2.2 双曲线 练习-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.2双曲线 练习 一、单选题 1．已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为，则的焦距的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 3．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 4．已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（   ）. A． B．或 C． D．或 二、多选题 9．已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（   ） A． B．2 C．3 D．4 11．已知双曲线C：（）的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 三、填空题 12．已知是双曲线的一个焦点，则 ． 13．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 . 四、解答题 14．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 15．已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 参考答案 1．C 【分析】根据已知条件以及几何关系先确定，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】根据题意双曲线的一条渐近线方程为，即，    设点到渐近线的距离为，则， 所以，因为，，所以， 所以，所以；的焦距为， 又，当且仅当时，等号成立. 故选：C 2．A 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 3．D 【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 4．C 【分析】根据设出，与双曲线渐近线方程联立分别求出，，易得四边形是平行四边形，则得，再结合，从而可求解. 【详解】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为， 联立解得， 不妨取，同理可得， 则， 因为四边形是平行四边形， 于是， 由于点在上，所以，因此，故C正确. 故选：C． 5．D 【分析】结合圆的性质及条件证明为等边三角形，由点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离，由条件列出关于的方程，化简求出离心率即可. 【详解】设双曲线的半焦距为， 则右焦点的坐标为， 不妨设以为圆心，为半径的圆与渐近线的两个交点为． 则，又， 所以为等边三角形， 所以点到直线的距离等于， 所以，又， 故，所以， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 6．C 【分析】利用双曲线方程求得，再利用双曲线的定义即可得解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，则， 设双曲线的左､右焦点分别为， 又点在双曲线的右支上，且， 所以，则. 故选：C. 7．C 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】如图：    因为为右支上一点，所以. 因为为坐标原点，为线段的中点，所以，， 则. 故选：C 8．D 【分析】根据双曲线的焦点的位置进行分类讨论，结合双曲线渐近线方程和实轴长的定义进行求解即可. 【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：； 当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：. 综上所述，双曲线的方程为或. 故选：D 9．AC 【分析】分点位于第一象限时，点位于第二象限，和点位于第四象限，点位于第一象限两种情况结合双曲线的对称性和性质以及对勾函数的单调性求解即可. 【详解】如图，当点位于第一象限时，点位于第二象限，设直线的斜率为， 则直线的斜率为， 因为渐近线方程为，所以，， 所以，因为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而时，；时，；时，， 所以的取值范围为； 当点位于第四象限，点位于第一象限，同理可得的取值范围为． 综上所述，的取值范围为. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合双曲线的对称性和性质得到，，进而求得的取值范围，从而结合对勾函数的单调性确定的取值范围. 10．BC 【分析】由题意可得：渐近线方程为，分析，，进而可得，再结合渐近线的结合性质可得，即可得离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 则的右焦点到的距离，即， 因为，则， 又因为，则，可得， 又因为与直线无公共点，则， 所以的离心率． 故选：BC． 11．AC 【分析】由题意求出，即可求出双曲线方程，可得焦点坐标，判断AB；代入验证可判断C；求出直线所过定点，结合举特值，即可判断D. 【详解】双曲线C上的点到其焦点的最短距离为，离心率，所以， 所以，所以双曲线C的方程为，所以C的焦点坐标为，A正确． 双曲线C的渐近线方程为，B错误． 因为，所以点在双曲线C上，C正确． 直线即，恒过点，即双曲线的右顶点， 当时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误． 故选：AC 12． 【分析】化为双曲线的标准方程，再利用关系得到方程，解出即可. 【详解】显然，则双曲线方程为，即， 因为是双曲线的一个焦点， 所以，解得. 故答案为：. 13．/ 【分析】由离心率公式可得，根据双曲线的渐近线方程及斜率公式即可求解. 【详解】由题意，即，可得， 所以渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为和， 所以双曲线的两条渐近线所成的锐角为. 故答案为：. 14．(1) (2) 【分析】（1）（2）结合题意求出双曲线的长、短半轴长，根据焦点位置，即可求得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以， 解得，所以， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以， 所以. 又渐近线方程为，所以， 则，所以所求双曲线的标准方程为. 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设双曲线C的半焦距为，利用双曲线的定义结合勾股定理计算即可； （2）设的坐标，利用中点坐标公式表示Q，再利用点差法计算即可. 【详解】（1）不妨设双曲线C的半焦距为， ， ， 解得， 则， 故双曲线C的标准方程为； （2）设，则， 为双曲线C上的两点， 两式相减得，整理得， 则， 故为定值，定值为4． 学科网（北京）股份有限公司 $$