2024-2025学年苏科版九年级上册数学期中练习

苏科版2024-2025学年九年级（上）数学期中练习 时间∶120分钟 分值∶150分 一．选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分) 1. 将一元二次方程化成一般形式后，则一次项的系数是（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ） A. 2 B. 0.5 C. D. 4. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，点C、D在上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 若圆的半径是5，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与圆O的位置关系是（　　） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 7. 如图是15名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这15名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 8. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（　　） A. B. C. D. 二．填空题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分) 9. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，请问落在该游戏板上的第一滴雨点正好打中阴影部分的概率是______． 10. 设，是方程的两个根，则______． 11. 如图， 在矩形中，若，，则的长为_____． 12. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则 _________．（结果保留根号） 13. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________ 14. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 15. 定义：若点A在某一个函数图象上，且点A的横纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”．若关于x的二次函数，当时有两个“美丽点”，则t的取值范围为_____． 16. 已知，均是边长为4的等边三角形，点D是边的中点． （Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为________； （Ⅱ）如图②，直线相交于点M，当绕点D旋转时，线段长的最小值是________． 三．解答题(本大题共有11小题，共102分) 17. 计算 （1）； （2）解方程：． 18. 已知一元二次方程． （1）当其中一个根为时，求另一个根． （2）证明不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 19. 某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如图的统计图． (说明∶A级：90分分；B级：75分分；C级：60分分；D级：60分以下：A级成绩为优秀，B级成绩为良好，C级成绩为合格，D级成绩为不合格) 其中B级成绩（单位：分）为：89，88，87，87，86，84，83，83，82，82，81，81，80，80，79，79，79，78，78，77，76，75，75． 请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是_____； （3）九年级（1）班学生的体育测试成绩的中位数是_____； （4）若该校九年级有500名学生，请用此样本估计体育测试中达到良好及良好以上学生人数约为多少人？ 20. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度米，拱高米，其中C为的中点，D为弧的中点．（参考数据：，结果保留） （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）求弧的长． 22. 我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 23.如图，是的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，连接，交于点，点在上，． （1）试判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，求的半径． 24. 如图，正方形的边长为，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从D开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、D同时出发，当其中一点到达C时，另一点也随之停止运动．设运动时间为． （1）t为何值时，为直角三角形； （2）①设面积为S，写出S与t的函数关系式； ②t为何值时，面积为正方形面积的？ 25. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，现在他采取提高售价，减少销售量的办法增加利润，已知这种商品每件售价提高1元，其销售量就要减少10件 （1）如果他想每天所赚利润为320元，且让顾客得到实惠，则商品的售价应定为多少元？ （2）如果物价部门规定这种商品每件涨价不超过3元，若他想每天获得最大利润，则商品的售价应定为多少元？此时这种商品的最大利润为多少元？ 26. 我们学习了二次函数后，掌握了二次函数的图象和性质，为了方便进一步研究，我们定义：二次函数的增减性和对称性合起来叫增对性，利用增对性可以解决很多二次函数问题，请利用增对性研究有关二次函数的一些问题． 【特例探究】 （1）若点，是该二次函数图象上两点，则该二次函数的对称轴为_____． （2）当，时， 若，则x的取值范围为_____． 【拓展探究】 （3）①若当时，，则该二次函数的开口向_____（填“上或下”），对称轴为____． ②在①的条件下，点，为二次函数图象上的两点，设，当时均满足，则t的取值范围_____． ③在①的条件下，已知，，该二次函数的图像与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 27.对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作．已知点． （1）求； （2）记函数的图象为图形G，若，直接写出k的取值范围； （3）的圆心为，半径为1．若，直接写出t的取值范围． 苏科版2024-2025学年九年级（上）数学期中练习 参考答案 时间∶120分钟 分值∶150分 一．选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分) 1. 将一元二次方程化成一般形式后，则一次项的系数是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：把化为一般式为， ∴一次项系数为， 故选：C． 2. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义； 分别求出一元二次方程根的判别式的值，再根据判别式的意义得出答案． 【详解】解：A.∵， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B.∵， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C.∵， ∴该一元二次方程无实数根，符合题意； D.∵， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ） A. 2 B. 0.5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．根据三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：如图， ． 故选B． 4. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】比例的性质，，则，由此性质对比例式变形即可． 【详解】解： 、由， 可得，故本选项正确，不符合题意； 、，可得，故本选项错误，符合题意； 、由， 可得，故本选项正确，不符合题意； 、由， 可得，故本选项正确，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查比例性质，熟练掌握比例的性质:内项积等于外项积，利用性质对比例式进行变形是解题的关键． 5. 如图，为的直径，点C、D在上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据为的直径，可得，从而得到，再根据圆内接四边形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的圆内接四边形， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质是解题的关键． 6. 若圆的半径是5，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与圆O的位置关系是（　　） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，先根据勾股定理求出的长，再与的半径为5相比较即可． 【详解】解：∵P的坐标为， ∴． ∵的半径为5， ∴点P在上． 故选：B． 7. 如图是15名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这15名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大， 由图可知，课程成绩的波动大，课程成绩的波动小， ； 故选：A 8. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理解决问题即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 二．填空题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分) 9. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，请问落在该游戏板上的第一滴雨点正好打中阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为9−2××2×2−2××1×1＝4， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 10. 设，是方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系，若一元二次方程有两个实数根，，则，．熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 11. 如图， 在矩形中，若，，则的长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，进而证明，根据相似三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 12. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则 _________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， 故答案为：． 13. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示， 设小路宽为x米， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键． 14. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 【答案】5.5 【解析】 【详解】在△DEF和△DBC中，， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 40cm=0.4m，20cm=0.2m， 即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m 【点睛】考点：相似三角形 15. 定义：若点A在某一个函数图象上，且点A的横纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”．若关于x的二次函数，当时有两个“美丽点”，则t的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是根的判别式的灵活运用． 根据点A的横、纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”，得，然后根据判别式判断和根据区间列出不等式求解即可． 【详解】∵点A的横、纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”， ∴点A在直线上， ∵关于x的二次函数当时有两个“美丽点”， ∴与有两个根， 即， 整理，得：， ∴， ∴， 令二次函数， ∵当时，当时有两个“美丽点”， 在这个区间内函数z与x轴有两个交点，函数z开口向上，对称轴为直线， 当时，代入方程得：， 解得：， 当时，代入得：， ． 综合以上所有条件， t 的取值范围为． 16. 已知，均是边长为4的等边三角形，点D是边的中点． （Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为________； （Ⅱ）如图②，直线相交于点M，当绕点D旋转时，线段长的最小值是________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理，圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，得到点M的运动路线是解答的关键． （Ⅰ）可根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可；（Ⅱ）如图①中，连接、、，根据题意可得，，，分别证明和，利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定与性质推导出，则点M在以为直径的圆上运动，进而得到当点M运动到时，最短，利用圆的基本知识求解即可． 