精品解析：山西省大同市第一中学校2024-2025学年高一上学期第一次学情监测（10月月考）数学试卷

2024-2025学年山西省大同一中高一（上）第一次月考 数学试卷（10月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，，所以，又， 所以. 故选：B 2. 一元二次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可． 【详解】不等式即可化为， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 3. 已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（ ） A. M>N B. M＝N C. M<N D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以 ，当且仅当取等号， 而， 故选：A． 4. 已知命题，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到. 【详解】因为，所以， 故选：C. 5. 命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 因为方程最高项系数含参，所以需分类讨论，结合命题的真假，即可求出答案. 【详解】是假命题，则p是真命题， 有实数根， 当a=0时，方程为，解得，有根，符合题意； 当a≠0时，方程有根，等价， 且， 综上所述，a的可能取值为a≤1 . 故选：B 【点睛】本题主要考查了命题的真假，考查了一元二次方程根的存在问题，考查分类讨论，属于中档题. 6. 已知集合，，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，结合得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 又，，且， 所以，解得. 故选：D 7. 如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断. 【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出， ，即， 但是推不出，推不出，则推不出， 是的必要不充分条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题. 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立. 【详解】因为， 所以由题意 ， 因为，所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立， 综上所述，的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否. 二、多选题：本题共4小题，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 对于与的大小关系，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用作差法逐项判断后可得正确的选项. 【详解】， 对于A，当时，，， 则，解得，故A正确； 对于B，当时，，， 则，故B错误； 对于C，， ， 故，故C错误； 对于D，， 则，， 则，故D正确． 故选：AD 10. “不等式在上恒成立”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先求出不等式恒成立的充要条件时m的范围，可得它的真子集即为充分不必要条件，选出结果． 【详解】“不等式在上恒成立”的充要条件即方程至多一个实数根， 所以，解得， 所以不等式恒成立的充分不必要条件是的真子集． 故选：CD. 11. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式分析判断AD；举例说明判断BC. 【详解】对于A，，不等式成立，A正确； 对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误； 对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误； 对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 12. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合根与系数关系，逐一判断即可. 【详解】根据题意不等式的解集为,可得， 由得，， 即，，,,,． 故选： 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 用列举法表示集合______. 【答案】 【解析】 【分析】利用题目条件，依次代入，使，从而确定的值，即可解决． 【详解】由题意知，且， 所以m的可能取值为0，1，4，9， 故答案为： 14. 已知，且满足，则的最大值为____________________. 【答案】3 【解析】 【详解】本题考查了基本不等式求最值，考查了同学们的转化能力．因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为3． 15. 不等式的解集是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式，进而利用不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式，可得或. 不等式组，解得，即； 不等式组，解得，即. 综上可知，不等式的解集为. 故答案为：. 16. 含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为______. 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意可写出集合M的非空子集，再利用交替和定义可解． 【详解】根据题意，集合的所有非空子集为，，，，，， ，，，，，，，，， 则所有非空子集的交替和的总和为： . 故答案为：32. 四、解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 设全集U=，A=,B=, C=, 求：（1） （2） 【答案】(1) =｛4,5｝ ， =｛1,2,3,4,5,6,7,8｝;(2) =｛1,2,3｝，=｛1,2,3,4,5,7｝. 【解析】 【详解】试题分析:(1)由集合交集的概念得到=｛4,5｝;(2)由交集的概念和并集概念易得=｛1,2,3,4,5,7｝. (1)=｛4,5｝ ， =｛1,2,3,4,5,6,7,8｝ (2)=｛1,2,3｝，=｛1,2,3,4,5,7｝. 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先对不等式移项并因式分解得，再根据不等号方向得不等式解集，（2）先化简不等式，并分离，转化为求对应函数最值：，其中，再根据基本不等式求最值，即得的取值范围. 试题解析：（1）若 即 所以原不等式的解集为或 （2）即在时恒成立， 令，等价于在时恒成立， 又，当且仅当即等号成立，所以. 故所求的取值范围是. 19. 已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅. (1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求a的取值范围． 【答案】（1）≤a≤2.（2）0＜a≤或a≥4. 【解析】 【分析】（1）根据条件可知，，列不等式求参数的取值范围；（2）根据，且，可知或，求的取值范围. 【详解】解:(1)∵x∈A是x∈B的充分条件， ∴A⊆B., 解得a的取值范围为≤a≤2. (2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅， ∴a＞0. 若A∩B＝∅，∴a≥4或，所以a的取值范围为0＜a≤或a≥4. 【点睛】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题，属于简单题型，一般涉及子集问题时，需考虑集合是空集或非空集两种情况，分析问题时还需借助数轴分析问题. 20. 已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，若的最大值大于，求的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】 先由已知得到，接着整理得，再根据的最大值大于建立不等式，最后求实数的取值范围. 【详解】解：因为不等式的解集为， 所以，整理得， 因为， 所以的最大值为：， 因为的最大值大于， 所以，则， 因为，所以，解得或 所以实数的取值范围：. 【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集确定参数范围、根据二次函数的最值求参数范围，是基础题. 21. 已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求： （1）xy的最小值； （2）x+y的最小值.. 【答案】（1）64 （2）18 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果； （2）将变形为分式型，利用“1”的代换和基本不等式可得结果. 【小问1详解】 ∵， ， ， ∴ ，当且仅当时取等号， ∴ ∴，当且仅当时取等号， 故的最小值为64. 【小问2详解】 ∵，则 ， 又∵， ， ∴， 当且仅当时取等号， 故的最小值为18. 22. 港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油. （1）若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）； （2）分别用m，n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明. 【答案】（1）方案一元升；方案二元升 （2）方案二比较经济划算，证明如下： 由题意可得，第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升； 第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升； 且，所以选择第二种加油方案比较经济划算. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，然后作差，即可得到结果. 【小问1详解】 第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油， 所以平均价格为元升； 第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山西省大同一中高一（上）第一次月考 数学试卷（10月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（ ） A. M>N B. M＝N C. M<N D. 不确定 4. 已知命题，则（ ） A. B. C. D. 5. 命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，且，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 对于与的大小关系，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. “不等式在上恒成立”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 用列举法表示集合______. 14. 已知，且满足，则的最大值为____________________. 15. 不等式的解集是_____. 16. 含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为______. 四、解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 设全集U=，A=,B=, C=, 求：（1） （2） 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若时，恒成立，求的取值范围. 19. 已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅. (1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求a的取值范围． 20. 已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，若的最大值大于，求的取值范围. 21. 已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求： （1）xy的最小值； （2）x+y的最小值.. 22. 港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油. （1）若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）； （2）分别用m，n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $