精品解析：河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题

南阳一中2024秋期高三年级第二次月考 数学试题 一、填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 集合，若．则实数a的范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得分析得，再对集合中参数与的关系作分类讨论，根据子集关系确定出的范围. 【详解】因为，则， 当时，不成立，所以，所以满足， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 综上可知：. 故选：A. 2. 已知、为非零向量，未知数，则“函数为一次函数”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义以及向量的运算和性质分别判断即可． 【详解】 ， 若，则， 如果同时有，则函数恒为0， 不是一次函数，故是不必要条件； 如果是一次函数，则， 故，故是充分条件. 故选：A． 3. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为（　　） A. 2 020 B. 2 019 C. 1 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】对曲线求导，求出导函数，再把点代入导函数中，求出，再利用对数的运算性质化简，即可求出答案. 【详解】因为，所以切线方程是，所以， 所以 故选：D. 4. 已知向量满足，，若，则向量的夹角为（　　） A. B. C. 或π D. 或π 【答案】B 【解析】 【分析】利用，结合数量积的运算律可解方程求得，结合可确定，由此可得结果. 【详解】由得：， 即， ，解得：或； ，，， 又，. 故选：B. 5. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用它的导数确定单调性后可得不等式的解集． 【详解】由条件，∴在上单调递减， 所求不等式可化为，故，∴. 故选：A． 【点睛】本题考查用导数解不等式，解题关键是构造函数，利用函数的单调性解不等式．构造函数时一是根据已知导数的不等式，确定构造出的函数求导后能利用已知不等式确定正负，二是根据结论不等式的形式（一般需要适当变形）． 6. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先化简已知等式，再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】因为，，且，则， ，同理， 则， 当且仅当时，的最小值为. 故选：B. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，结合在区间上单调递增可得，再由在区间上有且仅有1个零点，可得可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案. 【详解】由题意可得：， 因为在区间上单调递增， 因为，， 所以，解得：， 又在区间上有且仅有1个零点， 所以，， 结合，所以， 所以这个零点可能为或或， 当时，，， 解得：， 当时，，， 解得：， 当时，无解， 综上：的取值范围为. 故选：A. 8. 数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得，令，通过裂项相消求得，然后代入即可求解. 【详解】数列满足①， 当时，，即， 当时，②， 由②①得， 数列的所有奇数项，， 数列的所有偶数项，， 综上，数列的通项公式为. 记， 所以数列的前项和为： ， 由得，即， 因为，随着的增大而增大， 故当时，刚好满足， 所以，的最小值为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列满足且的前项和为，则（ ） A. 是等差数列 B. 为周期数列 C. 成等差数列 D. 成等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知可得、为奇数时，为偶数时，结合等差、等比数列定义判断各项的正误. 【详解】由且则且，故， 所以在上成立，A对； 综上，为奇数时，为偶数时，B对； 为奇数，为偶数， 不成等差数列，C错； 不成等比数列，D错. 故选：AB 10. 已知 的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 在中，若，则 B. 若在线段上，且，，，，则的面积为8 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理结合三角形中大边对大角，即可判断； 对于B，设，在中，利用余弦定理求得，得到，，求得和，结合面积公式计算即可； 对于C，化简条件得到，求得或，即可判断； 对于D，根据题意得到点在以为弦的一个圆上，结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式计算即可． 【详解】对于A，，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由在线段上，且，，，， 则，设，， 在中，利用余弦定理， 整理得，解得或（舍去）， 所以，， 在中，可得，则， 所以的面积为，故B正确； 对于C，由， 可得， 整理得， 由正弦定理得，可得， 因为，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，在中，因为，， 则点在以为弦的一个圆上， 由正弦定理可得外接圆的直径为，即， 当点在外部时，如图所示， 因为，可得，所以， 所以的长度为， 同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是， 所以动点的轨迹的长度为，故D正确． 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 当和时，函数分别取得极大值点、极小值点 C. 无最大值，有最小值 D. 当时，有三个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先考虑绝对值内式子的符号将整理成分段函数，然后对求导可判断；对于B，由在和点处的导数值和两侧的单调性可判断B，对于C，由在上的单调性和特殊点的函数值可判断.对于D，由在上的单调性和特殊点的函数值可判断. 【详解】， 对于A，当时，，， 所以在上单调递减，故A正确； 对于B，当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， 所以当时，函数取得极大值点， 当时，，，在上单调递增， 但不存在，所以当时，函数不是极小值点，故B错误； 对于C，当时，， 当时，，又， 的大致图象如图所示： 所以的值域为，所以有最小值，无最大值，故C正确； 对于D，当时，在上单调递增， 因为，所以，，所以在上有一个零点， 当时，，当时，， ，结合的大致图象可知，在上有一个零点，在上有一个零点， 综上，当时，有三个零点.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助两角和的正弦公式与辅助角公式化简原式可得，再利用整体思想结合二倍角公式及诱导公式计算即可得. 【详解】 ， 则， 故 . 故答案为：. 13. 已知向量，，，满足，，，，则在方向上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件结合向量数量积求出，现由投影向量的公式求在方向上的投影向量. 【详解】，，，， ， ， 则在方向上的投影向量为. 故答案为：. 14. 已知不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】把不等式，转化为，结合，进而得到的取值范围. 