精品解析：河南省南阳市桐柏县思源教育集团2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

桐柏县思源教育集团2024年秋期第二次学情调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在二次根式①，②，③，④中，是同类二次根式的是（　　） A. ①和③ B. ②和③ C. ①和④ D. ③和④ 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 下列各组线段中，能成比例的是（　　） A. 1cm，3cm，4cm，6cm B. 30cm，12cm，0.8cm，0.2cm C. 0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cm D. 12cm，16cm，45cm，60cm 5. 方程有两个实数根，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，若，，则DE等于（ ） A. 3 B. 3.2 C. 3.6 D. 4 8. 如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 9. 已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A. B. C. D. 10. 菱形周长为20，对角线交于点O，，点E在上，，交于点F，则的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，，则a的值为____________． 12. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 13. 小芳和爸爸在阳光下散步，爸爸身高，他在地面上的影长为．小芳比爸爸矮，她的影长为_________ m． 14. 如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路，把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，若试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是__________． 15. 已知，是方程的两根，则_________． 三、解答题（本大题满分75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 解方程 （1） （2）． 18. 如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上． （1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由； （2）求∠BAC的度数． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 20. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？ 21. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ 23. （1）如图①，在四边形中，，点在边上，，求证： （2）探究：如图②，在四边形中，点在边上，当时，求证： （3）拓展：如图③，在中，点是边的中点，点分别在边上，若，求的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐柏县思源教育集团2024年秋期第二次学情调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在二次根式①，②，③，④中，是同类二次根式的是（　　） A. ①和③ B. ②和③ C. ①和④ D. ③和④ 【答案】C 【解析】 【分析】将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可． 【详解】①；②；③；④中， 是同类二次根式的是①④． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的化简、分母有理化、同类二次根式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算、二次根式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法运算，正确的计算是解题的关键． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 4. 下列各组线段中，能成比例的是（　　） A. 1cm，3cm，4cm，6cm B. 30cm，12cm，0.8cm，0.2cm C. 0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cm D. 12cm，16cm，45cm，60cm 【答案】D 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案 【详解】A、1×6≠3×4，故错误； B、30×0.2≠12×0.8，故错误； C、0.1×0.4≠0.2×0.3，故错误； D、12×60=16×45，故正确． 故选D． 【点睛】比例线段 5. 方程有两个实数根，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，，，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得 ， ， ， 解得m≤且m≠2． 故选：B． 6. 用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的面积为75，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题． 【详解】解：根据题意得， 小正方形的边长为： 这个小正方形的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7. 如图，，若，，则DE等于（ ） A. 3 B. 3.2 C. 3.6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到DE、EF的关系，根据，即可得到答案． 【详解】，且 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确运用定理找准对应关系是解题的关键． 8. 如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据中位线的性质得到，进而得到最大时，最大，根据勾股定理求出的最大值，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的中点， ， 最大时，最大， 当点与重合时，最大，此时， ， 的最大值为1． 9. 已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、由两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 10. 菱形周长为20，对角线交于点O，，点E在上，，交于点F，则的长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，先根据菱形的性质和勾股定理求出，则，再证明，进一步证明，利用相似三角形的性质推出，则． 【详解】解：∵菱形周长为20，对角线交于点O，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，，则a的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】设辅助未知数，根据比例的性质求出辅助未知数，进而求出答案． 【详解】解：设，则a=2k，b=3k，c=4k， ∵a+b+c=18，即2k+3k+4k=18， ∴k=2， ∴a=2k=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了比例的性质，设辅助未知数是常用的方法． 12. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，二次根式的性质，由二次根式的性质进行化简，再根据数轴分别判断，，的正负，去掉绝对值，最后合并同类项即可，掌握知识点的应用解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，，， ∴ ， ． 13. 小芳和爸爸在阳光下散步，爸爸身高，他在地面上的影长为．小芳比爸爸矮，她的影长为_________ m． 【答案】 【解析】 【分析】根据实物与影子的比相等可得小芳的影长． 【详解】∵爸爸身高，小芳比爸爸矮． ∴小芳身高为 设小芳的影长为， ∴ 解得， 故填：． 【点睛】本题考查了平行投影，解决本题的关键是理解阳光下实物的影长与影子的比相等． 14. 如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路，把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，若试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，根据题意可知小路的面积等于长为，宽为的矩形面积加上长为，宽为的矩形面积，再根据试验田面积为，建立方程即可． 【详解】解；设宽为， 由题意得，， 故答案为：． 15. 已知，是方程的两根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：若，是一元二次方程的两根时，，，是解答本题的关键．根据根与系数的关系和方程的解得到，，，，将原式化简得到，再代入求值即可． 【详解】解：，是方程的两根， ，，，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题满分75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除法，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式计算二次根式乘法，分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上． （1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由； （2）求∠BAC的度数． 【答案】（1）相似；（2）135°． 【解析】 【详解】试题分析：（1）△PBA与△ABC相似，利用勾股定理计算出AB的长，利用两边对应成比例且一个夹角对应相等的两个三角形相似可证明结论成立； （2）由（1）可知：∠BAC=∠BPA，因为∠BPA易求，问题得解． 试题解析：解：（1）△PBA与△ABC相似．理由如下： ∵AB=，BC=5，BP=1，∴．∵∠PBA=∠ABC，∴△PBA∽△ABC； （2）∵△PBA∽△ABC，∴∠BAC=∠BPA．∵∠BPA=90°+45°=135°，∴∠BAC=135°． 点睛：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，相似三角形的判定与性质，本题中分别求AB，BC，BP三边长是解题的关键． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】 （1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）略 （2）由根与系数的关系可得： 由，得，解得． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 20. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是判断．根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”．设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴． 设正方形零件的边长为，则，． ∵， ∴， ∴， 解得． ∴这个正方形零件的边长是． 21. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ和∠AQP是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵AO＝6厘米，BO＝8厘米， ∴AB＝＝＝10（厘米）， ∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位， ∴AQ＝t厘米，AP＝（10﹣t）厘米， ①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB， ∴＝， 即＝， 解得t＝＞6，舍去； ②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB， ∴＝， 即＝， 解得t＝， 综上所述，t＝时，△APQ与△AOB相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键． 23. （1）如图①，在四边形中，，点在边上，，求证： （2）探究：如图②，在四边形中，点在边上，当时，求证： （3）拓展：如图③，在中，点是边的中点，点分别在边上，若，求的长 【答案】 （1）证明：∵AB∥CD，∠， ∴∠B=∠C=90°， ∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠CPD=90°， ∴∠BAP=∠CPD， ∴； （2）证明：∵， ∴∠APB+∠CPD=180°-∠APD，∠BAP=180°-∠APB-∠B， ∴∠CPD=∠BAP， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得∠B=∠C=90°，∠BAP=∠CPD，进而问题得证； （2）由题意易得∠BAP=∠CPD，进而问题得证； （3）由题意易得，则有，然后根据勾股定理可求解． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：同理（1）（2）可得△BDP∽△CPE， ∴， ∵点P是BC的中点，， ∴， ∵CE=6， ∴， ∴， ∵∠B=∠C=45°， ∴∠A=90°， ∴AC=AB=8， ∴， ∴AE=AC-CE=2， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $