角. (3) 同一个锐角的补角比它的余角大90°. (4) 互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. (5) 如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠ 1、 ∠ 2、∠3这三个角互为余角. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ × √ × × 练一练 余角和补角的性质 思 考 ∠1 ∠2 ∠3 30° 150° 150° 90° 90° 90° 150° 30° 30° 观察下表，你有什么发现？ ∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补， ∠2与∠3大小相等. 由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°， 所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1. 因此 ∠2 =∠3（等量代换）. 结论： 同角(或等角)的补角相等. 几何语言： ∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180° ∴∠2=∠3(同角的补角相等) 等量代换是指“如果a=b且c=b，那么a=c” 试着画一画下表中的图形(顶点相同)，你有什么发现？ ∠4 ∠5 ∠6 图① 30° 60° 60° 图② 45° 45° 45° 图③ 60° 30° 30° ∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余， ∠5与∠6大小相等. 图① 图② 图③ 由于 ∠4 +∠5= 90°，∠4 +∠6 = 90°， 所以 ∠5 = 90°-∠4，∠6 = 90°-∠4. 因此 ∠5 =∠6（等量代换）. 结论： 同角(或等角)的余角相等. 几何语言： ∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90° ∴∠2=∠3(同角的余角相等) 如图，已知∠ACB =∠CDB =90° (1)图中有哪几对互余的角？ (2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？ 解：(1)∠A+∠B=90°， ∠A+∠ACD=90°， ∠BCD+∠B=90°， ∠BCD+∠ACD=90°， (2) ∠B=∠ACD(同角的余角相等) ∠A=∠BCD(同角的余角相等) 如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是 ∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数. 解 因为∠AOB 与∠BOD 互为余角， 所以∠BOD = 90°-∠AOB = 90°-29.66°= 60.34°. 又因为 OC 是∠BOD 的平分线， 因此，∠COD 的度数为 30.17°. 所以 已知一个角的余角是这个角的补角的 ， 求这个角的度数. 解 :设这个角为 x°，则这个角的余角为（90-x）°， 　　补角为（180-x）°. 根据题意，得 解得 x = 45 . 因此，这个角为 45°. 方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题. 课堂练习 1. 填空： （1） 105°26′的补角等于 ； （2） 28°25′32″的余角等于 . 74°34′ 61°34′28″ 若一个角的补角是这个角的余角的 4 倍， 则这个角的度数为（ ） A.30° B.45° C.60° D.65° C 2. 【课本P166 练习 第1题】 答：∠AOB 的度数为 56°. 如图，∠BOD = 118°，∠COD 是直角， OC 平分∠AOB， 求∠AOB 的度数. 3． 【课本P166 练习 第2题】 4．已知∠A 与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B度数的 3 倍还多30°.求∠B的度数. 解 :设∠B的度数为 x°，则∠A的度数为（3x+30）°. 根据题意，得 解得 x = 15 . 故∠B为 15°. 5. 如图，OC 是∠AOD 的平分线，OE 是∠BOD 的平分线. 若∠BOC = 3∠AOD，∠EOD-∠COD = 30°，求 ∠BOE 的度数. 解: 设∠EOD =x°，则∠COD =(x-30)°. 因为 OE 是 ∠BOD 的平分线， 所以 ∠BOE =∠EOD = x°. 因为 OC 是∠AOD 的平分线， 所以∠AOC =∠COD = (x-30)°. 所以∠AOD = 2 (x-30)°， ∠BOC = 2 ∠EOD +∠COD = (2x)°+(x-30)°. 由∠BOC = 3∠AOD，得 2x+x-30= 3×2(x-30)， 解得 x = 50. 所以∠BOE = 50°. 课堂小结 互余 互补 两角间的 数量关系 对应的图形 性质 ∠1+∠2=90° (90°-∠1=∠2) ∠3+∠4=180° (180°-∠3=∠4) 同角（或等角）的余角相等 同角（或等角）的补角相等 谢谢聆听 41 $$