2024-2025学年苏科版九年级数学上册期中模拟卷

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（苏科版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：九年级第1章～第5章（苏科版）。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3．如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≥0 B. k＞0且k≠1 C. k≤0且k≠﹣1 D. k＞0 5．某商场第四季度的利润是60万元，其中10月份的利润是18万元，若月利润平均增长率为x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，将绕直角边的中点O旋转，得到，连接，若恰好经过点C，且交于点G，则的值为（ ） A. B. C. D. 7．如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥．已知AB的长为10，圆周角，则弧AB的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 2． 填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 9．方程的解是 ． 10．已知是方程式的根，则式子的值为______． 11．在中，圆心O在坐标原点上，半径为6，点P的坐标为，则点P在 （填“圆内”，“圆外”或“圆上”）． 12．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为中点，若的度数为，则的度数为____． 13．已知圆锥的侧面积为6π,侧面展开图的圆心角为60º，则该圆锥的母线长是 ． 14．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m． 15．如图，在矩形ABCD中，F是边AD上的点，经过A，B，F三点的与CD相切于点E．若，则的半径是 ． 16．如图，是一个盛有水的容器的横截面，水面的宽度为为，水的最深处到水面的距离为，则的半径为______． 17．如图，是的半径，B为上一点（不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为边作矩形，连接．若，则的长为 ． 18．如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ______________________． 三、解答题（本题共9小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）用适当的方法解方程： (1)； (2)； 20．（8分）计算： （1）； （2）． 21．（6分）某单位对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分情况如下表所示．   甲 乙 丙 专业知识 14 18 16 工作经验 17 15 15 仪表形象 12 11 14 (1)如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为，那么作为人事主管，你应该录用哪一位应聘者？为什么？ (2)在（1）的条件下，你对落聘者有何建议？ 22．（8分） 如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60m，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为30°、铁塔顶部的仰角为45°，求建筑物AB的高度和铁塔CD的高度（结果保留根号）． 23．（8分）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24．（8分）如图，二次函数的图象经过点，点，点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）点是该二次函数图象上位于第一象限内的一点． ①如图1，过点作轴的平行线交于点，求线段的最大值； ②如图2，过点作，交直线于点，若，求点的坐标； （3）点M是抛物线上的一点，且，设点M的横坐标为m，直接写出m的值． 25．（8分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． (1)设售价每盒下降x元，则每天能售出__________盒；（用含x的代数式表示） (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； (3)当月饼每盒售价为多少元时，该商场每天所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26．（10分）如图1，在矩形中，边长，其中分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为t秒． （1） ； （2）如图2，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，t为 ，此时，的值为 ； （3）如图3，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于Q，当半圆O与的边有两个交点时，直接写出t的取值范围． 27. 对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作．已知点． （1）求； （2）记函数的图象为图形G，若，直接写出k的取值范围； （3）的圆心为，半径为1．若，直接写出t的取值范围． 28．（10分）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E． 求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点． 求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（苏科版） 参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：九年级第1章～第5章（苏科版）。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般式是ax2+bx+c=0且a≠0. 【详解】解：A，方程含有两个未知数，不是一元二次方程；B，分母上有未知数，不是一元二次方程；C，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；D，经整理后得，是一元一次方程； 故选择C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义. 2．抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，令，求出y的值即可求解． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故选D． 3．如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解题关键是熟记“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”．由垂径定理可得结合圆周角定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 故选：B 4．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≥0 B. k＞0且k≠1 C. k≤0且k≠﹣1 D. k＞0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义，首先要求的二次项系数不为零,再根据已知条件,方程有两个不相等的实数根,令根的判别式大于零即可. 【详解】解:由题意得, 解得, ; 且, 即, 解得. 综上所述, 且. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式,理解掌握定义,熟练运用根的判别式是解答关键. 5．某商场第四季度的利润是60万元，其中10月份的利润是18万元，若月利润平均增长率为x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，根据“下一个月份的利润等于前一个月份的利润×”分别表示出、月份的利润，求和，根据第四季度的利润是60万元即可列出方程．正确表示出11、12月份的利润是解题关键． 【详解】解：∵10月份的利润是18万元，月利润平均增长率为x， ∴月份利润为，月份利润为， ∵第四季度的利润是60万元， ∴可列方程为， 故选：C． 6．如图，在中，，将绕直角边的中点O旋转，得到，连接，若恰好经过点C，且交于点G，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接OG，由勾股定理求出AB=5，由直角三角形的性质求出CG，CD，AD的长，由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】解：连接OG， 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴AB==5， ∵点O是AC边的中点， ∴OC=OA=OD=AC=2， ∴∠GCO=∠ODC=∠BAC，∠ADC=90°， ∴AG=CG， ∴OG⊥AC， 在Rt△ABC中，sin∠BAC=，cos∠BAC=， ∴sin∠OCG=，cos∠OCG=， 在Rt△OCG中，CG=， 在Rt△ACD中， CD=AC•cos∠OCG=，AD=AC•sin∠OCG=， ∴DG=CD-CG=-=， ∴tan∠DAG=． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 7．如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥．已知AB的长为10，圆周角，则弧AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OB，OA．根据圆周角定理求得∠AOB=60°；然后用等边三角形的性质求得⊙O的半径AO=OB=10m，从而求得弧AB的长． 【详解】解：如图，连接OB，OA． ∵圆周角， ∴， ∵， ∴△AOB是等边三角形， ∴， ∴弧AB的长为：； 故选：B 【点睛】本题主要考查了等边三角形、圆周角定理、弧长公式．解题的关键是正确的作出辅助线，求出． 8．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意连接BD可知，进而利用勾股定理得出BD和CD，最后即可得出tan∠ACB的值． 【详解】解：如图，连接BD， 根据图象可知， 则有， 所以． 故选：D． 【点睛】本题考查网格与勾股定理以及锐角三角函数的定义，注意掌握在直角三角形中，一锐角的正切等于它的对边与邻边的比值． 第Ⅱ卷 3． 填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 9．方程的解是 ． 【答案】x=±4 【分析】先左右两边同除以2，然后再用直接开平方解方程即可． 【详解】解： x=±4 故答案为x=±4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握运用直接开平方法解一元二次方程是解答本题的关键． 10．已知是方程式的根，则式子的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程即可得到的形式，再整体代入，即可求解． 【详解】解：是方程的根， ， ． 故答案：． 【点睛】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 11．在中，圆心O在坐标原点上，半径为6，点P的坐标为，则点P在 （填“圆内”，“圆外”或“圆上”）． 【答案】圆内 【分析】先根据两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系． 【详解】解：∵点P的坐标为（4，3）， ∴OP==5， ∵半径为6， 而6＞5， ∴点P在⊙O内． 故答案为：圆内． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r． 12．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为中点，若的度数为，则的度数为____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题主要考查了等弧所对圆周角相等，掌握相关概念是解题的关键． 由的度数为，得到，由邻补角的性质求出，由圆心角、弧、弦的关系得到． 【详解】解：的度数为， ∴， ， 中点， ． 故答案为：． 13．已知圆锥的侧面积为6π,侧面展开图的圆心角为60º，则该圆锥的母线长是 ． 【答案】6 【分析】根据扇形的面积计算公式:，把相应数值代入即可． 【详解】解：设母线长为r，圆锥的侧面展开后是扇形，侧面积=6π， ∴r=6cm， 故答案是6cm． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了扇形的面积公式求解，解题的关键是牢记圆锥的有关公式，难度不大． 14．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m． 【答案】40 【解析】 【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系： ，， 设外侧抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， ， 在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度的长）为． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键． 15．如图，在矩形ABCD中，F是边AD上的点，经过A，B，F三点的与CD相切于点E．若，则的半径是 ． 【答案】 【分析】连接、、，根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设与交于点， 连接、、， 则，， 与相切于点， ， ， ， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是切线的性质、勾股定理的应用、矩形的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径． 16．如图，是一个盛有水的容器的横截面，水面的宽度为为，水的最深处到水面的距离为，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于点，交于点，则，设的半径为，则，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 详解】解：如图，过点作于点，交于点，则，， ∵水的最深处到水面的距离为， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 17．如图，是的半径，B为上一点（不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为边作矩形，连接．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质、圆的基本概念等知识．根据题意利用矩形的性质得出是解此题的关键． 如图，连接．由矩形的性质得到，勾股定理得到，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 18．如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ______________________． 【答案】6或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．根据勾股定理得到，①当时，②当时，③当时，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：， 是的直径， ， ， ①当时， ， ②当时， ③当时， ， 综上所述，若为等腰三角形，线段的长度为6或或， 故答案为：6或或． 三、解答题（本题共9小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）用适当的方法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键： （1）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴； （2）解： 或， ∴． 20．（8分）计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． （1）将各特殊角的三角函数值代入，再进行乘法及加减混合运算即可得出答案； （2）将各特殊角的三角函数值代入，再算乘方和乘法，最后算加减即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21．（6分）某单位对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分情况如下表所示．   甲 乙 丙 专业知识 14 18 16 工作经验 17 15 15 仪表形象 12 11 14 (1)如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为，那么作为人事主管，你应该录用哪一位应聘者？为什么？ (2)在（1）的条件下，你对落聘者有何建议？ 【答案】(1)应录用乙，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了加权平均数的求法和对图表数据的分析能力． （1）运用加权平均数的计算公式即可求解； （2）根据表格信息作决策即可． 【详解】（1）解：甲得分：； 乙得分：； 丙得分：． ∴应录用乙． （2）解：建议例如：对甲而言，应加强专业知识的学习，同时要注意自己的仪表形象，对丙而言，三方面都要努力，重点在专业知识和工作经验． 22．（8分） 如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60m，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为30°、铁塔顶部的仰角为45°，求建筑物AB的高度和铁塔CD的高度（结果保留根号）． 【答案】建筑物AB的高度为m，铁塔CD的高度为m． 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出AB的长；过点A作于点E．即可知四边形ABDE为矩形，由矩形的性质和可判定为等腰直角三角形，即可求出答案． 【详解】根据题意可知BD=60m，，． 设m，则m， ∵， ∴， 解得：， ∴m． 如图，过点A作于点E． 由作图可知四边形ABDE为矩形， ∴，m，AE=BD=60m． ∴为等腰直角三角形， ∴CE=AE =60m， ∴CD=CE+DE =m． 故建筑物AB的高度为m和铁塔CD的高度为m． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定．正确作出辅助线是解题关键． 23．（8分）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的边的长为或时，能围成一个面积为的羊圈 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设羊圈的边的长为，则边的长为，根据面积公式列出方程即可． （2）根据题意，得，整理成一般方程，利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：设羊圈的边的长为，则边的长为，根据题意，得， 化简，得， 解得，， 当时，， 当时，． 答：当羊圈的边的长为或时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 化简，得， ， ∴该方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，因式分解方法解方程，转化思想，熟练掌握解方程，根的判别式是解题的关键． 24．（8分）如图，二次函数的图象经过点，点，点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）点是该二次函数图象上位于第一象限内的一点． ①如图1，过点作轴的平行线交于点，求线段的最大值； ②如图2，过点作，交直线于点，若，求点的坐标； （3）点M是抛物线上的一点，且，设点M的横坐标为m，直接写出m的值． 【答案】（1） （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）把，点，点，代入二次函数中，可得三元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①设点横坐标为，则，，，根据二次函数的最值即可求解； ②过点，分别作轴的平行线与直线交于点，，可证，由，可得，设点的横坐标为，则，，得，即可得到，解方程即可得出答案； （3）过作交于，过作轴于，由可证明，得到，联立得抛物线与交点为和点M，即可得到． 【小问1详解】 解：把，点，点，代入二次函数中， 得， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设点的横坐标为，则， ①∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴，， ∴， 由于， ∴当时，有最大值，最大值为； ②如图，过点作轴的平行线与直线交于点，过点作轴的平行线与直线交于点， ∴， ， ∵， ， ， ∴， ， ∵直线的解析式为， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 故为或； 【小问3详解】 解：过作交于，过作轴于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∵抛物线与交点为和点M，点M的横坐标为m， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的特征及二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的最值，相似三角形的应用，全等三角形的判定与性质，根据函数图象上坐标点的特征得出的代数表达式是解决本题的关键． 25．（8分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． (1)设售价每盒下降x元，则每天能售出__________盒；（用含x的代数式表示） (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； (3)当月饼每盒售价为多少元时，该商场每天所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)170元或174元； (3)每盒售价为172时，该商场每天所获得的利润最大，最大利润为2560元． 【分析】（1）根据每盒月饼降价2元，商场每天就可以多售出5盒．列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降x元，则每天能售出盒，单件利润为元，列出方程，再解方程即可． （3）设售价每盒下降x元，利润为y元，根据“总利润等于每件利润乘以销售量”列出y与x的函数关系式，再根据二次函数的顶点坐标求最大值即可； 本题考查了列代数式、一元二次方程的应用以及二次函数的应用．理解题意、正确列出代数式、一元二次方程和函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设售价每盒下降x元，则每天能售出盒，即盒， 故答案为：； （2）解：设月饼每盒售价下降x元，则每天能售出盒，即盒， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，， 答：当月饼每盒售价为170元或174元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； （3）解：设售价每盒下降x元，利润为y元 由题意得：， 整理得：， ∴当时，该商场每天所获得的利润最大，最大利润为2560元， 此时售价为元． ∴当每盒售价为172时，该商场每天所获得的利润最大，最大利润为2560元． 26．（10分）如图1，在矩形中，边长，其中分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为t秒． （1） ； （2）如图2，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，t为 ，此时，的值为 ； （3）如图3，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于Q，当半圆O与的边有两个交点时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）5 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程，得到根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）由折叠的性质得到，即，，当点O在运动过程中，的长度和的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，再根据正弦的定义即可求解，此时，过点P作垂足为点，证明，利用相似三角形的性质求出，再利用勾股定理即可求的值； （3）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到t的取值范围． 【小问1详解】 解：，即， 解得：， 边长，其中分别是方程的两个根， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：由折叠的性质得：， ，， 点O在运动过程中， 的长度和的长度是固定不变的，如图， ， 当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为， 如图，过点P作垂足为点， 此时，， 由（1）知， ， ，， ， 此时， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：如图1，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接， ，， ， ， 此时，， 如图2，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ， ， 当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图3，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图4，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O相切点为M，连接， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图5，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点；连接， 则：， ∴， ， ， ， ； 如图6，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论． 27. 对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作．已知点． （1）求； （2）记函数的图象为图形G，若，直接写出k的取值范围； （3）的圆心为，半径为1．若，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）2 （2）且； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据定义解答即可； （2）画出图形，根据自变量x的取值范围和“闭距离”为1确定k的取值范围即可； （3）分在的左侧、在的内部和在的右侧三种情况，分别画出图形，结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点O到的距离的最小值为2， ∴； 【小问2详解】 解：经过原点，在范围内，函数图象为线段，如图， 当经过时，，此时； 当经过时，，此时． ∴． ∵， ∴且； 【小问3详解】 解：与的位置关系分三种情况：①当在的左侧时，如图， 由，得出； ②当在内部时， 当点T与原点重合时，如图， 由，得出； 当点T位于位置时，如图， 由，得出， ∵， ∴． 则， ∴，故此时； ③当在右边时，如图， 由，得出， ∵， ∴． ∴． 综上可知，或或． 【点睛】本题考查新定义，点到直线的距离，一次函数的实际应用，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．理解“闭距离”的定义，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 28．（10分）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E． 求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点． 求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据，，，得证四边形是矩形，结合，根据垂径定理，得证明四边形是正方形． （2）连接，根据定义，利用圆周角定理证明． （3）分P等垂点在圆内和圆外两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，得，，， ∴四边形是矩形， ∵， 根据垂径定理，得 ∴四边形是正方形． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接，设，交点为G， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，是的等垂弦． （3）解：当等垂点P位于圆内，如答图所示， 过点O作，垂足分别为E，F， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴； 当等垂点P位于圆外时，如答图所示， 过点O作，垂足分别为H，G， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，分类思想，正方形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$