2.2 抛物线 练习-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.2抛物线 练习 一、单选题 1．焦点为的抛物线上有一点（在第一象限），将关于直线对称得到，与轴交于两点，，则直线的斜率为（     ）. A． B． C． D． 2．抛物线C：的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D． 4．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 6．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上.若，，则的面积为（    ） A． B．25 C． D．55 二、多选题 9．对于抛物线 F 是它的焦点，γ的准线与轴交于 T，过点 T 作斜率为的直线与γ依次交于 B、A两点，使得恰有 ，下列说法正确的是（    ） A． 是定值， 不是定值 B． 不是定值， 也不是定值 C． 两点横坐标乘积为定值 D．记 AB 中点为 M， 则 M 和A 横坐标之比为定值 10．已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是．（    ） A．若为线段中点，则的斜率为±2 B．若，则 C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2 11．设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．焦点到准线的距离为4 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 三、填空题 12．顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 13．设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则 . 四、解答题 14．平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线R. (1)求曲线R的方程； (2)椭圆：()过点，曲线R的焦点是椭圆的一个焦点，求椭圆的离心率. 15．在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值． 参考答案 1．B 【分析】求得关于直线的对称点，将的坐标代入抛物线方程，从而求得直线的斜率. 【详解】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， ，则， 依题意可知关于直线的对称点在抛物线上， 所以，解得， 将代入抛物线方程得， 整理得，解得， 而，所以. 故选：B 【点睛】思路点睛： 设直线方程并求对称点：首先设定直线的方程，利用已知条件求得关于直线的对称点，求对称点的方法需要熟练掌握. 代入抛物线方程求解：将对称点代入抛物线方程，得到关于斜率的方程，进而求出直线的斜率. 2．C 【分析】化抛物线方程为标准形式，再求出焦点坐标. 【详解】抛物线C：的焦点在轴上，其坐标为. 故选：C 3．C 【分析】设A，B，C三点的坐标，得向量，，的坐标，由已知条件可得横坐标之和，再利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】由题意得焦点，设点，，， 则， 所以，所以. 故选：C. 4．D 【分析】根据抛物线的标准方程求出准线方程即可. 【详解】抛物线的准线方程为， 故选：D. 5．B 【分析】根据抛物线方程求出，由抛物线定义可得解. 【详解】由抛物线可得， 所以，， 故抛物线的焦点到准线的距离是. 故选：B 6．B 【分析】根据抛物线的标准方程求得正确答案. 【详解】依题意，，且抛物线的开口向上，焦点在轴上， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 7．D 【分析】由抛物线方程求出，再根据抛物线的定义求出，然后代入抛物线方程解出即可； 【详解】因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 8．B 【分析】过点作轴于点，准线与轴交于点，设，计算，根据相似于求出，再由求解即可. 【详解】如图所示，过点作轴于点，准线与轴交于点， 抛物线的焦点坐标， 设，由抛物线的定义可得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以相似于， 则， 所以， 解得或， 所以， 所以. 故选：B. 9．AD 【分析】由题意可得点的坐标，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，再由，可得点B的坐标，进而可得直线AB的斜率，判断出AB的真假，由两根之积可得A，B的横坐标之积，判断出C的真假，由C选项分析，可得点A的横坐标，及A，B的中点M的横坐标，可得M和A的横坐标之比，判断出D的真假. 【详解】如图， 由题意得，设， 设直线的方程为（不等于0）， 联立，可得， 所以 对于A，由，即， 可得，即， 解得，由，则，可得， 可得的横坐标，即， 可得为定值，故A正确B错误； 对C， 两点横坐标乘积为，不是定值，故C错误； 对D，由题意，的横坐标为 ， 由C选项分析可得点A的横坐标为， 所以为定值，故D正确. 故选：AD 10．ABD 【分析】A项根据题意得三角形全等，求出点的坐标，即得斜率；B项根据抛物线的定义求出点的横坐标，再求出即可；C项设点，则，判断是否为0；D项根据，结合基本不等式可得. 【详解】抛物线的准线为，焦点. A项， 如图，过点作轴，垂足为，设轴与准线交点为. 若O为中点，则与全等，则， 即与焦点重合，所以， 代入方程，得. 所以直线的斜率为，故A正确； B项，若，则，解得， 所以，故B正确； C项，不妨设，则直线方程为， 令，可得，所以，， 所以，不可能， 所以FP与FQ不垂直，故C错误； D项，由C项可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时点坐标为， 所以面积的最小值为2，故D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】选项A，选项B，由抛物线概念即可判断，选项C： P为动点，根据几何关系，当P、A、F三点共线时取最小值；选项D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与y轴相切﹒ 【详解】A：抛物线的准线为，故A正确； B：焦点到准线距离为，故B错误； C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的上面，故A在抛物线内部， 当直线垂直准线时 取最小值，即为，故C正确； D：根据题意，可得抛物线的焦点为， 设的中点为，可得， 由抛物线的定义，得，则，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径， 因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒ 故选：ACD 12． 【分析】设出抛物线方程，再代入点的坐标得解. 【详解】由题意，可设抛物线方程为， 又抛物线经过， 所以，解得， 所以所求抛物线方程为， 故答案为： 13． 【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线的方程求出交点坐标，进而求出点的坐标，再借助抛物线定义求出长. 【详解】抛物线的焦点为，由，解得或， 即点或，当点时，直线，即， 由，得，因此， 显然点与关于轴对称，则当点时，点与点关于轴对称，， 所以. 故答案为： 14．(1)； (2) 【分析】（1）由两点间距离公式结合点到直线的距离计算得到； （2）由点在椭圆上和椭圆的性质列方程组解出即可； 【详解】（1）由题意可得， 化简可得， （2）曲线R的焦点，所以， 又在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆的离心率为. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可. （2）利用焦半径公式结合两点间距离公式求解边长，建立方程求解参数即可. 【详解】（1）因为点到焦点F的距离为2， 所以点到抛物线准线的距离为2， 抛物线的准线方程为，点的横坐标为， ，解得， 抛物线的方程为． （2）如图，易知直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为， 联立，消得， 设， 又， ∵，则直线OP的方程为， 联立，消得， 令，则， ，故的值为． 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用焦半径公式结合距离公式表示边长，然后建立方程，得到所要求的参数值即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$