专题3：绝对值问题-2024-2025学年七年级数学上学期专题精讲精练（全国通用）

2024-2025学年七年级上学期专题精讲精练（全国通用版） 专题三：绝对值重点题型（原卷版） 目录 重点知识突破 1 1、绝对值的基本概念: 1 2、绝对值的几何意义： 2 3、绝对值的性质: 2 题型大全概览 3 经典题型，举一反四 3 题型一：含字母的绝对值化简 3 题型二：绝对值的非负性应用 5 题型三：解含绝对值的方程 7 题型四：最小值与最大值问题 10 题型五：绝对值的几何意义应用 12 题型六：绝对值的综合问题 16 · 重点知识突破 1、绝对值的基本概念: （1）绝对值定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。 （2）绝对值的表示方法：的绝对值记作 2、绝对值的几何意义： （1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离；到原点的距离越远，说明这个数的绝对值越大；离原点的距离越近，说明这个数的绝对值越小． 如上图，点到原点的距离比点到原点的距离远，所以；反之，若，则点到原点的距离比点到原点的距离远。 （2）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 由此可以发现，数轴上的一个有理数由两个因素决定：符号和绝对值。 符号：决定了这个数在数轴上的对应点在原点的哪一侧； 绝对值：决定了这个数在数轴上的对应点到原点有多远。 3、绝对值的性质: 性质1：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 性质2：（非负性），即任何一个数的绝对值总是正数或0，即． （1） 若 ，则； （2） 若 ，则； （3） 若 ，则； · 题型大全概览 · 经典题型，举一反四 题型一：含字母的绝对值化简 【经典例题1】请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【强化训练】 1．有理数，，，且， (1)如下图，在数轴上将a，b，c三个数填在相应的括号中；    (2)用“”或“”或“”填空　　0，　　0，　　0；； (3)化简：． 2．已知有理数在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： ， ， ； (2)若数轴上有一点表示的数为，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到点，求点表示的数及两点间的距离； (3)化简：． 3．有理数在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 4．有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 题型二：绝对值的非负性应用 【经典例题2】．已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴． (1)求a，b的值； (2)若另外两点互相重合，则点C表示的数是_________． 【强化训练】 1．在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足． (1)________，________； (2)若的中点为，则点表示的数为________； (3)若，两点同时以每秒个单位长度的速度向左移动，则运动几秒时，恰好有？ 2．先化简，再求值：，其中． 3．已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 4．已知有理数满足，另有两个不等于零的有理数，使得且， (1)求的值； (2)试比较与的大小，并说明理由． 题型三：解含绝对值的方程 【经典例题3】．先阅读下列解题过程，再解答问题：解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)若的最小值为，求的值． 【强化训练】 1．先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程： (2)已知关于x的方程 ①若方程无解，则m的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则m的值为______； ③若方程有两个解，则m的取值范围是______； (3)解方程： 2．阅读材料： 如图，点A在数轴上表示数3，我们知道：表示3到原点的距离．因为原点O所表示的数为0，同时，因此规定：表示3到0的距离，点A与点O之间的距离记作． 根据以上信息，解答下列问题： (1)依据材料完成下表： 结果 4 表示 表示6到2的距离 (2)若，则_______（直接写出答案）； (3)点B在数轴上表示数，设点P在数轴上对应的数是x，当时，求x的值． 3．“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 4．阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意； 当时，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是________； (2)解方程：． 题型四：最小值与最大值问题 【经典例题4】．阅读材料：的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离，根据材料的说法，试求： (1)； (2)若x为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值是多少？如果没有，请说明理由； (3)若x为有理数，则有最______值（填“大”或“小”），其值为________． 【强化训练】 1．用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 2．阅读理解：目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数． 小明学习后总结如下：因为，所以的最小值为m，所以的最大值为m． 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整． (1)对和进行讨论，发现可以求得的最______值，可以求得的最______值； (2)多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论：________________ (3)请用迁移发现中的结论讨论是否有最小值或最大值，最值是什么？ 3．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数－1的点和表示数－3的点之间的距离是______． (2)数轴上点A用数a表示，若那么a的值为______． (3)数轴上点A用数a表示，若利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是______． (4)有最______（填“大或小”）值，是______． (5)最______（填“大或小”）值，是______． (6)当a的值为______时，有最______（填“大或小”）值，是______． 4．用字母表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0，根据这个结论完成下列问题： （1）有最_____值________； （2）有最______值_________； （3）当的值为________时，有最_________值__________； （4）若，则____________． 题型五：绝对值的几何意义应用 【经典例题5】．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)若|x﹣3|＝|x+1|，则x＝　 　； (2)式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为　 　； (3)请说出|x﹣3|+|x+1|＝7所表示的几何意义，并求出x的值． 【强化训练】 1．阅读下面的材料： 点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为． 当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图所示，； 当两点都不在原点时， ．如图所示，点都在原点的右边， ； ．如图所示，点都在原点的左边， ； ．如图所示，点在原点的两边， ． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时， ， ． 2．阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是9，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 3．阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 4．我们知道，可以理解为，它表示数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点分别表示数，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． 若数轴上点A表示数a，请回答下列问题： (1)如果，那么a的值是______． (2)如果，则整数a的值有几个？ (3)求的最小值． 题型六：绝对值的综合问题 【经典例题6】． 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【强化训练】 1．为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 2．为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 3．阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 4．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为_______； ②若数轴上表示点的数满足，那么______． (2)拓展探究：①若数轴上表示点x的数满足，则______； ②是否存在的值，使得等式成立?并说明理由． (3)迁移应用：当满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少?不需说明理由，请直接写出你的结果． 学科网··★数学梦工厂出品·，第2页，共44页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年七年级上学期专题精讲精练（全国通用版） 专题三：绝对值重点题型（原卷版） 目录 重点知识突破 1 1、绝对值的基本概念: 1 2、绝对值的几何意义： 2 3、绝对值的性质: 2 题型大全概览 3 经典题型，举一反四 3 题型一：含字母的绝对值化简 3 题型二：绝对值的非负性应用 5 题型三：解含绝对值的方程 7 题型四：最小值与最大值问题 10 题型五：绝对值的几何意义应用 12 题型六：绝对值的综合问题 16 · 重点知识突破 1、绝对值的基本概念: （1）绝对值定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。 （2）绝对值的表示方法：的绝对值记作 2、绝对值的几何意义： （1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离；到原点的距离越远，说明这个数的绝对值越大；离原点的距离越近，说明这个数的绝对值越小． 如上图，点到原点的距离比点到原点的距离远，所以；反之，若，则点到原点的距离比点到原点的距离远。 （2）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 由此可以发现，数轴上的一个有理数由两个因素决定：符号和绝对值。 符号：决定了这个数在数轴上的对应点在原点的哪一侧； 绝对值：决定了这个数在数轴上的对应点到原点有多远。 3、绝对值的性质: 性质1：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 性质2：（非负性），即任何一个数的绝对值总是正数或0，即． （1） 若 ，则； （2） 若 ，则； （3） 若 ，则； · 题型大全概览 · 经典题型，举一反四 题型一：含字母的绝对值化简 【经典例题1】请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 【强化训练】 1．有理数，，，且， (1)如下图，在数轴上将a，b，c三个数填在相应的括号中；    (2)用“”或“”或“”填空　　0，　　0，　　0；； (3)化简：． 【答案】(1)(从左往右) (2)，， (3) 【分析】本题考查了数轴：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．也考查了绝对值． （1）先比较与的大小，再得到、、的大小关系，从而把、、填到数轴上； （2）利用、、的大小关系和绝对值的意义即可得出答案； （3）根据（2）得出的结论直接去绝对值，然后相加即可得出答案． 【详解】（1）解：根据已知条件填图如下：    （2）解：，，， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：，，； （3）解：∵，，． ∴ ． 2．已知有理数在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： ， ， ； (2)若数轴上有一点表示的数为，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到点，求点表示的数及两点间的距离； (3)化简：． 【答案】(1)，， (2)点表示的数为，两点间的距离为 (3) 【分析】（）根据数轴上点的位置及，可得与互为相反数，利用相反数性质计算即可求解； （）根据两点间的距离列出算式，计算即可得到结果； （）根据数轴上点的位置判断出的正负，然后利用绝对值的代数意义化简即可得到结果； 本题考查了数轴与有理数，两点间距离，化简绝对值，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∵， ∴数与互为相反数， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，， ∴点表示的数为， ∴两点间的距离为； （3）解：由数轴可得，， ∴，， ∴原式 ， ， ． 3．有理数在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)；；． (2) 【分析】本题考查了整式的加减、数轴、绝对值的性质，准确识图，确定、、的正负情况和绝对值的大小是解题的关键． （1）根据数轴确定、、的正负情况解答即可； （2）根据数轴确定绝对值的大小，然后化简合并即可． 【详解】（1）解：由图可知，且， ∴，，， 故答案为：；；． （2）解：， ， ，， ． 4．有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】题考查了有理数大小比较及数轴，根据数轴上点的位置关系找出a、b、c、0之间的大小关系是解题的关键. （1）根据数轴上点的位置即可得出a、b、c及0之间的大小关系，此题得解； （2）由（１）知，，再确定，最后进行化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴得：，， ∴，，， 故答案为：，， （2）解：由数轴可知，，． ∴原式 ． 题型二：绝对值的非负性应用 【经典例题2】．已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴． (1)求a，b的值； (2)若另外两点互相重合，则点C表示的数是_________． 【答案】(1)， (2)，，5 【分析】本题考查了数轴，非负数的性质，解题的关键是掌握数轴知识，非负数的性质． （1）根据已知条件非负数的性质可得出，的值； （2）由（1）得知，表示的数分别为，1，再分情况讨论，当折叠中心分别为、、点时求点表示的数． 【详解】（1）解：、满足． ，， ，； （2）解：由（1）得点，点表示的数分别为，1， 当以点为中心折叠，点、点互相重合， ， ， ， 点表示的数为； 当以点为中心折叠，点、点互相重合， ， ， 点表示的数为； 当以点为中心折叠，点、点互相重合，，，点表示的数为5． 综上所述点表示的数是：，，5． 故答案为：，，5． 【强化训练】 1．在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足． (1)________，________； (2)若的中点为，则点表示的数为________； (3)若，两点同时以每秒个单位长度的速度向左移动，则运动几秒时，恰好有？ 【答案】(1)，7 (2)3 (3)3秒 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据非负数的性质确定的值即可； （2）结合（2），确定的中点表示的数即可； （3）设运动时间为秒，根据题意可知此时点表示的数为，点表示的数为，结合可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， 解得，． 故答案为：，7； （2）∵的中点为， ∴点表示的数为． 故答案为：3； （3）设运动时间为秒， 此时点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴可有， 解得秒， 所以，运动3秒时，恰好有． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简． 首先对已知式子进行去括号、合并同类项，将其化简，然后根据非负数和为0求出x、y的值，最后代入化简后的式子中进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 3．已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A，B在数轴上所对应的数互为相反数，见解析 (2)①见解析；②当或时，的值与无关 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）利用绝对值的非负性即可求解； （2）①运动t秒后点在数轴上所表示的数为，由可得点在数轴上所表示的数为0，进一步可推出，即可求解；②分类讨论当点位于点的右侧时和当点位于点的左侧时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：点A，B在数轴上所对应的数互为相反数．理由如下： ， ，，， ，，， 点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． （2）解：①运动t秒后点在数轴上所表示的数为． 由（1）可知点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． ， 点在数轴上所表示的数为0， ，即， ， ∵， ． ②点C从原点出发，运动秒后，点在数轴上表示的数为， ，． 当点位于点的右侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 当点位于点的左侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 综上所述，当或时，的值与无关． 4．已知有理数满足，另有两个不等于零的有理数，使得且， (1)求的值； (2)试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】(1)利用非负数的性质判断即可得到结果； (2)根据且，可得或，两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵， ∴，， 解得：，， ∴； （2）∵且， ∴，或， 当时，， 此时； 当，时，， 此时， 综上，． 题型三：解含绝对值的方程 【经典例题3】．