1.2 圆与圆的方程 练习-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2圆与圆的方程 练习 一、单选题 1．已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆的方程是，则圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆，则与的位置关系为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 5．设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 7．圆与圆的公切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知圆，若圆刚好被直线平分，则的最小值为（    ） A．8 B．10 C．16 D． 二、多选题 9．已知圆与圆相交于两点（点在第一象限），则（    ） A．直线的方程是 B．四点不共圆 C．圆的过点的切线方程为 D． 10．已知圆，圆，，且，不同时为交于不同的两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知圆，圆，且圆与圆相交于，两点，则（    ） A．过点且被圆截得的弦长最短的直线方程为 B．直线的方程为 C． D．以线段为直径的圆的方程为 三、填空题 12．若圆与圆恰有3条公切线，则的值为 ． 13．已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 四、解答题 14．已知圆的方程为． (1)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程； (2)若，圆与圆交于A，B两点，且，求圆的方程． 15．已知点，圆. (1)求圆过点的最长弦､最短弦所在的直线方程； (2)若圆与直线相交于，两点，为坐标原点，且，求的值. 参考答案 1．C 【分析】设关于的对称点为，求出点，则，故的最小值为即可得解. 【详解】    设关于的对称点为，则解得， 即，所以， 故的最小值为． 故选：C. 2．D 【分析】根据对称的性质，得到直线过的中点且与垂直，结合垂直的斜率结论可解. 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为，所以线段的中点坐标为， 又，则， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 3．A 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标. 【详解】圆的方程可化为，圆心的坐标是. 故选：A. 4．D 【分析】根据已知条件，结合圆心距与半径的关系，即可求解． 【详解】易知圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以与外离. 故选：D. 5．B 【分析】由题意将问题转换成圆与圆有两个交点即可求解. 【详解】圆，其圆心为，半径为． 因为圆上恰有两点到原点的距离为1，所以圆与圆有两个交点． 因为圆心距为，所以，解得． 故选：B 6．D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 7．D 【分析】先由两圆位置关系的判断方法得到两圆外切，再得到公切线条数即可. 【详解】由题意，圆的圆心，半径， 圆化为标准方程为：， 故圆心，半径， 则圆心距， 所以两圆外切，公切线条数为3条. 故选：D. 8．C 【分析】利用给定条件得到，再进行基本不等式中‘1’的代换求解即可. 【详解】因为圆，所以圆心为， 因为圆刚好被直线平分， 所以直线必过点，代入直线中得到， 所以， 当且仅当时取等，此时解得，故C正确. 故选：C 9．AC 【分析】选项A，利用两圆方程相减，即可求解；选项B，联立直线的方程与圆的方程，直接求出，，进而可得中点到四点距离相等，即可求解；选项C，利用选项B中结果，先求出，进而得到切线方程的斜率为，即可求解；选项D，直接求出，，利用余弦定理即可求解. 【详解】对于选项A，因为圆与圆，两圆方程相减得到，即直线的方程是，所以选项A正确， 对于选项B，由和，解得或，即，， 又，所以中点为，则，又， 所以到四点距离相等，即四共圆，所以选项B错误， 对于选项C，由选项B知，所以，得到圆的过点的切线方程为， 整理得到，所以选项C正确， 对于选项D，因为，， 在中，由余弦定理得， 所以选项D错误， 故选：AC. 10．ABC 【分析】利用圆的公共弦方程可判定A，B，利用圆半径相同，再根据圆的性质判定圆心连线与公共弦垂直且平分，利用中点坐标公式可判定C，D. 【详解】根据题意：圆和圆 交于不同的两点A，， 两圆方程相减可得直线的方程为：， 即， 分别把点，两点坐标代入得： ，， 上面两式相减得：，即，所以选项正确； 由上得：，所以选项B正确； 两圆的半径相等， 由圆的性质可知，线段与线段互相平分， 则有， 变形可得，，故C正确，D错误. 故选：ABC. 11．BCD 【分析】根据当弦与垂直时所截得的弦最短判断A；利用两圆方程相减判断B；利用弦长公式判断C；求出圆心与半径判断D. 【详解】圆，圆， 所以圆心为，半径为，圆心为，半径为， 点在圆内，当弦与垂直时，所截得的弦最短，此时的直线方程为，A错误； 圆和圆的方程相减可得，所以直线的方程为，B正确； 点到直线：的距离为，故，C正确； 直线的斜率直线的方程为，即， 与直线的方程为联立可得的中点为，即圆心为原点半径为， 所以以线段为直径的圆的方程为，D正确. 故选：BCD. 12．7 【分析】根据两圆外切，即可根据圆心距和半径的关系求解. 【详解】由于圆与圆恰有3条公切线，故两圆外切， 的圆心，半径为，的圆心，半径为， 故，故，解得， 故答案为：7 13． 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，从而求出的值，进一步可求公切线方程. 【详解】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 14．(1) (2)或. 【分析】（1）利用对称求出的坐标，可得圆的方程； （2）设圆的方程为，两圆的方程相减，可得两圆公共弦AB所在的直线的方程，利用到直线距离结合已知弦长，求出即可. 【详解】（1）圆的方程为，则圆心坐标为，半径， 设点关于直线对称的点， 则，解得， 所以圆的方程为. （2）圆的方程为，设圆的方程为， 两圆圆心距， 因为圆与圆相交，则，所以， 两圆的方程相减，可得两圆公共弦AB所在的直线的方程为， 可得到直线AB的距离， 由弦长，可得，即，可得或， 所以圆的方程为或. 15．(1)最长弦所在直线的方程为，最短弦所在直线的方程 (2) 【分析】（1）根据圆的性质可知，最长弦过点和点，最短弦与最长弦垂直，从而可得最短弦所在直线的方程； （2）由转化为，然后联立直线和圆的方程，利用韦达定理可得关于的方程，即可求解. 【详解】（1）由题意知点在圆内，圆心，半径， 由圆的性质可知，直径是圆中的最长弦，此时直线过点，， 所以圆过点的最长弦所在直线的方程为，化简得； 由圆的性质可知，过点的最短弦和圆心与点的连线垂直， 所以设直线方程为，将代入得， 所以圆过点的最短弦所在直线的方程. （2）由，消去得， 化简得. 因为圆与直线相交于，两点， 所以， 即，解得. 设，，则，. 因为，所以，即. 由，得. 从而，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$