【详解】解：（Ⅰ）如图①中，连接， ∵是边长为4的等边三角形，点D是边的中点， ∴，，， 在中， ∴ 故答案为：； （Ⅱ）如图①中，连接、、， 由题意，，，， ∴，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M在以为直径的圆上运动， 如图②中，当点M运动到时，最短， ∵，， ∴的最小值为， 故答案为：． 三．解答题(本大题共有11小题，共102分) 17. 计算 （1）； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，求特殊角三角函数值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂等等，熟知相关计算法则是解题的关键． 18. 已知一元二次方程． （1）当其中一个根为时，求另一个根． （2）证明不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式与根的关系：对于一元二次方程，时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根． （1）将代入方程，求出a的值，再用因式分解法解一元二次方程即可； （2）证明根的判别式即可． 【小问1详解】 解：是方程的根， ，得； ， 方程为，即， ， 解得，， 另一个根为． 【小问2详解】 证明：， ， 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 19. 某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如图的统计图． (说明∶A级：90分分；B级：75分分；C级：60分分；D级：60分以下：A级成绩为优秀，B级成绩为良好，C级成绩为合格，D级成绩为不合格) 其中B级成绩（单位：分）为：89，88，87，87，86，84，83，83，82，82，81，81，80，80，79，79，79，78，78，77，76，75，75． 请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是_____； （3）九年级（1）班学生的体育测试成绩的中位数是_____； （4）若该校九年级有500名学生，请用此样本估计体育测试中达到良好及良好以上学生人数约为多少人？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）79 （4）330人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识，解答本题的关键是注重数形结合思想，并联合条形统计图和扇形统计图得出有用信息． （1）B级的人数除以其所占比例求出总样本数，进而求出D级的人数，据此补全图形即可； （2）用乘以A级所占比例，即可求解； （3）先判断出中位数落在B级的范围内，再在B级中找到第25、26个数，进而即可求出中位数； （4）用九年级总人数乘以样本中良好及良好以上人数所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， D级的人数为：（人）， 补全条形图，如下： 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：C级和D级的人数为：（人）， B级有23人， 则可知50名学生的成绩的中位数为从小到大排列的第25、26个数的平均值为所求的中位数， 即：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）， 答：九年级全体育测试中达到良好及良好以上的学生人数约为人． 20. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 21. 如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度米，拱高米，其中C为的中点，D为弧的中点．（参考数据：，结果保留） （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）求弧的长． 【答案】（1）20米 （2）米 【解析】 【分析】（1）设该圆弧的圆心为O，连接，根据垂径定理得到，则三点共线，设该圆弧所在圆的半径为r米，则米，米，米，据此在中利用勾股定理求解即可； （2）解得到，则，进而得到，则，据此利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：设该圆弧的圆心为O，连接， ∵C为的中点，D为弧的中点， ∴， ∴三点共线， 设该圆弧所在圆的半径为r米，则米， ∵跨度米，拱高米， ∴米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴该圆弧所在圆的半径为20米； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为米． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求弧长，三角形内角和定理，熟知垂径定理是解题的关键． 22. 我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】（1）通道的宽是2米 （2）每个车位的月租金应上涨40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系，正确列出方程． （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的矩形，再根据喷漆面积列出方程求解即可； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位，再根据月租金列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米． 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 23. 如图，是的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，连接，交于点，点在上，． （1）试判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，根据等边对等角，结合等角的余角相等，得到，即可得出结果； （2）连接，先证明，得到，根据，设，勾股定理得到，进而得到，在，利用勾股定理求出的值，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：直线与相切， 证明：如图3，连接． ∵是的直径， ∴， ∵点是延长线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． 小问2详解】 如图4，连接， ∵， ． ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴在中，，即， 解得：， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 24. 如图，正方形的边长为，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从D开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、D同时出发，当其中一点到达C时，另一点也随之停止运动．设运动时间为． （1）t为何值时，为直角三角形； （2）①设面积为S，写出S与t的函数关系式； ②t为何值时，面积为正方形面积的？ 【答案】（1）或或 （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，列函数关系式和求函数值： （1）先证明点P和点Q同时到达点C，则当点P和点Q都在上运动时，不存在为直角三角形的情形，当时，此时满足，符合题意；当点P在上，点Q在上运动时，只存在和两种情况，据此讨论求解即可； （2）①当点P在上运动时，当时，当时，根据进行求解即可； 当点P在上运动，即时，根据进行求解即可；②先求出，进而得到当面积为正方形面积的时． 【小问1详解】 解：∵， ∴点P和点Q同时到达点C， ∴当点P和点Q都在上运动时，不存在为直角三角形的情形， 当时，此时满足，符合题意； 当点P在上，点Q在上运动时，只存在和两种情况， 由题意得，，则，， ∵四边形是正方形， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解； 当时，同理可证明， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解； 综上所述，或或； 【小问2详解】 解：①当点P在上运动时， 当时， 当时， ； 当点P在上运动，即时， ； 在中，当时，， 综上所述，； ②， 当面积为正方形面积的时，， 在中，当时，（舍去）， 在中，当时，； 综上所述，当时，面积为正方形面积的． 25. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，现在他采取提高售价，减少销售量的办法增加利润，已知这种商品每件售价提高1元，其销售量就要减少10件 （1）如果他想每天所赚利润为320元，且让顾客得到实惠，则商品的售价应定为多少元？ （2）如果物价部门规定这种商品每件涨价不超过3元，若他想每天获得最大利润，则商品的售价应定为多少元？此时这种商品的最大利润为多少元？ 【答案】（1）他想每天所赚利润为320元，则商品的售价应定为12元 （2）商品的售价应定为13元，此时这种商品的最大利润为350元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设商品售价提高x元，则每件商品的利润为元，销售量为件，再根据总利润每件商品利润销售量列出方程求解即可； （2）设商品售价提高m元，每天的利润为w元，则每件商品的利润为元，销售量为件，再根据总利润每件商品利润销售量列出w关于m的二次函数关系式，并利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设商品售价提高x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵让顾客得到实惠， ∴， ∴， ∴他想每天所赚利润为320元，则商品的售价应定为12元； 【小问2详解】 解：设商品售价提高m元，每天的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w随m增大而增大， ∵物价部门规定这种商品每件涨价不超过3元， ∴， ∴当时，w最大，最大值为， ∴， ∴商品的售价应定为13元，此时这种商品的最大利润为350元． 26. 我们学习了二次函数后，掌握了二次函数的图象和性质，为了方便进一步研究，我们定义：二次函数的增减性和对称性合起来叫增对性，利用增对性可以解决很多二次函数问题，请利用增对性研究有关二次函数的一些问题． 【特例探究】 （1）若点，是该二次函数图象上两点，则该二次函数的对称轴为_____． （2）当，时， 若，则x的取值范围为_____． 【拓展探究】 （3）①若当时，，则该二次函数的开口向_____（填“上或下”），对称轴为____． ②在①的条件下，点，为二次函数图象上的两点，设，当时均满足，则t的取值范围_____． ③在①的条件下，已知，，该二次函数的图像与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】（1）直线；（2）或；（3）①下，直线；②；③当时，该二次函数的图象与线段只有一个公共点． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，二次函数的增减性，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）根据点，直接可得抛物线的对称轴； （2）先求解抛物线为：，可得当时，，当时，，再结合图象可得答案； （3）①由当，，可得抛物线的开口向下与对称轴；②由①得：对称轴为直线，可得与时的函数值相等，再结合图象解答即可；③如图，当抛物线过时，可得：，如图，当抛物线过时，可得：，再结合图象可得答案． 【详解】解：（1）∵点，是该二次函数图像上两点， ∴抛物线的对称轴为直线， （2）当，时， ∴抛物线为：， ∵， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 如图， ∴当时，或； （3）①当时，，如图， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线； ②由①得：对称轴为直线， ∴与时的函数值相等； 如图， 当时，随增大而减小， ∵，当时均满足， ∴，解得：； ③在①的条件下，，对称轴为直线：， 如图，当抛物线过时， ∴， ∵对称轴为直线：， 解得：， 如图，当抛物线过时， ∴，而， 解得：， 综上：当时，该二次函数的图象与线段只有一个公共点． 27.对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作．已知点． （1）求； （2）记函数的图象为图形G，若，直接写出k的取值范围； （3）的圆心为，半径为1．若，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）2 （2）且； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据定义解答即可； （2）画出图形，根据自变量x的取值范围和“闭距离”为1确定k的取值范围即可； （3）分在的左侧、在的内部和在的右侧三种情况，分别画出图形，结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点O到的距离的最小值为2， ∴； 【小问2详解】 解：经过原点，在范围内，函数图象为线段，如图， 当经过时，，此时； 当经过时，，此时． ∴． ∵， ∴且； 【小问3详解】 解：与的位置关系分三种情况：①当在的左侧时，如图， 由，得出； ②当在内部时， 当点T与原点重合时，如图， 由，得出； 当点T位于位置时，如图， 由，得出， ∵， ∴． 则， ∴，故此时； ③当在右边时，如图， 由，得出， ∵， ∴． ∴． 综上可知，或或． 【点睛】本题考查新定义，点到直线的距离，一次函数的实际应用，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．理解“闭距离”的定义，并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$