先阅读下列解题过程，再解答问题：解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)若的最小值为，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查了绝对值方程的解法，数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键，对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． （1）根据题中所给解法求解即可； （2）根据的最小值为，得出表示的点与表示的点的距离为，求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 当，即时，原方程可化为：，解得：， 当，即时，原方程可化为：，解得． ∴原方程的解是：或． （2）解：的最小值为， 表示的点与表示的点的距离为， ，， 或． 【强化训练】 1．先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程： (2)已知关于x的方程 ①若方程无解，则m的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则m的值为______； ③若方程有两个解，则m的取值范围是______； (3)解方程： 【答案】(1)或 (2)；； (3)无解 【分析】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用分类讨论得出是解题关键． （1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得； （2）运用分类讨论进行解答； （3）先去分母，再分别根据当，以及当分别求出即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是或； （2）解：∵， ∴①当时，方程无解； ②当时，方程只有一个解； ③当时，方程有两个解； 故答案为：；；； （3）解： 去分母，得， ①当，即时， 原方程化为，， 解得，不符合题意，舍去； ②当，即时， 原方程化为， 解得 ，不符合题意，舍去； 所以，原方程无解． 2．阅读材料： 如图，点A在数轴上表示数3，我们知道：表示3到原点的距离．因为原点O所表示的数为0，同时，因此规定：表示3到0的距离，点A与点O之间的距离记作． 根据以上信息，解答下列问题： (1)依据材料完成下表： 结果 4 表示 表示6到2的距离 (2)若，则_______（直接写出答案）； (3)点B在数轴上表示数，设点P在数轴上对应的数是x，当时，求x的值． 【答案】(1)4，8，表示到2的距离，到的距离，,表示a到b的距离． (2)8或2 (3)或． 【分析】本题主要考查实数与数轴、绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离、绝对值方程等知识点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义直接求解即可； （2）由题意可得或； （3）根据绝对值的几何意义可知，则或，然后分、两种情况分别解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：，，表示到2的距离， 表示到的距离，表示a到b的距离． 故答案为：4，8，表示到2的距离，到的距离，表示a到b的距离． （2）解：∵， ∴或． 故答案为：8或2． （3）解：∵点B在数轴上表示数，设点P在数轴上对应的数是x， ∴， ∴， ∵3与的距离是5， ∴，则点P不在上， ∴或， ∵， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴x的值是或． 3．“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题． 探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整． 方法一、当时，； 当时， ___________． 方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2． 上述两种方法，都可以求得方程的解是___________． 应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________． 拓展：方程的解是___________． 【答案】探究：、1、或；应用：或；拓展： 【分析】本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离．熟练掌握绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可； 应用：由的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9，表示和两点之间的距离为4，可知表示x的点在左侧，或在1右侧；分当时，当时，解绝对值方程即可； 拓展：由题意知，，整理得，分当时，当时，当时，三种情况解绝对值方程即可． 【详解】探究：解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 的意义是数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离是2， 上述两种方法，都可以求得方程的解是或； 故答案为：、1、或． 应用：解：的意义是数轴上表示x的点与表示和两点之间的距离和为9， ∵表示和两点之间的距离为4， ∴表示x的点在左侧，或在1右侧； 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，或； 拓展：解：， ∴， 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，， 解得，； 故答案为：． 4．阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意； 当时，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是________； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性列不等式求解即可； （2）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：当时，，则原方程可化为：，解得：，符合题意； 当时，，原方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 题型四：最小值与最大值问题 【经典例题4】．阅读材料：的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离，根据材料的说法，试求： (1)； (2)若x为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值是多少？如果没有，请说明理由； (3)若x为有理数，则有最______值（填“大”或“小”），其值为________． 【答案】(1)或 (2)有最大值是3 (3)小；2 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，掌握数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值是解题的关键． （1）根据绝对值是数轴上某个数与原点的距离解答； （2）根据绝对值的非负性解答； （3）根据绝对值的意义解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据材料所求为x与之间的距离， ①x在左侧的数轴上时，， 即，， ②x在右侧的数轴上时，， 即，，； （2）解：代数式有最大值， ∵， ∴， 即时， 此时：有最大值是3； （3）解：根据绝对值的定义可知：表示点x到1与3两点距离之和， ， ∴点x在1与3之间时， 有最小值，其值为2． 故答案为：小；2． 【强化训练】 1．用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 【答案】(1)小；1；大；5 (2)1；小；2 (3)3；大；9 (4) 【分析】本题考查了绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． （1）根据非负数的性质，可以求出有最小值；根据，可以求出有最小值； （2）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （3）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （4）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴有最小值1， ∵ ∴ ∴有最大值5 故答案为：小；1；大；5． （2）解：∵ ∴， ∴当时，有最小值2， 故答案为：1；小；2． （3）解：∵ ∴ ∴当时，有最大值9， 故答案为：3；大；9． （4）解：∵ ∴，， 解得：，， ∴． 2．阅读理解：目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数． 小明学习后总结如下：因为，所以的最小值为m，所以的最大值为m． 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整． (1)对和进行讨论，发现可以求得的最______值，可以求得的最______值； (2)多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论：________________ (3)请用迁移发现中的结论讨论是否有最小值或最大值，最值是什么？ 【答案】(1)小，大 (2)的最小值为，的最大值为 (3)有最大值，最大值为 【分析】（1）根据绝对值的非负性进行判断即可； （2）选择几组特殊实例，讨论后，得到一般规律即可； （3）根据（2）中结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即：的最小值为：；的最大值为； 故答案为：小，大； （2）∵， ∴， ∴， ∴； ∴ ∴； 故答案为：的最小值为，的最大值为； （3）由（2）可知：有最大值，最大值为． 3．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数－1的点和表示数－3的点之间的距离是______． (2)数轴上点A用数a表示，若那么a的值为______． (3)数轴上点A用数a表示，若利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是______． (4)有最______（填“大或小”）值，是______． (5)最______（填“大或小”）值，是______． (6)当a的值为______时，有最______（填“大或小”）值，是______． 【答案】(1)2 (2)±5 (3)8或-2 (4)小，1 (5)大，5(6)1，小，2 【分析】（1）根据题中数轴上两点距离公式计算即可． （2）根据绝对值的定义解答； （3）根据题中数轴上两点距离公式计算即可． （4）由≥0，得到有最小值，最小值是=0+1=1； （5）由≥0，得到有最大值，最大值为=5-0=5； （6）根据≥0，得到的最小值是0，即可求出有最小值是0+2=2． 【详解】（1）数轴上表示数－1的点和表示数－3的点之间的距离是， 故答案为：2； （2）数轴上点A用数a表示，若那么a的值为±5， 故答案为：±5； （3）∵． ∴a-3=5或a-3=-5， ∴a=8或a=-2， 故答案为：8或-2； （4）∵≥0， ∴的最小值是0， ∴有最小值，最小值是=0+1=1， 故答案为：小，1； （5）∵≥0， ∴的最小值是0， ∴有最大值，最大值为=5-0=5， 故答案为：大，5； （6）∵≥0， ∴的最小值是0， ∴a=1， ∴有最小值是0+2=2， 故答案为：1，小，2． 4．用字母表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0，根据这个结论完成下列问题： （1）有最_____值________； （2）有最______值_________； （3）当的值为________时，有最_________值__________； （4）若，则____________． 【答案】（1）小，1；（2）大，5；（3）1，小，2；（4）-1． 【分析】（1）根据的最小值为0即可得答案； （2）根据有最大值0即可得答案； （3）根据|a-1|≥0可得|a-1|+2≥2，即可答案； （4）根据非负数性质可得a、b的值，即可求出ab的值． 【详解】（1）∵|a|≥0， ∴|a|+1≥1， ∴|a|+1有最小值1， 故答案为：小，1 （2）∵-|a|≤0， ∴5-|a|≤5， ∴5-|a|有最大值5， 故答案为：大，5 （3）∵|a-1|≥0， ∴|a-1|+2≥2， ∴a-1=0，即a=1时，|a-1|+2有最小值2， 故答案为：1，小 （4）∵ ∴a-1=0，b+1=0， 解得：a=1，b=-1， ∴ab=1×（-1）=-1． 故答案为：-1 题型五：绝对值的几何意义应用 【经典例题5】．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)若|x﹣3|＝|x+1|，则x＝　 　； (2)式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为　 　； (3)请说出|x﹣3|+|x+1|＝7所表示的几何意义，并求出x的值． 【答案】(1)1 (2)4 (3)几何意义：在数轴上与3和﹣1的距离和为7的点对应的x的值，﹣2.5或4.5 【分析】（1）根据绝对值的意义，可知|x﹣3|是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离，|x+1|是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点之间的距离，若|x﹣3|＝|x+1|，则此点必在﹣1与3之间，故x﹣3＜0，x+1＞0，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可； （2）求|x﹣3|+|x+1|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值． （3）由于x﹣3及x+1的符号不能确定，故应分情况讨论． 【详解】（1）根据绝对值的意义可知，此点必在﹣1与3之间，故x﹣3＜0，x+1＞0， ∴原式可化为3﹣x＝x+1， ∴x＝1； 故答案为：1． （2）根据题意，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值． ∴|x﹣3|＝3﹣x，|x+1|＝x+1， ∴|x﹣3|+|x+1|＝3﹣x+x+1＝4； 故答案为：4． （3）几何意义：在数轴上与3和﹣1所表示的点的距离和为7的点对应的x的值． 在数轴上3和﹣1的距离为4，则满足方程的x的对应点在﹣1的左边或3的右边． 若x的对应点在﹣1的左边，则x＝﹣2.5； 若x的对应点在3的右边，则x＝4.5． 所以原方程的解是x＝﹣2.5或x＝4.5． 【强化训练】 1．阅读下面的材料： 点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为． 当两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图所示，； 当两点都不在原点时， ．如图所示，点都在原点的右边， ； ．如图所示，点都在原点的左边， ； ．如图所示，点在原点的两边， ． 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时， ， ． 【答案】(1)，，； (2)，或； (3)，． 【分析】（）根据两点间距离公式计算即可； （）根据两点间距离公式可得点和之间的距离是，进而由可得，解方程即可求解； （）由绝对值的性质可得当，时，取最小值，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的性质，掌握数轴上两点间的距离计算方法及绝对值的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：，，； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， 当时，， ∴或， ∴或， 故答案为：，或； （3）解：∵，， ∴当，时，取最小值， ∴，， 故答案为：，． 2．阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是9，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1)①②或 (2)①，② (3)当时，，当时，，当时，，当时， 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用， （）①根据、两点之间的距离公式即可求解； ②根据及、两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数的值，即可求解； （）根据点位置分情况讨论，用含的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）①∵点表示数，点表示数， ∴、两点之间的距离表示为； ②点表示数，点表示数， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和的距离之和， ∴当整数的值为这个值时，的最小值为， 即相应的整数的个数为个； 故答案为：①；；②； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是， ∴点表示的数是，点表示的数是，、之间的距离， ∵点的运动速度始终保持每秒个单位长度，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，，当时，，当时， 3．阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 【答案】(1)①；②或3； (2)①；2；②4； (3)①2或4；②当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用， （1）①根据A、B两点之间的距离公式即可求解； ②根据及A、B两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （2）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和2的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数x的值，即可求解； （3）①先求出点D、点E所表示的数，分当点P还没到达E点时、当点P到达E点返回时两种情况讨论，可得t的值； ②根据P点位置分情况讨论，用含t的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）∵点A表示数x，点B表示数1， ∴A、B两点之间的距离表示为； ②点A表示数x，点B表示数1， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或3； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和2的距离之和， ∴当x的值为这4个值时，的最小值为3， 即相应的整数x的个数为4个； 故答案为：①；2；②4； （3）①在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5， ∴点D表示的数是，点E表示的数是5，D、E之间的距离， ∵点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动， ∴ ∵ ∴点P还没到达E点时，（秒）， 当点P到达E点返回时，（秒）， 故答案为：2或4； ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． 4．我们知道，可以理解为，它表示数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点分别表示数，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． 