【详解】令，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 可得，即，所以， 由不等式，可得， 因为， 当且仅当时等号成立，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，其中，且. （1）求的通项公式. （2）设，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到时，，再由，结合等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，结合乘公比错位法求和，即可求解. 【小问1详解】 由，可得，则， 两式相减，可得，即， 又由，易知， 所以当时，， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，可得， 则， 所以， 两式相减得 ， 所以. 16. 如图，在四边形中，已知. （1）若，求的值； （2）若，四边形的面积为4，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）中求出BD，在中，由正弦定理求出，根据即可求； （2）在、中，分别由余弦定理求出，两式相减可得与的关系式；又由的与的关系式；两个关系式平方后相加即可求出﹒ 【小问1详解】 解：在中，∵，则 ∴． 在中，由正弦定理得，， ∴． ∵，∴， ∴． 【小问2详解】 解：在、中，由余弦定理得， ， ， 从而①， 由得， ②， 得，， ∴． 17. 已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程； （2）当时，判断的零点个数并说明理由； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）无零点，理由如下： 当时，，易知在单调递增，且， 存在唯一零点，满足， 且当时，单调递减， 当时，单调递增. 对两边取对数，得：， ， 无零点. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，直接求切线方程；（2）首先求导，并判断导数的单调性，以及利用零点存在性定理说明存在使，并利用导数判断函数的单调性，证明函数的最小值的正负，说明零点个数；（2）不等式等价于，构造函数，利用函数的单调性可知，利用参变分离的方法，求的取值范围. 【详解】（1）当时，，， ，切线方程为， 即 （2）略 （3）由题意得，，即， 即，易知函数单调递增，， 0 单调递增 极大值 单调递减 ，令，则，令得， 列表得， . 【点睛】关键点点睛：本题第三问考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键利用不等式等价于，并且通过观察不等号两边的形式，构造函数，并判断单调性，根据单调性解不等式，这样问题迎刃而解. 18. 已知函数，为的导函数． （1）设，求的单调区间； （2）若，证明：． 【答案】（1）的单调递增区间是；单调递减区间是； （2）要证，只需证：． 设，，则． 记，则． 当时，，又，，所以； 当时，，，所以， 又，，所以． 综上，当时，恒成立， 所以在上单调递增． 所以，，即， 所以，在上递增，则，证毕． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，解三角不等式则问题得解； （2）构造函数，通过二次求导，判断的单调性，即可求得的最小值，则问题得解. 【小问1详解】 由已知，， 所以，， 令，得，解得， 令，得，解得， 故的单调递增区间是； 单调递减区间是. 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查函数与导数及其应用等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是一道有一定难度的压轴题. 19. 我们规定：若数列为递增数列且也为递增数列，则为“—数列”. （1）已知：，，，数列，，中其中只有一个—数列，它是：__________（不需说明理由）；并从另外两个数列中任选一个证明其不是一数列； （2）已知数列满足：，，为的前项和，试求的通项并判断数列是否为—数列并证之； （3）已知数列、均为—数列，且，，求证：数列也为—数列. 【答案】（1）； 若选，下面证明不是数列. 证明：由，则 ，. 故，所以不是递增数列. 故不是数列； 若选，下面证明不是数列. 证明：由，则 ，. 所以不是递增数列. 故不是数列. （2）；不是，证明： 由， 故是以为首项，为公差的等差数列. 所以，则，. 即数列是递增数列，但不是递增数列，故不是数列. （3） 数列、均为数列，且，， 由题意可得，且，， 由不等式的性质可得，，又， 则，所以为递增数列，且有， 则， 故也是递增数列，故为数列. 【解析】 【分析】（1）结合幂函数的单调性，证明是—数列，举反例说明另外两个数列不是一数列； （2）由已知构造得，累加法求得，则是等差数列，求出，由定义判断数列是否为—数列； （3）由已知有，且，，利用不等式的性质，结合定义证明数列为—数列. 【小问1详解】 空格处填. 原因如下：因为，则，由幂函数与在上都是增函数， 由，故数列与都是递增数列，则为“数列”. 【小问2详解】 由可得， 所以， 设，则，，...，， 累加得， 又，故，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳一中2024秋期高三年级第二次月考 数学试题 一、填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 集合，若．则实数a的范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知、为非零向量，未知数，则“函数为一次函数”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为（　　） A. 2 020 B. 2 019 C. 1 D. －1 4. 已知向量满足，，若，则向量的夹角为（　　） A. B. C. 或π D. 或π 5. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列满足且的前项和为，则（ ） A. 是等差数列 B. 为周期数列 C. 成等差数列 D. 成等比数列 10. 已知 的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 在中，若，则 B. 若在线段上，且，，，，则的面积为8 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 当和时，函数分别取得极大值点、极小值点 C. 无最大值，有最小值 D. 当时，有三个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________. 13. 已知向量，，，满足，，，，则在方向上的投影向量为__________. 14. 已知不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，其中，且. （1）求的通项公式. （2）设，求的前项和. 16. 如图，在四边形中，已知. （1）若，求的值； （2）若，四边形的面积为4，求的值. 17. 已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程； （2）当时，判断的零点个数并说明理由； （3）若恒成立，求的取值范围. 18. 已知函数，为的导函数． （1）设，求的单调区间； （2）若，证明：． 19. 我们规定：若数列为递增数列且也为递增数列，则为“—数列”. （1）已知：，，，数列，，中其中只有一个—数列，它是：__________（不需说明理由）；并从另外两个数列中任选一个证明其不是一数列； （2）已知数列满足：，，为的前项和，试求的通项并判断数列是否为—数列并证之； （3）已知数列、均为—数列，且，，求证：数列也为—数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $