专题2：简便计算与混合计算-2024-2025学年七年级数学上学期专题精讲精练（全国通用版）

2024-2025学年七年级上学期专题精讲精练（全国通用版） 专题二：简便计算与混合计算（原卷版） 目录 重点知识突破 2 1、简便计算的数学依据: 2 2、简便计算的技巧： 2 3、混合运算的解决方法: 3 题型大全概览 3 经典题型，举一反四 3 题型一：利用加法交换律和结合律简便计算 3 题型二：利用乘法交换律和结合律简便计算 6 题型三：利用乘法分配律简便计算 7 题型四：逆用乘法分配律简便计算 8 题型五：拆项使用乘法分配律 9 题型六：混合计算问题 10 题型七：纠错计算问题 12 题型八：新定义计算问题 14 题型九：找规律计算问题 18 · 重点知识突破 1、简便计算的数学依据: （1）加法交换律：； （2）加法结合律：； （3）乘法交换律：； （4）乘法结合律：； （5）乘法分配律：. 2、简便计算的技巧： （1）加法交换律结合律的使用： （2）乘法交换律结合律的使用： （3）乘法分配律的使用： 3、混合运算的解决方法: （1）一看能否简便，能就按简便方法解决！ （2）二想运算顺序，乘方优先，其次乘除，最后加减，有括号要先算括号； 再乘除 先乘方 最后加减 强调：如有括号，要先算括号内的！ （3）三用运算法则，解决好每步运算； （4）四细心检查每一步计算是否有误。 · 题型大全概览 有理数的混合运算大致分为两大种类型，九小种类型,具体见下面的思维导图： · 经典题型，举一反四 题型一：利用加法交换律和结合律简便计算 【经典例题1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【强化训练】 1．使用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 4．计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； 题型二：利用乘法交换律和结合律简便计算 【经典例题2】．用简便方法计算： (1)； (2)． 【强化训练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三：利用乘法分配律简便计算 【经典例题3】．用简便方法计算：． 【强化训练】 1．用乘法分配律完成计算：． 2．计算： 3．计算：． 4．计算：． 题型四：逆用乘法分配律简便计算 【经典例题4】．计算：； 【强化训练】 1． 用适当的方法计算：． 2． 用简便方法计算：． 3． 用简便方法计算：． 4．用简便方法计算： 题型五：拆项使用乘法分配律 【经典例题5】．计算： 【强化训练】 1． 计算： 2． 计算：． 3． 计算：； 4． 计算：； 题型六：混合计算问题 【经典例题6】．计算 (1) (2) 【强化训练】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算 (1)； (2)． 3．计算： (1) (2) 4．计算： (1) (2) 题型七：纠错计算问题 【经典例题7】．小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【强化训练】 1．阅读下列计算过程，并回答问题： 解：原式① ② ，③ ． (1)上述解答过程中，有错误的步骤是______；（填写序号） (2)写出正确的计算过程． 2．老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题：．下面是小丽的解答过程： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 任务1：小丽的解答过程共存在_________处错误，分别是_________； 任务2：第二处错误的错误原因是_________； 任务3：请你写出正确的解答结果_________； 任务4：请根据平时的学习经验，就乘方运算给出一些运算时的注意事项，从而尽量避免运算错误．（一条即可） 3．小明同学在计算：时，步骤如下： 解：原式⋯⋯（1） ⋯⋯（2） ⋯⋯（3） (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号） (2)请给出正确的解题过程． 4．阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 题型八：新定义计算问题 【经典例题8】．定义新运算“”，规则如下：． 例如： 1，求： (1)的值． (2)的值． 【强化训练】 1．若定义一种新的运算“”，规定有理数：，如． (1)求的值； (2)求的值． 2．对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 3．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，写作，读作“的圈次方”．一般地，把记作：，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ； ； （2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈次方都等于 B．任何非零数的圈次方都等于它的倒数 C．圈次方等于它本身的数是或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 E．互为相反数的两个数的圈次方互为相反数 F．互为倒数的两个数的圈次方互为倒数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 4．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地， 把记作，读作“a的下n次方”． 直接写出计算结果： ， ． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： （a为有理数且）， ． （2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是： ． 【结论应用】计算：． 题型九：找规律计算问题 【经典例题9】．观察下列各式，回答问题 ，，…． 按上述规律填空： (1) × ． (2)计算： 【强化训练】 1．观察下列运算过程： ，；，… (1)填空：______； ______； (2)仿照（1）中的规律，判断与的大小关系； (3)求的值． 2．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 3．探究规律，完成相关题目．定义“”运算： ；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，__________．特别地0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，__________．请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 4．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例： ①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 学科网··★数学梦工厂出品·，第2页，共44页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年七年级上学期专题精讲精练（全国通用版） 专题二：简便计算与混合计算（解析版） 目录 重点知识突破 2 1、简便计算的数学依据: 2 2、简便计算的技巧： 2 3、混合运算的解决方法: 3 题型大全概览 3 经典题型，举一反四 3 题型一：利用加法交换律和结合律简便计算 3 题型二：利用乘法交换律和结合律简便计算 8 题型三：利用乘法分配律简便计算 12 题型四：逆用乘法分配律简便计算 14 题型五：拆项使用乘法分配律 16 题型六：混合计算问题 18 题型七：纠错计算问题 22 题型八：新定义计算问题 26 题型九：找规律计算问题 32 · 重点知识突破 1、简便计算的数学依据: （1）加法交换律：； （2）加法结合律：； （3）乘法交换律：； （4）乘法结合律：； （5）乘法分配律：. 2、简便计算的技巧： （1）加法交换律结合律的使用： （2）乘法交换律结合律的使用： （3）乘法分配律的使用： 3、混合运算的解决方法: （1）一看能否简便，能就按简便方法解决！ （2）二想运算顺序，乘方优先，其次乘除，最后加减，有括号要先算括号； 再乘除 先乘方 最后加减 强调：如有括号，要先算括号内的！ （3）三用运算法则，解决好每步运算； （4）四细心检查每一步计算是否有误。 · 题型大全概览 有理数的混合运算大致分为两大种类型，九小种类型,具体见下面的思维导图： · 经典题型，举一反四 题型一：利用加法交换律和结合律简便计算 【经典例题1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则和加法的运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则和加法结合律解答即可； （2）利用有理数的加法法则和加法交换律和加法结合律解答即可； （3）利用有理数的加法法则和加法交换律和加法结合律解答即可； （4）利用有理数的加法法则和加法交换律和加法结合律解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【强化训练】 1．使用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)0； (4)． 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ； （4）解：） ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． （1）根据有理数加法法则计算即可； （2）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可； （3）根据有理数加法法则计算即可； （4）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）从左到右依次计算即可； （2）运用加法的交换律和结合律计算即可； （3）运用加法的交换律和结合律计算即可； （4）运用加法的交换律和结合律计算即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 4．计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握加法交换律和加法结合律进行计算是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和加法结合律进行计算； （2）化简绝对值，然后利用加法交换律和加法结合律进行计算； （3）利用加法交换律和加法结合律进行计算； （4）利用加法交换律和加法结合律进行计算． 【详解】（1）解： = = =； （2）解： = = = =； （3）解： = = =； （4）解： = = = 题型二：利用乘法交换律和结合律简便计算 【经典例题2】．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算．解答的关键是运用乘法运算律简化计算过程． （1）利用乘法交换律和结合律即可求解； （2）利用乘法交换律和结合律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【强化训练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)35 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可． （1）结合几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0，即可作答． （2）先把小数化为分数，再相乘，即可作答． （3）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，然后把带分数化为假分数，再进行计算，即可作答． （4）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，再相乘，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据有理数的乘法，利用乘法交换律进行计算，即可； （2）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． （1）先计算，进一步计算即可求解； （2）利用乘法交换律计算和，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查多个有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律． （1）首先确定乘积的符号，再根据乘法结合律计算即可； （2）首先确定乘积的符号，再计算； （3）首先确定乘积的符号，再计算； （4）首先确定乘积的符号，再利用乘方交换律，结合律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型三：利用乘法分配律简便计算 【经典例题3】．用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘法分配律，运用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】解： 【强化训练】 1．用乘法分配律完成计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是乘法分配律的应用，把原式化为，再进行乘法运算，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ． 2．计算： 【答案】 【分析】本题考查乘法分配律，根据乘法分配律乘以每一项后再计算即可． 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，根据乘法分配律计算即可. 【详解】解：原式． 题型四：逆用乘法分配律简便计算 【经典例题4】．计算：； 【答案】350 【详解】本题考查乘法分配律的逆运算，逆用乘法分配律进行简便计算． 解：原式 ． 【强化训练】 1． 用适当的方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律：根据乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】解： ． 2． 用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法和加减运算，掌握运算法则是解题的关键． 把原式化为，逆用乘法分配律解题即可． 【详解】解： ． 3． 用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题关键．先把带分数化为假分数，再利用乘法分配律计算即可得答案． 【详解】解： ． 4．用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，乘法分配律的应用； 把原式化为：，再进一步计算即可． 【详解】解： ； 题型五：拆项使用乘法分配律 【经典例题5】．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及运算律．原式变形为，再利用乘法分配律展开，继而进一步计算即可． 【详解】解：原式 ． 【强化训练】 1． 计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，乘法分配律： 先把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】解： ． 2． 计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则，正确的计算，是解题的关键： 利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】原式． 3． 计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算．先将转化成，再运用乘法的分配律，将括号里的数分别和24相乘，最后算减法即可． 【详解】解： ． 4． 计算：； 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法运算律，掌握乘法分配律是解题的关键． 先化为，然后运用乘法分配律计算即可； 【详解】（1）解： ； 题型六：混合计算问题 【经典例题6】．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可； （2）先计算乘方运算，绝对值，以及括号内的运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【强化训练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先算乘除，再算加法即可； （）先算乘方和括号内的，然后算乘法，最后算加减即可； 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)7 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对有理数的混合运算的相应的法则的掌握． （1）先算小括号里的乘法，再算乘方，再算中括号里的减法，然后算中括号外面的乘法，最后算加法即可； （2）先算乘方和绝对值，并运用乘法的分配律将小括号里的数分别和24相乘，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方、绝对值、除法，再计算加减法即可； （2）先计算乘方和乘除法，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七：纠错计算问题 【经典例题7】．小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)小红第二步计算出现错误 (2) 【分析】本题考查有理数的乘除法、有理数的乘方，掌握运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）小红的第二步计算出现错误，第二步运算顺序出现错误； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：小红第二步计算出现错误，运算顺序出现了错误； （2）解：原式 ． 【强化训练】 1．阅读下列计算过程，并回答问题： 解：原式① ② ，③ ． (1)上述解答过程中，有错误的步骤是______；（填写序号） (2)写出正确的计算过程． 【答案】(1)② (2)，过程见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据有理数的运算顺序进行分析，即可判断错误的步骤； （2）根据有理数的运算顺序以及运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）第①步中，故错误， 由于第②步先计算了减法，故错误 故答案为：①②． （2）解：原式 2．老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题：．下面是小丽的解答过程： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 任务1：小丽的解答过程共存在_________处错误，分别是_________； 任务2：第二处错误的错误原因是_________； 任务3：请你写出正确的解答结果_________； 任务4：请根据平时的学习经验，就乘方运算给出一些运算时的注意事项，从而尽量避免运算错误．（一条即可） 【答案】任务一：两，第一步和第四步；任务二：是同级运算，没有按照从左往右的运算顺序进行运算；任务三：；任务四：看清底数的正负，明确结果的正负 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟知其原运算法则． 根据有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】解：任务1，小丽的解答过程共存在两处错误，分别是第一步和第四步； 任务2，是同级运算，没有按照从左往右的运算顺序进行运算； 任务3， ； 任务4：看清底数的正负，明确结果的正负． 3．小明同学在计算：时，步骤如下： 解：原式⋯⋯（1） ⋯⋯（2） ⋯⋯（3） (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号） (2)请给出正确的解题过程． 【答案】(1)（1） (2)过程见解析 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键； （1）由乘方计算错误与除法计算错误可得答案； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号计算括号内的运算即可； 【详解】（1）解：第（1）步就出现错误； （2） ； 4．阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为． 故原式． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． 请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： （1）； （2）． 【答案】一；（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算的有关知识，含乘方的有理数混合运算，有理数的乘除运算： 没有除法分配律，故解法一错误； （1）先计算乘方和括号里面的内容，再将除法化成乘法进行计算即可； （2）先计算括号里的内容，再将除法化成乘法进行计算即可． 【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误， 故答案为：一； （1）原式 ； （2）原式 ． 题型八：新定义计算问题 【经典例题8】．定义新运算“”，规则如下：． 例如： 1，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算．理解题意，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴的值为． （2）解：由题意知，， ∴， ∴的值为． 【强化训练】 1．若定义一种新的运算“”，规定有理数：，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，读懂题意，根据新定义的法则计算即可． （1）根据新定义的法则计算即可； （2）根据新定义的法则计算，再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， 故原式． 2．对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)69 (2)35 【分析】本题考查了新定义运算，以及有理数的混合运算，正确理解题意，熟练掌握计算法则是解题的关键． （1）依据题意求解即可； （2）先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 3．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，写作，读作“的圈次方”．一般地，把记作：，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ； ； （2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈次方都等于 B．任何非零数的圈次方都等于它的倒数 C．圈次方等于它本身的数是或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 E．互为相反数的两个数的圈次方互为相反数 F．互为倒数的两个数的圈次方互为倒数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【答案】（）；；（）；（）；（）． 【分析】（）利用的圈次方的意义，进行计算即可解答； （）利用的圈次方的意义，逐一判断即可解答； （）利用的圈次方的意义计算即可； （）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答； 本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键. 【详解】解：（）， ， 故答案为：；； （）.因为，所以任何非零数的圈次方都等于，正确； .因为，所以任何非零数的圈次方都等于它的倒数，正确； .圈次方等于它本身的数是，说法错误，， .根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； .互为相反数的两个数的圈次方不一定互为相反数，错误，圈偶数次方相等，如 ，； .互为倒数的两个数的圈次方互为倒数，正确，如，， 故答案为：； （）， 故答案为：； （）原式 ． 4．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地， 把记作，读作“a的下n次方”． 直接写出计算结果： ， ． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： （a为有理数且）， ． （2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是： ． 【结论应用】计算：． 【答案】【概念学习】，；【深入探究】（1），；（2）；【结论应用】． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． 概念学习：根据除方的运算法则求解即可； 深入探究：（1）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （2）根据（1）的计算结果得出规律即可； 结论应用：根据有理数的混合运算顺序和运算法则及除方的运算法则计算即可． 【详解】概念学习： ， ； 深入探究：（1）； ； （2） ； 结论应用： ． 题型九：找规律计算问题 【经典例题9】．观察下列各式，回答问题 ，，…． 按上述规律填空： (1) × ． (2)计算： 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查数字变化类和有理数的混合运算，解题的关键是从最简单的情形入手，找出规律，利用规律简化计算的方法． （1）首先可以看出等号的左边是1减去几的平方分之一，计算的结果是1减去几分之一乘1加上几分之一，由此规律直接得出答案即可； （2）根据（1）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：由题中前几个式子的规律得：， 故答案为：，； （2）解：由题意， ． 【强化训练】 1．观察下列运算过程： ，；，… (1)填空：______； ______； (2)仿照（1）中的规律，判断与的大小关系； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据所给的求解方式进行求解即可； （2）把相应的数进行运算，最后比较即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：；； （2）解：∵，， ∴； （3）解：原式． 2．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找到规律是关键． （1）依据规律即可完成； （2）由（1）得出的规律，按照有理数的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，，．（n为正整数） 故答案为：，， （2）解： ． 3．探究规律，完成相关题目．定义“”运算： ；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，__________．特别地0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，__________．请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【答案】(1)异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方 (2)17 (3) 【分析】（1）首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可； （2）根据（1）中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算法则，进行求值计算即可． （3）根据总结的运算法则，进行分析计算即可． 【详解】（1）解：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方； 故答案为：异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方 （2）解： ； （3）解：当同号时， ∵， ， 即， ∴， 解得：； 当异号时， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：； 综上所述， 4．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例： ①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)正，负，平方相加；平方 (3)存在，当，时，；当，时， 【分析】本题考查了新定义的运算及规律探究，根据已知等式正确归纳出运算法则是解题关键． （1）根据已知新定义运算法则计算即可； （2）根据题干已知运算等式，归纳运算法则即可； （3）由判断得到或，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ① ； ② ； （2）解：由题意得 归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的平方． 故答案：正，负，平方相加；平方． （3）解：存在，理由如下 ， 或； ， ， 是整数， ①当，时， 此时，，符合题意； ； ②当，时， ， 此时，，不符合题意； ③当，时， ， 此时，，符合题意； ； ④当，时， ， 此时，，不符合题意； 综上所述：当，时，；当，时，． 学科网··★数学梦工厂出品·，第2页，共44页 学科网（北京）股份有限公司 $$