2.3 函数的单调性和最值 练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2.3函数的单调性和最值 练习 一、单选题 1．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．函数在区间上的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 5．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．设，若恒成立，则的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，且，则（   ） A．的最小值是16 B．的最小值为128 C．的最小值为10 D．的最小值为 10．已知函数在区间上不具有单调性，则的值可以是（    ） A．9 B．-1 C．-5 D．0 11．已知函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 三、填空题 12．若的最小值为3，则a的值为 ． 13．已知函数在上单调递增，则的取值范围为 . 14．二次函数在区间上的最大值为5，则实数的值为 . 四、解答题 15．已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 16．设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 参考答案 1．B 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 由图可知：的单调递增区间为. 故选：B． 2．B 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递增， 只需，解得，即的取值范围为. 故选：B 3．B 【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 4．A 【分析】利用分离常数法可得，分析单调性，即可得出答案． 【详解】因为， 所以在区间上是减函数， 所以在上的最大值为， 故选：A 5．A 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为. 故选：A 6．D 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， 故， 当且仅当，即时取等号，故函数的最小值为5. 故选：D. 7．B 【分析】根据不等式恒成立，分析其组成，判断与符号同时变化，得到，且，将问题转化成求二次函数的最值来解决. 【详解】由恒成立，可得与符号同时变化， 即，且，则有， 故的最小值为. 故选：B. 8．A 【分析】作出分段函数的函数图象，由图象得到单调区间，建立不等式，得出取值范围. 【详解】画出分段函数的图象，如图所示，所以要使函数在上单调递增， 则或，解得或，所以实数的取值范围为． 故选：A 9．BD 【分析】直接由基本不等式即可判断A、B；通过对进行等价转换，再利用基本不等式即可判断C；通过对进行等价转换，再利用对勾函数单调性即可判断D. 【详解】因为，，且，所以， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； 因为，由A选项分析可知， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 因为，，且，所以， 所以 ， 等号成立当且仅当，故C错误； 因为，且， 所以不妨令， 因为，所以单调递增， 所以，从而， 等号成立当且仅当. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：对于A、B两个选项的判断较为简单，而C、D选项的关键是先等价变形表达式，然后利用基本不等式和对勾函数去判断. 10．BD 【分析】求出二次函数的对称轴，从而得到，即可得到答案. 【详解】由题意的对称轴为， 由于在区间上不具有单调性， 故，解得， 所以AC错误，BD正确. 故选：BD. 11．AD 【分析】求得函数的定义域与单调性，进而逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，的定义域为， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 故在上不是单调函数，故B错误； 对于C，由B可得，当时，， 当时，，所以的值域是， 当时，无意义，故C错误； 当且时，， 当且时，， 所以若，则函数有最小值也有最大值，故D正确； 故选：AD. 12．或 【分析】根据和的大小关系进行分类讨论，由函数最小值为3得关于的方程，即可求解. 【详解】设函数， 当时，， 此时，最小值是3不成立，故； 当时，， 此时，所以，解得； 当时，， 此时，所以，解得； 综上所述，或， 故答案为：或. 13． 【分析】对二次项系数是否为零进行分类讨论，并根据二次函数图象性质利用单调性解不等式可得结果. 【详解】若，则在上单调递增，满足题意； 若，易知二次函数图象关于对称，若在上单调递增， 当，则，解得； 当，则恒成立. 综上可知. 故答案为： 14． 【分析】先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数的性质，即可分类讨论求解. 【详解】，其对称轴是,开口向下， 当时，则在上是减函数 当时，不符合题意，故舍去 当时，则，解得，不符合，故舍去， 当时，则在上是增函数 ,解得，符合题意 综上所述， 故答案为： 15．(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)增区间是，单调递减区间是和 【分析】（1）代入，即可求解； （2）根据函数单调性的定义，作差，即可证明； （3）根据（2）的过程和结果，再分区间讨论. 【详解】（1）由条件可知，，得； （2）， 设， ， ， 因为，所以，，且，则， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）可知，， 当时，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 当，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是和. 16．(1)单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）根据函数的单调性求出函数的值域. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）由（1）可得在上单调递减， 又，， 所以，即在区间上的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$