精品解析：上海市南模中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市南模中学2024-2025学年高一上学期数学期中考试试卷 （考试时间120分钟，满分150分，命题人：金振华，审题人：徐雯瑢） 一、填空题 1. “且”是“”的______条件，（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 2. 已知集合，，则______. 3. 已知，且，则的值为______． 4. 如果幂函数的图像，当时在直线的上方，则a的取值范围是________． 5. 不等式 的解集为___________ 6. 若，则的取值范围为______. 7. 已知集合，若，则实数的取值范围为______. 8. 已知幂函数的图象经过点，则__________. 9. 不等式的解集是_____________． 10. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 11. 已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有___________个. 12. 已知满足：①；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的的个数为__________. 二、单选题 13. 满足的集合的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 14. 幂函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 15. “且”是“”（x、y、a、，且）的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件． 16. 已知， ①若，则的最小值为 ②若，则的最小值为 ③若，则的最小值为 ④的最大值为 上述列命题中，正确的命题是（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 三、解答题 17. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知. （1）若方程有两个实数根，，且，求实数的值； （2）若集合，，若，求的取值范围. 19. 现要在阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m）为x. （1）已知阁楼屋顶为高2m，底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （2）一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 20. 设，，已知集合，集合. （1）若，求的取值范围； （2）若时，，求的取值范围； （3）设集合，若中元素个数恰为3个，求的取值范围. 21. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市南模中学2024-2025学年高一上学期数学期中考试试卷 （考试时间120分钟，满分150分，命题人：金振华，审题人：徐雯瑢） 一、填空题 1. “且”是“”的______条件，（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据题意分析即可证明充分性成立，举出反例证明必要性不成立. 【详解】先证充分性：若，则有，若，则， 此时必有，所以充分性成立； 再证必要性：令，，则，，此时， 但有且，所以没有必要性. 故答案为：充分不必要 2. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得二元一次方程组求解计算即可求得所求的点集. 【详解】由题意得：，解得：， ∴ 故答案为： 3. 已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的定义求出，，代入，利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则，， 则， 因此可得， 故答案为：. 4. 如果幂函数的图像，当时在直线的上方，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由简单幂函数的图象与性质可直接得到答案. 【详解】如图： 结合幂函数在第一象限的图象特征可知：幂函数图象恒过， 若，则时满足条件； 若，则满足条件． 综上，． 故答案为：． 5. 不等式 的解集为___________ 【答案】 【解析】 【分析】通过移项通分，把分式不等式转化为整式不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】由可得，即，即， 解得或. 所以不等式 的解集为. 故答案为：. 6. 若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求解即得. 【详解】由，得，则，而，则， 因此，所以的取值范围为. 故答案为： 7. 已知集合，若，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式求出，分类讨论确定集合，结合，列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】解，即，即， 所以，得，即； 即， 则， 当，即时，， 由，得，解得， 当，即时，， 由，得，解得， 当，即时，，满足，符合题意， 综合可得实数的取值范围为， 故答案为： 8. 已知幂函数的图象经过点，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据幂函数定义可得，代入点，即可得，即可得结果. 【详解】因为为幂函数， 则，可得，即， 又因为的图象经过点，则，可得， 所以. 故答案为：6. 9. 不等式的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数定义域解不等式即可得，对在不同区间内的取值进行分类讨论即可求得不等式的解集. 【详解】根据题意可知，解得； 当时，易知，满足题意； 当时，，所以，符合题意； 当时，当时，，原不等式成立； 当时，，若要满足题意只需，解得，所以可得； 综上可知，原不等式的解集为. 故答案为： 10. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得值. 【详解】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 11. 已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有___________个. 【答案】1008 【解析】 【分析】根据题中条件先用表示出，得到，再由，求出范围，即可得出结果. 【详解】因为，且，所以， 即，整理得，所以， 故或（舍去），则，， 令，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1008. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据和，用表示出，再由集合满足的条件，求解即可. 12. 已知满足：①；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的的个数为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】先根据条件列出的所有情况，根据题意分析求解即可. 【详解】，由条件①②知，中元素各不相等且， 所以有以下种情况： ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，, 因为集合有7个真子集，所以集合有三个元素， 即有三种情况. 又，则满足题意的集合有： ，，，，，，共种情况. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 二、单选题 13. 满足的集合的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，写出符合题意的集合即可. 【详解】根据题意，是集合的子集， 集合是的子集， 符合题意的集合为： ，，，， ，，，，共8个. 故选：A 14. 幂函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域及奇偶性判断图象即可. 【详解】幂函数的定义域为，故D选项错误； 因为,所以为偶函数，故A,C选项错误； 故选：B. 15. “且”是“”（x、y、a、，且）的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件． 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合绝对值三角不等式分析判断即可. 【详解】因为，，所以， 因为， 当且仅当时取等号， 所以， 若，则， 若取，，则满足上式， 而且不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 16. 已知， ①若，则的最小值为 ②若，则的最小值为 ③若，则的最小值为 ④的最大值为 上述列命题中，正确的命题是（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件等式、“1”的代换及基本不等式求各项的最值，即可判断. 【详解】①由题设，当且仅当时取等号，错； ②由题意，则， 当且仅当时等号成立，对； ③由题意，故， 则（舍）或，当且仅当时取等号，对； ④由 ，当且仅当时等号成立，错. 综上，正确的有②③ 故选：D 三、解答题 17. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）由得，再由集合的包含关系求解，注意分类讨论． 【小问1详解】 时，， 又， 所以，； 【小问2详解】 或， 因为，所以， ①，即时，满足题意， ②时，，则或，解得， 综上，的取值范围是． 18. 已知. （1）若方程有两个实数根，，且，求实数的值； （2）若集合，，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由韦达定理得到，根据题意，转化为，代入得到，求得的值，结合，即可得到答案. （2）求得，，由，可得，分，，和，四种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，令，即， 因为方程有两个实数根，可得， 又因为，可得， 即，即， 将代入，可得，解得或， 又由，即，解得或， 所以，即实数的值为. 【小问2详解】 解：由集合， 集合 因为，可得， 若时，即方程无实数根， 则满足，解得； 若时，把代入方程，解得， 当时，方程，解得或，此时，舍去； 当时，方程，解得，此时，符合题意； 若时，把代入方程，解得或， 当时，方程，解得或，此时，舍去； 当时，方程，解得或，此时，舍去； 若时，可得，解得，符合题意， 综上可得，实数满足或，即实数的取值范围为. 19. 现要在阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m）为x. （1）已知阁楼屋顶为高2m，底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （2）一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 【答案】（1）（i）；（ii）当为米或米时，窗户面积最小，为平方米； （2）变好，理由：设分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，则. 因为，所以，即， 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 【解析】 【分析】（1）（i）应用表示出窗户面积，求解一元二次不等式即可；（ii）设地板面积为，则有，解不等式求窗户面积最小值并确定对应值即可； （2）设分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【小问1详解】 （i）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且， 所以，又矩形窗户面积，解得， 故的取值范围为. （ii）设地板面积为，解不等式组， 所以，即，解得，故窗户面积最小为， 令，可得，解得或. 故当为米或米时，窗户面积最小，为平方米. 【小问2详解】 略 20. 设，，已知集合，集合. （1）若，求的取值范围； （2）若时，，求的取值范围； （3）设集合，若中元素个数恰为3个，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可得，求解集合中不等式可得，由，列出不等式组即得解； （2）由题意，集合B中一元二次不等式可因式分解为，分，，三种情况讨论，即得解； （3）由题意，的区间长度应在内，分，两种情况分析，即得解 【详解】（1）若，与矛盾，故 由，得， 解得，因为， 所以，解得. （2）， ， 因为，所以， ①当时，∴，，此时，成立； ②当时，，若，则需满足 或，解得或； ③当时，，此时，成立. 综上. （3）依题意：，集合，且中元素个数恰为3个， 所以，即. ①当时， ，， 中元素个数恰为个，符合题意. ②当时，，， 中元素个数恰为个，不符合题意. ③当时，， 要使中元素个数恰为3个，则需，即. ④当时，， 要使中元素个数恰为3个，则需，即. 综上所述，的取值范围是. 21. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 【答案】（1）不是，理由如下： 因为，所以不是“一集合”． （2）； （3），其中. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可； （2）设，进而研究或是否存在正整数解即可； （3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解. 【小问1详解】 不是“一集合”，理由略； 【小问2详解】 设． 若，则或． 由，解得（舍去），此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 若，则或， 由，解得，此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 综上，所有满足条件的集合为． 【小问3详解】 若“集合”为双元素集， 不妨设，则或， 由，则，而，故，此时； 由，则，而，显然不存在正整数解； 所以，“集合”为，其中． 若“集合”含有两个以上的元素， 设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为， 则是“集合”中的元素， 若，解得， 若，则，矛盾， 若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解． 故所有满足条件的“集合”为，其中． 【点睛】关键点点睛：对于第二、三问，根据集合新定义给定公式，将问题化为研究相关方程是否存在正整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $