河北省石家庄市2025届高三上学期教学质量摸底检测数学试卷

石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测 数学 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合A={xeR|1≤x<5,B={x∈R|x2-3x-4<0,则AnB= A.（-1,] B.（-1,4) c.1,4) D.[1,5) 2.已知复数z满足(1+)z=2+31,则复数z的虚部为 人月 5 B2 c D月 3.已知平面向量a,b满足a(a-b)=2,且4=l,=2,则向量a,b的夹角为 A君 B. 3 c.月 D. 6 4.已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为 A.3 2w3 3 B. c.45 D.25 3 3 5.已知血e+)-2osa-),ma+m月=子则ma:mB= A.3 B.-3 c D.月 6.若数列{a,}为等差数列，Sn为数列{a,}的前n项和，a+a>0,S,<0则S,的最小值为 A.Sy B.S C.S, D.S 7.已知双曲线C:二_上=1的左、右焦点分别为R,、F,过坐标原点的直线与双曲线C交 48 于A、B两点，若F4=2F,则|M= A.4W5 B.2W7 c.4W月 D.4 高三数学第1页（共4页） 8.已知函数f)为定义在R上的奇函数，且在[0，+©)上单调递减，满足 fo,)小-fg:小2f),则实数a的取值范围为 (喝 c.(0,8 D.[8,+o) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知实数a,b,c满足a>b>c>0,则下列选项正确的是 A8号 B.lga-c>o C.6 c b-c a-b>a-c b>2 D.a+b+-1 10.已知函数f(x)=sin(ar+(m>0),则下列说法正确的是 6 人当a=3时，网在仁）上单调选增 B.若(6)-=2，且k-L=受则函数)的最小正周期为不 C。若因的图象向左平移登个单位长度后，得到的图象关于)轴对称，则如的最小值为3 D.若f()在[0,2州上恰有4个零点，则m的取值范围为[23,22 12'12 11.如图，曲线C过坐标原点0，且C上的动点P(x,y)满足到两 个定点F(-a,0),F(a,0)(a>0)的距离之积为9，则下列结 论正确的是 A.a=3 B.若直线y=:与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为[，) C.△PFF周长的最小值为12 D.△PRS图积的是大值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在等比数列{a}中，4=1,4·4a,=64,则a= -x2+3x-l,x≥0， 9已知函数与任+4<0 。若y=冈与y=f(x)的图象相切于A、B两点，则直线 AB的方程为 高三数学第2页（共4页） 14.金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布 着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔， 如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥 的5个面所在的平面将空间分成 部分用数字作答). 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知抛物线C:y2=2px(>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为2且位于x轴上方的 点，A到抛物线焦点的距离为 (1)求抛物线C的方程： (2)若过点F的直线1交抛物线C于B、D两点（导于O点），连接OB、OD,若Sr= 2 求BD的长， 16.(本小题满分15分) 如图，在直四棱柱ABCD-AB'CD中，AG=AD,AB⊥BC,AB=l,BC=V5, 31 D35 2 G (1)设过点G、B、D的平面交直线B于点M,求线段GM的长； (2)若AC⊥BD,当二面角B-AC-D为直二面角时，求直四棱柱ABCD-AB'CD的体积. 17.(体小题满分15分) 在△MBC中，AB=√5AC=2N5,点D在边BC上，且BD=CD, 0若∠BMD-=受求BC的长： 若∠4C-子，点E在边4C上，且AB-EC,E与AD交于点M,求o∠B. 高三数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f闪=g (I)当x>0时，求函数f(x)的最小值： 2)设方程)=中的所有根之和为T,且T∈(a,n+),求整数n的值； (3)若关于x的不等式f(x)≥ax-alhx+e-1恒成立，求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架，这是数学家赫伯特·维尔夫 对母函数的一个形象且精妙的比喻。 对于任意数列a,4,a,,a,即用如下方法与一个函数联系起来： G(x)=a+4x+ax2+…+a,x,则称G(x)是数列{a,}的生成函数 例如：求方程100=4+2++。的非负整数解的个数 设此方程的生成函数为G(x)=0+x+x2+…°，其中x的指数代表4(1=1,2,3，…，10)的值 G的=0+x+2+…°=艺a,x,则非负整数解的个数为4m 若fx)=1+x+x2+…,则x)=x+x2+x+…,可得0-xf)=1,于是可得函数 了的收罐表达式为：0) 故G)=”=0-=c.(←+C(←++C8(产+ 广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式) 则4w=C增=H0x1DX10-10+D_109x108kx10=C9g 1001 1001 根据以上材料，解决下述问题： 定义“规范01数列”{a,}如下：{a,}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意 长m…立a专不同的规范o1数列个数记为&， (1)判断以下数列是否为“规范01数列”； ①0,1,0,1,0,1：②0,0,1,1,1,0,0,1：③0,1,0,0,0,111 (2)规定点=1，计算4,4,4，b的值，归纳数列他}的递推公式： (3)设数列他}对应的生成函数为F(x)=b+x+x2+…+bx”+… ①结合F(x)与F(x)之间的关系，推导F(x)的收缩表达式： ②求数列{也}的通项公式 高三数学第4页（共4页）石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测 数学答案 一、单选题: 1-5CABCD 6-8BAD 二、多选题: 9.BCD 10.ABD 11.AD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12. 16 13.x+3y-4=0 14. 23 四、解答题;本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解:(1)由题意得+2-5 2 2 解得.................. 故抛物线方程为y2-2x. (2)由题意得直线7的斜率不为0,设直线l:x=ty+与y2=2x 联立得... -..-.1.-...宅..定.y.y.2.....-.1.......(7分) 设B(x1.y).D(x2.y2),过0点做1垂线,垂足为G. 由Sor= 2 ....................... BB-(x-x2)2+(-y2)2→(1+t2)-2)2- ...................... 16. 证明:(1)连接BD',由题意可得BD//BD, .............. 又因为BD//平面AB'CD,平面AB'C'DO平面GBD=GM BDC平面GBD,所以BD//GM,由平行传递性可知GM//BD .................. .G#M-D-# 所以M为靠近A的AB三等分点, 3 一“............. (2) 如图,设ACOBD=O,连接B'O.DO,由题意得AC1BD AC1BB',BB'OBD=B,故AC1面BB'O 同理可证AC1面DDO,故BO1AC,DO1AC 高三数学 以 BOD' 为 二 平 所 B-AC-D 的 面 角 面 角... 设BB'=DD'=h,由二面角B'-AC-D为直二面角可知 BOD' 2 .故O D=$3:$$O$=BO$}+h$}.$O$}=D① ^$+h$ 在RtAB'OD'中,由勾股定理可得B'O{}+D'O{}=B'D*} 2..............1..分.. -..........1..... 4 ? -3#23# 2 2 -................ 92 所以Vaco-rcp=Sh-9 ................分) 方法二:向量法 A2 设直线AC与直线BD交于点O.以O为坐标原点,以OB为x轴,以OC为v轴建立 如图所示的空间直角坐标系:O-xyz. 在Rt△4BC中,.:OB上AC由射影定理得 C ,设DD-h.则: 2. 设平面BAC的一个法向量为n.=(x,V,2) [(x,y,2)(0,2.0)-0 [nAC-0 =0 则: {,即: 令x三.-2,则... 1n.AB=o #2.)_0 ##2+2_0# .n=(-2h,0.3). 高三数学 .......................1.分) 设平面DAC的一个法向量为n.=(x,y,) f(x,y,2)(0,2.0)=0 n.AC-0 [y=0 则: ,即: 令x=.则2=3. AD-0' ..n.=(h.0,3). ........1... 当二面角B-AC-D为直二面角时,n·n,=0,即:-2h^②}+3=0,得;h= ### 92 ............. 在AABD中,cosB= BD 在AABC中,由余弦定理 AB{}+BC-AC*(V3)+a-(23) cosB-- 2:AB·BC 2.3.a ............................... 3.(3)2+a}-(2V3)} 所以, 2]C 2.3·a 所以,a-V21BC-21 .......................... (2) -.......................分) ##、#(#4C#一(#+→ABC 4## 21 2 ................. 3 高三数学 ##2# COS AMB=CoS AD BE = AD.BE ADBE 2121 2 3 18 解: (x-Def (1x>0.f(x)= .............分) xE(0.1).f(x)<0.f(x)单调递减 xe (,....................分) f(t)终......................4分分. (2)方程/(t)-+1 ,2 x x , x 所以函数g()在(-0)有唯一等点☆,且x(-3-1 .......... 所以函数g(n)在(0,+o)有唯一等点x,且x:(). .........(.分. 则T三x...- .1.1...,..-..-.....的1.分) (3)设h(x)=f(x)-ax+alnx-(e-1),则当x>0时h(x)>0恒成立. (r-Def h()= -(x-1)(e-ax) 2} } ....................... 当a<e时,e-ax>e-ex>0 xe(0.1).h(x)<0.f(x)单调递减. xe(1.+o)(x)>0.f(x)单调递增 h($x)>(l)=e-a-(e-1)=1-a> 高三数学 ...............1...分.分... ②当a>e时,(l)=1-a<0,这与/h(x)→0矛盾; ................1.... 19. 解析: (1)由题意得①,③是“规范01数列”, ...........分). 对于②,由于k=5时, ...................分) $$$) b=1,b.=2.b=5.b =14; ................................................. (每个1分)(7分) “规范01数列”ta中,首项a.=0,若(a.)同时满足 ①当n=1.2.3..k-1时, ②当n-k时, 此时可将ta.划分为两部分,即a,a...a.和a,..a.,由于a=0且a. =1,则a,a...a,可 构成一个“规范01数列”,所以数列()的递推公式为: b. =bob-. ..-. b...+..+..-..+............... (.分) (注:学生由=C_-C2得出b , +2 (3)① F(x)=b2}+(b+bb)x+(6+b.b+b.b)x^2}+,+(bb+bb,+. ,+bb)x”+.. -b+bx+bx2+..+bx"+.. 11-4x 即F(x)= 2x 由于limF(x)=b=1 1+1-4x 当F(x)= 2x 一时,limF(x)=+oo(舍去) 1_0 1-1-4x 4x __lim 时,lim/F(x)=lim 当F(x)= =1,满足题意 2x -→02x(1+1-4x) -01+1-4x 高三数学 1-1-4x 故F(x)的收缩表达式为F(x)= 2x :........................分) ② 1-1-4x G(x)= 2x _(-4x)"-1 n! m! -(2.r)m-1 n! m~1 m!(m-1)! .........................1.分) (2m-2)! -(2n)! 二m!(m+1)! (2m)! 故数列(b)的通项公式为b。 m!(m+1)! ...........................1.分) (注:其余方法得出b.均可给到17分) 高三数学