精品解析：河北省承德市隆化县第二中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025第一学期九年级第一次学情监测 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 总分：120分 注意事项： 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ，将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、选择题（共12题，每题3分，计36分） 1. 一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 2. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 3. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 丙和丁 4. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙 2 3 4 8 8 关于以上数据，说法正确的是（ ） A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差 5. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 已知点，、，在直线上，当时，，且，则在直角坐标系内，该直线大致是 ( ) A. B. C. D. 8. 使得式子有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（ ） A. 16 B. C. 25 D. 或25 10. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 11. 等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为（ ） A. B. C. D. 7或8 12. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共4题，每题3分，计12分） 13. 已知线段，，那么线段和的比例中项为___________ ． 14. 如图，在中，，， ，在上截取，再在上截取，则的值为___________． 15. 如图，若，，，，则长为_____． 16. 如图，已知，是的中线，是的中点，则___________． 三、解答题（共8题，计72分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒钟后的面积为？ 19. 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． （1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； （2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若两个实数根分别为和，且，求m的值． （3）在（2）的条件下，求 21. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图． （1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？ 22. 水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，老板决定降价销售． （1）若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是 　 　斤． （2）若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 　 　斤（用含x的代数式表示，需要化简）； （3）水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为多少元？ 23. 如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形． 探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍． 因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2， 所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 x2+（﹣x）2＝12 解得，x1＝x2＝ ∴BE＝BF，即点B是EF的中点． 同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点． 所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍 探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程） 探究三：已知边长为1的正方形ABCD，　 　一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”） 探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程） 24. 如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，点P运动的时间为，请解答以下问题∶ （1）求边的长．（辅助线提示：过D点作边的垂线） （2）是否存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； （3）是否存在某一时刻t，使恰好是直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025第一学期九年级第一次学情监测 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 总分：120分 注意事项： 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ，将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、选择题（共12题，每题3分，计36分） 1. 一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，的一个根是，那么就可以把代入方程，从而可直接求k． 【详解】解：已知一元二次方程 的一个根是 ，将其代入方程得：， 化简得： 合并常数项： 解得： 故选： B． 2. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程．可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故选：B． 3. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 丙和丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握利用配方法解一元二次方程的步骤是解本题的关键．本题逐步分析各位同学的方程变形即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， ∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丙， 故选：C． 4. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙 2 3 4 8 8 关于以上数据，说法正确的是（ ） A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得. 【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7， 排序后最中间的数是7，所以中位数是7， ， =4.4， 乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8， 排序后最中间的数是4，所以中位数是4， ， =6.4， 所以只有D选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键. 5. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该厂生产零件的月平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设该厂生产零件的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0， ∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根， ∴， 解得：且k≠2． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 7. 已知点，、，在直线上，当时，，且，则在直角坐标系内，该直线大致是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据点，、，在直线上，当时，，且，可以得到、的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线经过哪几个象限．解答本题的关键是求出、的正负． 【详解】解：点，、，在直线上，当时，，且， ，， 直线经过第一、二、三象限， 故选：． 8. 使得式子有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．据此求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故选：B． 9. 若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（ ） A. 16 B. C. 25 D. 或25 【答案】B 【解析】 【分析】直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是，，则有，然后两边平方即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是与， 且， ∴， 解得：， 即方程的根是：，， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查了解一元二次方程及一元一次方程，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题关键． 10. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，关键是得到两轮传染人数的数量关系，从而可列方程求解． 设每轮传染中平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有人患流感，第二轮共有人，即64人患了流感，由此列方程求出x，再据此即可求得经过三轮传染后患流感的总人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意得：， 整理得，，  解得：或 (舍去)， 故每轮传染中平均一个人传染了7人， 则经过三轮传染后患流感的人数为： (人)， 故选：D． 11. 等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为（ ） A. B. C. D. 7或8 【答案】D 【解析】 【分析】两种情况，4为腰和4为底边，而一元二次方程的两根也分为两种情况：①一边为腰一边为底，此时代入4即可求解，②两边都为腰，此时判别式为0，代入数值即可求解． 【详解】①一边为腰一边为底，当4为底时，有 ，解得，此时 解得另一个根为2，而此时2+2=4，不合题意舍去； 同理，当4为腰时，解得另一根为2，三角形三边分别为4、4、2，满足三角形三边关系 故m=7 ②方程两根都为腰，此时 即，解得m=8 综上所述，m=7或8 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的判别式，关键是分情况讨论一元二次方程解的情况． 12. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共4题，每题3分，计12分） 13. 已知线段，，那么线段和的比例中项为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数． 【详解】解：线段，， 线段、的比例中项． 故答案为：． 14. 