第一章 直角三角形的边角关系 ——三角函数专题练习 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

北师大九年级下册三角函数专题练习 一．锐角三角函数的定义（共7小题） 1．在正方形网格中，如图放置，则的值为　　 A．2 B． C． D． 2．在△中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则的正弦值　　 A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的3倍 C．不变 D．不能确定 3．如图，在中，，，，则　　 A． B． C． D． 4．在△中，，，，则的正切值为　　 A． B． C． D． 5．在△中，，设，，所对的边分别为，，，则　　 A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，那么的值为　　 A． B．2 C． D． 7．在△中，，，△的周长为60，那么为 　　． 二．锐角三角函数的增减性（共1小题） 8．若锐角满足，则锐角的取值范围是　　 A． B． C． D． 三．同角三角函数的关系（共1小题） 9．已知为锐角，且，则 　　． 四．特殊角的三角函数值（共12小题） 10．在△中，，那么的度数是　　 A． B． C． D． 11．在△中，，，则△的形状　　 A．一定是锐角三角形 B．—定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 12．计算的结果为　　 A． B． C． D．3 13．在中，若，均为锐角，且，则的度数是　　 A． B． C． D． 14．在中，若，满足，则是　　 A．等腰（非等边）三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 15．已知为锐角，，则 　　． 16．在锐角三角形中，已知，满足，则　 　． 17．计算：． 18．计算： （1）； （2）． 19．计算： 20．计算：． 21．计算：． 五．解直角三角形（共13小题） 22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为　　 A．2 B． C．3 D． 23．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为　　． 24．如图，在中，，，，则的长是　　 A． B． C． D．9 25．如图，在△中，，则的长是 　　． 26．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的值是 　　． 27．正方形网格中，如图放置，则的值为　　 A． B． C．1 D． 28．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是　　 A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 29．△的边长都扩大2倍，则的值　　 A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断 30．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为　　 A． B． C． D． 31．如图，在△中，，是的中点，边点作的垂线交于点，，，则为　　 A． B．10 C． D．15 32．如图，在四边形中，连接，若，则 　　． 33．在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点、、、、都在格点上，连接，，则　　． 34．在△中，，求： （1）； （2）当时，求的长． 六．解直角三角形的应用（共6小题） 35．正定凌霄塔是全国重点文物保护单位．其造型优美端庄，八角九层，塔高约40米，如图①、如图②所示的正八边形是凌霄塔其中一层的平面示意图，其每个内角的度数为　　 A． B． C． D． 36．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是　　 A． B． C． D． 37．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点到的距离为　　 A． B． C． D． 38．如图，树垂直于地面，为测树高，小明在处测得，他沿方向走了20米，到达处，测得，则计算出树的高度是 　　米． 39．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 　　． 40．如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点、、处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中，，．研究表明，当手机与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点到的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，． 七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题） 41．如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是　　 A． B． C． D． 42．小明沿着坡比为的山坡向上走了，则他升高了　　 A． B． C． D． 43．如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为　　米． A． B． C． D． 44．如图，一根长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点离地面的高度为时，木头的倾斜角的余弦的值为　　 A． B． C． D． 45．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为　　 A． B． C． D． 八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题） 46．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且、、三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是　　 A．米 B．米 C．米 D．米 47．如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，测得米，则树的高（单位：米）为　　 A． B． C． D． 48．如图，小明用无人机测量大楼高度，无人机悬停在处时，看这栋楼底的俯角为，而后垂直上升20米到与大楼高度平齐的处，此时看这栋楼底的俯角为，则这栋楼的高度约为 　　米． 49．如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走130米至坡顶处，再从处沿水平方向继续前行若干米后至点处，在点测得该建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，点、、、、在同一平面内，斜坡的坡度．根据小颖的测量数据，求建筑物的高度．（参考数据： 50．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点处（点、、在同一水平线上）测得大树顶端的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点处，此时测得大树顶端的仰角为，点、、、在同一平面内． （1）填空：　　，　　； （2）求斜坡上点到的距离； （3）求大树的高度（结果精确到0.1米．参考数据：，，，， 51．如图，小明在处用高1米米）的测角仪测得旗杆的顶端的仰角为，再向旗杆方向前进10米到处，又测得旗杆顶端的仰角为，请求出旗杆的高． 九．解直角三角形的应用-方向角问题（共5小题） 52．如图，小明驾车从地途经地到地，在地图上测得地在地的北偏西方向，地在地的北偏东方向，地在地的北偏东方向，地到地的距离是，那么，两地的距离约为 　　．（结果保留到．参考数据： 53．如图，，，，分别是龙城公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米，千米．则的长度为　　千米． A． B． C． D． 54．如图是某区域的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是　　 A． B．1 C．2 D． 55．某动物园熊猫基地新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于、之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口进入园区之后可步行到达点，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点在点的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点的正东方向300米处，点在点的北偏东方向上，且米．（参考数据：，， （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 56．如图，某湖心岛上有一亭子，在亭子的正东方向上的湖边有一棵树，在这个湖心岛的湖边处测得亭子在北偏西方向上，测得树在北偏东方向上，又测得、之间的距离等于200米，求、之间的距离 （结果精确到1米）．（参考数据：，，，， 北师大九年级下册三角函数专题练习 参考答案与试题解析 一．锐角三角函数的定义（共7小题） 1．在正方形网格中，如图放置，则的值为　　 A．2 B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据图形找出角的两边经过的格点以及点组成的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答． 【解答】解：如图，． 故选． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键． 2．在△中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则的正弦值　　 A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的3倍 C．不变 D．不能确定 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：△中，，将各边长度都扩大为原来的3倍，其比值不变， 的正弦值不变． 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 3．如图，在中，，，，则　　 A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据勾股定理计算出长，再根据余弦定义可得答案． 【解答】解：，， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作． 4．在△中，，，，则的正切值为　　 A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可． 【解答】解：由题意可得：， ． 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，正确进行计算是解题关键． 5．在△中，，设，，所对的边分别为，，，则　　 A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可． 【解答】解：、， 则，本选项说法错误； 、，本选项说法正确； 、， 则，本选项说法错误； 、，本选项说法错误； 故选：． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握正弦、正切的定义是解题的关键． 6．如图，在中，，，，那么的值为　　 A． B．2 C． D． 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【解答】解：在中，，，，由勾股定理，得 ． 由锐角的余弦，得． 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关键． 7．在△中，，，△的周长为60，那么为 　26　． 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据△中，是直角，利用锐角三角函数的定义，即可得到结果． 【解答】解：如图： ，， ， 设，则， 在△中，， ， △的周长为60， ， ， ， ， ． 故答案为：26． 【点评】本题考查了锐角三角函数的应用，熟悉锐角三角函数的定义，得到直角三角形中相应边的比是解题的关键． 二．锐角三角函数的增减性（共1小题） 8．若锐角满足，则锐角的取值范围是　　 A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值 【分析】根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【解答】解：，， ； 故选：． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三．同角三角函数的关系（共1小题） 9．已知为锐角，且，则 　　． 【考点】同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值 【分析】根据的正弦和正切值求解． 【解答】解：为锐角，且， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 四．特殊角的三角函数值（共12小题） 10．在△中，，那么的度数是　　 A． B． C． D． 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据，，即可求出答案． 【解答】解：△是直角三角形，， 是锐角， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了特殊角的三角函数值．熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 11．在△中，，，则△的形状　　 A．一定是锐角三角形 B．—定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】先根据△中，，求出及的度数，进而可得出结论． 【解答】解：△中，，， ，， ， △是等腰直角三角形． 故选：． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 12．计算的结果为　　 A． B． C． D．3 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【解答】解：， 原式， 故选：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 13．在中，若，均为锐角，且，则的度数是　　 A． B． C． D． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值；特殊角的三角函数值 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得出且，求出和的度数，再求出即可． 【解答】解：，均为锐角，且， 且， ，， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，特殊角的三角函数值等知识点，能熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键． 14．在中，若，满足，则是　　 A．等腰（非等边）三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【考点】16：非负数的性质：绝对值；：非负数的性质：偶次方；：特殊角的三角函数值 【分析】先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值和，即可作出判断． 【解答】解：根据题意得：且， 则，， ，， 是等边三角形． 故选：． 【点评】本题考查了：①特殊角的三角函数值；②非负数的性质．正确以及特殊角的三角函数值是关键． 15．已知为锐角，，则 　　． 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【解答】解：为锐角，且， ， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角度，正确记忆特殊角三角函数值是解题的关键． 16．在锐角三角形中，已知，满足，则　　． 【考点】16：非负数的性质：绝对值；：非负数的性质：偶次方；：特殊角的三角函数值 【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后求出和的度数，继而可求得． 【解答】解：由题意得，，， 则，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及非负数的性质． 17．计算：． 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 18．计算： （1）； （2）． 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 19．计算： 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据特殊锐角三角函数值达人计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，掌握应特殊角的三角函数值以及实数的运算法则是正确解答的关键． 20．计算：． 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算得到答案． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 21．计算：． 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算得到答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 五．解直角三角形（共13小题） 22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为　　 A．2 B． C．3 D． 【考点】正方形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定与性质 【分析】连接交于点，由正方形的性质得，，，，进而得，证得△△，得，从而得到，进而利用正切定义解答即可． 【解答】解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，，， ， 根据题意，， ，， △△， ， ， ， ， 在△中，， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为　　． 【考点】解直角三角形 【分析】过点作，交轴于点，根据题意得出，即可求出． 【解答】解：过点作，交轴于点， 由题意可得：，， 的正切值为， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角正切值的定义是解题的关键． 24．如图，在中，，，，则的长是　　 A． B． C． D．9 【考点】勾股定理；解直角三角形 【分析】作，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， 在中，， 故选：． 【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握含的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 25．如图，在△中，，则的长是 　6　． 【考点】解直角三角形 【分析】如图，作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长． 【解答】解：作于， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查解直角三角形．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理是解题的关键． 26．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的值是 　　． 【考点】解直角三角形；勾股定理 【分析】由勾股定理计算出，，，再由勾股定理逆定理判断出△为直角三角形，，最后由余弦的定义即可得解． 【解答】解：由勾股定理可得：，，， ，， ， △为直角三角形， ， 在△中，， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、余弦的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 27．正方形网格中，如图放置，则的值为　　 A． B． C．1 D． 【考点】解直角三角形 【分析】连接，根据勾股定理可以得到，则是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解． 【解答】解：如图，连接，，设正方形的网格边长是1，则根据勾股定理可以得到： ，， 在中，由等腰三角形三线合一得：， 则， ， 故选：． 【点评】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键． 28．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是　　 A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【考点】解直角三角形 【分析】过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【解答】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， 海里，， ， ， 海里， ， 海里， 海里， 故选：． 【点评】本题主要考查了构造直角三角形，解直角三角形，关键是由含的直角三角形的性质可得出海里解答． 29．△的边长都扩大2倍，则的值　　 A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断 【考点】解直角三角形 【分析】根据题意可知所得的三角形与原三角形相似，从而可得的大小没有发生变化，即可解答． 【解答】解：△的边长都扩大2倍． 所得的三角形与原三角形相似． 的大小没有发生变化． 的值不变． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 30．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为　　 A． B． C． D． 【考点】解直角三角形 【分析】过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：过点作的垂线，垂足为， 令小正方形的边长为， 根据勾股定理得，， ， ． 格点是的中点． ， 在△中， ． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 31．如图，在△中，，是的中点，边点作的垂线交于点，，，则为　　 A． B．10 C． D．15 【考点】解直角三角形 【分析】根据在△中，，，，可得、的长，从而求得的长；由，从而可以推得的长． 【解答】解：在△中，，，， ， ； 是的中点， ， 又， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是能根据直角三角形中的三角函数求出各个量． 32．如图，在四边形中，连接，若，则 　　． 【考点】解直角三角形 【分析】过点作于，交的延长线于，根据，设，，则，，进而得，在△中，由勾股定理求出，则，，再根据得，再根据可得，然后证明△和△全等得，，则，据此在△中，由勾股定理即可求出的长． 【解答】解：过点作于，交的延长线于，如图所示： 则， 在△中，， 设，， 由勾股定理得：， ， ， 在△中，由勾股定理得：， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ，， ， ， ，， ， 即， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 在△中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，正确地作出辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 33．在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点、、、、都在格点上，连接，，则　　． 【考点】解直角三角形 【分析】根据三角形的外角和定理，结合正方形的性质，可求出的值． 【解答】解：如图所示，连接，易得， ， ， 在△中，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形及正方形的性质，熟练掌握三角形的外角和定理，运用平行线的性质，综合求值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 34．在△中，，求： （1）； （2）当时，求的长． 【考点】解直角三角形 【分析】（1）根据在△中，，得出是直角边，分为当是斜边时和当是直角边时根据勾股定理和余弦的定义求解即可； （2）分为当是斜边时和当是直角边时，根据勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）在△中，， 设，则， 当是斜边时，， 则； 当是直角边时，， 则； 综上，的值为或； （2）在△中，， 设，则， 当是直角边时，，解得：（负值已经舍去）； 当是斜边时，，解得：（负值已经舍去）； 综上，或． 【点评】本题考查解直角三角形、解一元二次方程及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数值是解题关键． 六．解直角三角形的应用（共6小题） 35．正定凌霄塔是全国重点文物保护单位．其造型优美端庄，八角九层，塔高约40米，如图①、如图②所示的正八边形是凌霄塔其中一层的平面示意图，其每个内角的度数为　　 A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用；多边形内角与外角 【分析】设图中的正多边形为正八边形，作出它的一个外角，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图②，延长到点， 正多边形的每个外角都相等，八边形是正八边形， ， ， ， 正八边形的每个内角的度数都是， 故选：． 【点评】此题重点考查多边形内角与外角、正多边形的性质等知识，正确地求出正八边形的一个外角的度数是解题的关键． 36．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是　　 A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用；平行投影 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【解答】解：如图：是皮球的直径，过点作，垂足为， 由题意得：， 在△中，，， ， ， 皮球的直径是， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 37．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点到的距离为　　 A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用 【分析】先求出，再用三角函数定义，求出，即可得出答案． 【解答】解：过点作于点，如图所示： ，， ， 在中，， 点到的距离为，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 38．如图，树垂直于地面，为测树高，小明在处测得，他沿方向走了20米，到达处，测得，则计算出树的高度是 　10　米． 【考点】解直角三角形的应用 【分析】根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到米，由直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：，， ， ， （米， 又， （米， 树的高度为10米． 故答案为：10． 【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 39．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 　66　． 【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用 【分析】过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【解答】解：过点作于点，过点作于点，如图2， ，， ， 由对称性可知：， 通过闸机的物体最大宽度为； 故答案为：66． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用含30度的直角三角形的性质． 40．如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点、、处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中，，．研究表明，当手机与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点到的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，． 【考点】多边形内角与外角；解直角三角形的应用 【分析】（1）过点作于，根据题意可得：，，再根据垂直定义可得，然后利用四边形内角和定理进行计算，即可解答； （2）过点作于，过点作于，根据垂直定义可得，再根据题意可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，进而可得，最后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点作于， 由题意得：，， ， ， ， 此时的度数为； （2）过点作于，过点作于， ， 由题意得：， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 答：点到的距离约为． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，多边形的内角与外角，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题） 41．如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是　　 A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【解答】解：迎水坡的坡度， ， （米， 在△中，由勾股定理得，（米， 故选：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键． 42．小明沿着坡比为的山坡向上走了，则他升高了　　 A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为，可求得坡角，又由小明沿着坡度为的山坡向上走了，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案． 【解答】解：如图，过点作于点， 坡度：， ， ， ， ． 他升高了． 故选：． 【点评】此题考查了坡度坡角问题，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 43．如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为　　米． A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】根据正弦的定义进行解答即可． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 44．如图，一根长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点离地面的高度为时，木头的倾斜角的余弦的值为　　 A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】根据题意可以求得的长度，从而可得的值． 【解答】解：由题意可知，在△中，，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是将题目中的条件进行转化，得到所求问题需要的条件即的长． 45．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为　　 A． B． C． D． 【考点】勾股定理；解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，，设 ，则 ，由勾股定理，列方程即可求解． 【解答】解：过点作，垂足为， 根据题意得：，， 设 ，则 ， 由勾股定理， 得：， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题） 46．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且、、三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】根据题意可得：，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， 设米， 在中，， （米， 在中，，， （米， ， ， 解得， （米， 这棵树的高度约为米． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 47．如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，测得米，则树的高（单位：米）为　　 A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ，， 在中，米， （米， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 48．如图，小明用无人机测量大楼高度，无人机悬停在处时，看这栋楼底的俯角为，而后垂直上升20米到与大楼高度平齐的处，此时看这栋楼底的俯角为，则这栋楼的高度约为 　47.3　米． 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】过点作于点，由题意得，，，，米，设米，则米，米，米．在△中，，求出的值，进而可得答案． 【解答】解：过点作于点， 由题意得，，，，米． 在△中，， ． 设米，则米，米， 米． 在△中，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， （米， 这栋楼的高度约为47.3米． 故答案为：47.3． 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 49．如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走130米至坡顶处，再从处沿水平方向继续前行若干米后至点处，在点测得该建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，点、、、、在同一平面内，斜坡的坡度．根据小颖的测量数据，求建筑物的高度．（参考数据： 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题；解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】过作于，延长交于．则四边形是矩形，得，在中求出，再解直角三角形求出、的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，过作于，延长交于． 则四边形是矩形， ， 在中，米，， （米， （米， 在中，， 是等腰直角三角形， （米， 在中，，， （米， （米． 答：建筑物的高度为米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 50．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点处（点、、在同一水平线上）测得大树顶端的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点处，此时测得大树顶端的仰角为，点、、、在同一平面内． （1）填空：　30　，　　； （2）求斜坡上点到的距离； （3）求大树的高度（结果精确到0.1米．参考数据：，，，， 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题；解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】（1）由坡度可求，由平行线的性质和已知条件可求； （2）过向作垂线，利用锐角三角函数进行求解； （3）设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【解答】解：（1）如图所示，作、 故答案为：30，61； （2）在中，，， ， 答：点到的距离为3米． 故答案为：3米； （3）由图可知，四边形是矩形， 设，则， 在中，， ； 在中， ； 在中，， ， 解得， 答：大树的高度约为15.3米． 故答案为：15.3米． 【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解． 51．如图，小明在处用高1米米）的测角仪测得旗杆的顶端的仰角为，再向旗杆方向前进10米到处，又测得旗杆顶端的仰角为，请求出旗杆的高． 【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】求出，得到是等腰三角形，从而求出的长，然后在中，求出的长，然后求出 的长． 【解答】解：，， ， 米， 在中，， 即米， 米． 答：旗杆的高度是米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，会解直角三角形是解题的关键． 九．解直角三角形的应用-方向角问题（共5小题） 52．如图，小明驾车从地途经地到地，在地图上测得地在地的北偏西方向，地在地的北偏东方向，地在地的北偏东方向，地到地的距离是，那么，两地的距离约为 　5.5　．（结果保留到．参考数据： 【考点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用方向角问题 【分析】过点作于点，根据正弦的定义求出，余弦定义求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，即可求解． 【解答】解：如图，过点作于点， 由题意得：， ， 在△中，，， ， ， ， ， 在△中，， ， ， 则， ， 答：，两地的距离约为． 故答案为：5.5． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 53．如图，，，，分别是龙城公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米，千米．则的长度为　　千米． A． B． C． D． 【考点】解直角三角形的应用方向角问题；三角形内角和定理；勾股定理的应用 【分析】过点作于，先根据题意求出，，再求出（千米），（千米），接着证明△是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案． 【解答】解：过点作于， ， 由题意得，，， ，， 在△中，，千米， （千米）， （千米）， 在△中，，， △是等腰直角三角形， 千米， 千米． 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三角形内角和定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，构造直角三角形时解题的关键． 54．如图是某区域的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是　　 A． B．1 C．2 D． 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【分析】证是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由，得，求解即可． 【解答】解：由题意得：，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 解得：（海里）， 故选：． 【点评】本题考查了的解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 55．某动物园熊猫基地新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于、之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口进入园区之后可步行到达点，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点在点的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点的正东方向300米处，点在点的北偏东方向上，且米．（参考数据：，， （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 【考点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用方向角问题 【分析】（1）作于，于，推出四边形是矩形，得到，，求出（米，由锐角的正切定义求出的长，由是等腰直角三角形，得到，求出的长，即可解决问题； （2）分别求出乘坐空中缆车，观光车所用的时间，即可判断． 【解答】解：（1）作于，于， ， 四边形是矩形， ，， ， （米， ， （米， ， 是等腰直角三角形， （米， （米， （米； （2）由勾股定理得到（米， （米， 乘坐观光车的时间是（分钟），乘坐空中缆车的时间是（分钟）， 应选择乘坐观光车． 【点评】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题． 56．如图，某湖心岛上有一亭子，在亭子的正东方向上的湖边有一棵树，在这个湖心岛的湖边处测得亭子在北偏西方向上，测得树在北偏东方向上，又测得、之间的距离等于200米，求、之间的距离 （结果精确到1米）．（参考数据：，，，， 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点作的垂线交于，要先求出的值然后再求，的值，进而得出的长． 【解答】解：过点作，垂足为点， 由题意，得，，， 在中，， ， ， ， 又， ． ， ， 在中，， ， ， ， 又， ， （米， 答：、之间的距离为279米． 【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/3 20:48:34；用户：常长守；邮箱：xyqd@xyh.com；学号：22184481 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$