2025年中考数学二轮复习专题：几何图形中的中点问题训练

2025年中考数学二轮复习专题：几何图形中的中点问题训练 一、三角形的中位线 例1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D． （1）求证：CE＝DE； （2）若点F为BC的中点，求EF的长． 变式1.如图已知，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB＝10，BC＝15，MN＝3，求△ABC的周长． 变式2.如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF． （1）说明：AC＝AG； （2）求线段EF的长． 例2.如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝8，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 变式：如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是（　　） A．15 B．9 C．6 D．3 例3.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 例4.四边形ABCD中，AB＝a，CD＝b（a＞b），M、N分别是AD、BC的中点，求MN的取值范围． 变式1.如图所示．D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP＝AQ． 变式2.如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？ 例5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AD＝3，E是AB上的一点，F是AD上的一点，连接EO和FO． （1）当点E为AB中点时，求EO的长度； （2）求线段AO的取值范围； （3）当EO⊥FO时，连接EF．求证：BE+DF＞EF． 变式1.在三角形△ABC中，D是BC边的中点，AD＝BC． （1）△ABC的形状为　 　． （2）如图，BM＝3，BC＝12，∠B＝45°，∠MAN＝45°，求CN； （3）在（2）的条件下，AN＝　 ． 变式2.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3． （1）求CE的长； （2）求证：△ABC为等腰三角形． 二、矩形的性质 例1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝　 　． 例2.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG； （2）若AB＝10，DG＝3，求CE的长． 例3.如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE．（括号中需写本学期新学理由） 变式1.如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点． （1）求证：DE⊥MN； （2）若BC＝10，MN＝6，求DE． 变式2.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A．2.5 B． C． D．2 例4.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　） A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5 变式1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（　　） A．一直增大B．一直减小 C．先减小后增大D．先增大后减少 例5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为　 　． 例6.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　 　． 三、矩形的判定 例1.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　） A． AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC 变式1.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，联结DE、EG、GF、FD． （1）求证：FG∥DE； （2）若AC＝BC，求证：四边形EDFG是矩形． 例2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）求点A到线段BD的距离． 例3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝1，求△OEC的面积． 例4.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC． ①求证：CD＝AN； ②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形． 例5.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$