若数轴上点A表示数a，请回答下列问题： (1)如果，那么a的值是______． (2)如果，则整数a的值有几个？ (3)求的最小值． 【答案】(1)1或3 (2)整数a的值有6个 (3)最小值为 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）利用绝对值的意义知，然后分别求解可得； （2）由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到距离之和，再由是整数，得出符合条件的值即可； （3）由表示：数轴上表示数的点到的距离与表示数的点到和表示数的点到的距离之和，根据两点间线段最短即可求解． 【详解】（1）， 或， 解得或． （2）表示数轴上表示数a的点到1的距离， 和到的距离的和为5，且， ， a是整数， a的值有，，，，， 整数a的值有6个； （3）表示， 数轴上表示数a的点到的距离，到5的距离，到的距离的和， 为了使距离之和最小， 应该位于在到5之间，此时， 当时， 为最小值， 当时，有最小值， 最小值为． 题型六：绝对值的综合问题 【经典例题6】． 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或 (2)，，，0，1；4 (3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3），表示的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离，根据题意即可得其值； （4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数，，，0，1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：，，，0，1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 【强化训练】 1．为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【答案】(1)最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地 (2)七次巡逻行驶共耗油升 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的应用，有理数的加、减、乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． （1）计算出最后一次所处位置即可； （2）将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量，即可求解． 【详解】（1）解：， 最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地； （2）， ， （升）， 七次巡逻行驶共耗油升． 2．为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【答案】(1)回收站到号楼的距离 (2)的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间 (3)的最小值是，回收站的位置建在号楼处 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； 理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 表示回收站到号楼的距离； 故答案：回收站到号楼的距离． （2）解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间. （3）解：由题意得 解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， 当时， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼处． 3．阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，在计算即可； （3）由两点距离的意义进行解得； （4）当时代数式的值最小，即可得到答案； （5）取最中间点即可； （6）在范围内，解方程便可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （2）解：， ； （3）解：表示数的点与表示数和的点的距离之和， 当位于和之间时，其距离之和最小， 故当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （4）解：当时，取最小值， 原式； （5）解：点选在最中间时，距离总和最小， 故答案为：； （6）解：， 当时， ， ， 数a，b满足，求的最小值为． 4．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为_______； ②若数轴上表示点的数满足，那么______． (2)拓展探究：①若数轴上表示点x的数满足，则______； ②是否存在的值，使得等式成立?并说明理由． (3)迁移应用：当满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少?不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1)①3； ②或3 (2)①7；②不存在，理由见解析 (3)当的值等于时，取得最小值，最小值是 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值，熟练掌握绝对值的意义，根据“数形结合”的基础是解题的关键，由题意中定义逐一分析即可得到答案． （1）①根据材料提示，数轴上两点之间距离的计算方法即可求解；②根据两点之间距离的计算，绝对值的性质即可求解； （2）①根据材料提示，运用数轴上两点之间距离的计算方法，绝对值的性质进行计算即可；②根据两点之间距离的计算方法即可判定； （3）根据材料提示，运用两点之间距离的计算方法，绝对值的性质化简计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ①和两点之间的距离为， ②∵， 或， 解得或， 故答案为：①3；②或3． （2）解：①∵， ∴，， ∴， 故答案为：． ②不存在x的值，使得等式成立． 理由如下：由数形结合思想得，当数轴上表示点x的数满足大于或等于，且小于或等于1时，的值最小，最小值为5， ∴不成立． ∴不存在x的值，使得等式成立． （3）解：根据题意可得： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当x的值等于时，取得最小值，最小值是11． 学科网··★数学梦工厂出品·，第2页，共44页 学科网（北京）股份有限公司 $$