如图，在中，，， ，在上截取，再在上截取，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的化简，先由勾股定理求出，再由，得，然后求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ， ， ， ∴ ∴． 故答案为：． 15. 如图，若，，，，则长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：2． 16. 如图，已知，是的中线，是的中点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共8题，计72分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）首先将方程整理为一般式，然后利用公式法解一元二次方程即可； （2）首先将方程整理为一般式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 整理得， ，， ∴ 解得，； 【小问2详解】 解： 整理得， 或 解得，． 18. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒钟后的面积为？ 【答案】运动1秒或5秒后的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 答：运动1秒或5秒后的面积为． 19. 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． （1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； （2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果． 【答案】（1）甲 （2）乙 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图数据求解即可； （2）根据“能力”、“学历”、“经验”所占比进行加权再求总分即可． 【小问1详解】 解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23； 乙三项成绩之和为：8+9+5=22； ∴23>22 录取规则是分高者录取，所以会录用甲． 【小问2详解】 “能力”所占比例为：； “学历”所占比例为：； “经验”所占比例为：； ∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1； 甲三项成绩加权平均为：； 乙三项成绩加权平均为：； ∴8>7 所以会录用乙． ∴会改变录用结果 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，根据图表信息进行求解是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若两个实数根分别为和，且，求m的值． （3）在（2）的条件下，求 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，分式的求值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到，进而求解即可； （2首先根据根与系数的关系得到，，然后将变形为，然后代入求解即可； （3）首先得到，，然后将通分为，然后整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得； 【小问3详解】 解：∵ ∴， ∴． 21. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图． （1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？ 【答案】（1）中位数为分，平均数为分，不需要整改 （2）监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数发生了变化，由分变成4分 【解析】 【分析】（1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可； （2）根据“重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分”列出不等式，继而求出监督人员抽取的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可得解． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分； ∴客户所评分数的中位数为：(分) 由统计图可知，客户所评分数的平均数为：(分) ∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分， ∴该部门不需要整改． 【小问2详解】 设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有： 解得： ∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档， ∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分， ∵， ∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分， 即加入这个数据之后，中位数是4分． ∴与（1）相比，中位数发生了变化，由分变成4分． 【点睛】本题考查条形统计图，中位数和加权平均数，一元一次不等式的应用等知识，掌握求中位数和加权平均数的方法和根据不等量关系列不等式是解题的关键． 22. 水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，老板决定降价销售． （1）若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是 　 　斤． （2）若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 　 　斤（用含x的代数式表示，需要化简）； （3）水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为多少元？ 【答案】（1）200 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题意列出算式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据题意列出一元二次方程解方程求解即可，根据每天至少售出280斤取舍最后的结果即可 【小问1详解】 根据题意，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤， 则每斤售价降低0.5元，每天可多售出20（斤）， 每天的销售量是（斤） 故答案为：200 【小问2详解】 若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 故答案为： 【小问3详解】 设若每斤售价降低x元，根据题意得： 解得 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， （元） 则售价为3元 答：水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为3元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意列出代数式和一元二次方程是解题的关键． 23. 如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形． 探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍． 因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2， 所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 x2+（﹣x）2＝12 解得，x1＝x2＝ ∴BE＝BF，即点B是EF的中点． 同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点． 所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍 探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程） 探究三：已知边长为1的正方形ABCD，　 　一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”） 探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程） 【答案】 探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得x2﹣x+1=0， b2﹣4ac=3﹣4＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍； 探究三：不存在 探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得2x2﹣2x+n﹣1=0， b2﹣4ac=8﹣4n＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍． 【解析】 【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答． 【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得x2﹣x+1=0， b2﹣4ac=3﹣4＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍； 探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4， 所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=2﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（2﹣x）2=12， 整理得2x2﹣4x+3=0， b2﹣4ac=16﹣24＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍， 故答案为不存在； 探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得2x2﹣2x+n﹣1=0， b2﹣4ac=8﹣4n＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键． 24. 如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，点P运动的时间为，请解答以下问题∶ （1）求边的长．（辅助线提示：过D点作边的垂线） （2）是否存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； （3）是否存在某一时刻t，使恰好是直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）2.25或7 【解析】 【分析】（1）过点D作于H，直接根据勾股定理即可求解； （2）根据比较发现：，从而确定当线段把四边形分成面积相等的两部分时，点P必在上，然后列方程求解即可； （3）分①当P在上；②当P在上，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点D作于H， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ； 【小问2详解】 解：存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴当线段把四边形分成面积相等的两部分时，点P必在上，如图2，连接， 根据题意， ∴ 根据题意，得 解得， 即当时，线段把四边形分成面积相等的两部分； 【小问3详解】 解：存在某一时刻t，使恰好是直角三角形 ∵ ∴ ∴为直角三角形有两种情况： 当P在上，且时，如图3，连接， 在中， 在中， 在中，， ∴ 即 解得： 当P在上，且时， ∴ 即 整理得 此方程无实数根； 当P在上，且时，如图4，点P与点H重合，， ∴， 解得， 综上所述，当t的值为2.25或7时，恰好是直角三角形． 【点睛】本题主要考查几何动点问题，涉及矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的定义以及分类讨论思想等，属于中考压轴题，难度比较大，解题的关键是考虑问题要全面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $