精品解析：安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考（11月）数学试题

六安一中2025届高三年级第三次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，其中i是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为 ，若，则（ ） A. 54 B. 63 C. 72 D. 135 3. 已知平面向量满足，，且．则向量与向量的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，已知，，，则n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知数列满足，且，则的最小值是（ ） A. -15 B. -14 C. -11 D. -6 6. 已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 数列的前n项和为，满足，则数列的前n项积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中最小项为 11. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，数列单调递减 B. 当时，数列单调递增 C. 当时，数列单调递减 D. 当时，数列单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______. 13. 已知数列中，，，则数列前2024项的和为__________. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为（）.已知，则的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等比数列{an}满足，． （1）求{an}的通项公式； （2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m． 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若，求的长. 17. 已知数列的前n项和为，. （1）求证：数列为等差数列； （2）在数列中，，若的前n项和为，求证：. 18. 设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列. （1）求证：，并求出数列的通项公式（用表示）； （2）设为实数，对满足且的任意正整数，不等式都成立，求证：的最大值为. 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若，且在R上恒成立，求的最大值； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2025届高三年级第三次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，其中i是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算可得，进而可求模长. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 已知等差数列的前项和为 ，若，则（ ） A. 54 B. 63 C. 72 D. 135 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出，再求出. 【详解】等差数列中，由，得，解得，而， 所以. 故选：B 3. 已知平面向量满足，，且．则向量与向量的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直得出向量的数量积，再由夹角公式计算即可. 【详解】因为，所以， 由可得， 所以，所以， 由知， 故选：C 4. 在等比数列中，已知，，，则n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由及通项公式，列出方程组求解即可. 【详解】在等比数列中，，，，所以， 由，及通项公式， 可得，解得. 故选：B. 5. 已知数列满足，且，则的最小值是（ ） A. -15 B. -14 C. -11 D. -6 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得出最小项为，利用迭代的思想即可求得. 【详解】∵，∴当时，，当时，，∴，显然的最小值是. 又，∴ ，即的最小值是. 故选：A 6. 已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 7. 数列的前n项和为，满足，则数列的前n项积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推公式求出，进而求出数列通项，借助单调性求解即得. 【详解】依题意，，，则，当时，， 两式相减得，即，因此数列是以512为首项，为公比的等比数列， 于是，显然数列单调递减，当时，，当，， 所以当或时，数列的前n项积最大，最大值为. 故选：B 8. 已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得点轨迹是以为圆心，半径为的圆，再由直线与圆相切可得的最大值为. 【详解】根据，可得， 即可得； 即可知点轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示： 由图可知，当与圆相切时，取到最大， 又，可知此时. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出，，三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断. 【详解】设，， ，， ，， 对于A，，故选项A正确； 对于B， ，，故选项B正确； 对于C，， 当时，，故选项C错误； 对于D， ， 可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误. 故选:AB. 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中最小项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用关系及等差数列通项公式得判断A；根据已知及A项分析得，进而确定的符号判断C；根据A、C项分析确定数列正负分界项，再由等差数列前n项和确定对应n的最小值判断B；根据以上分析确定各项符号判断D. 【详解】根据题意：，即， 两式相加，解得，当时，最大，故A正确； 由，可得，所以， 故， 所以，故C错误； 由以上可得：， ，而， 当时，；当时，； 所以使得成立的最小自然数，故B正确. 当或时；当时； 由， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，数列单调递减 B. 当时，数列单调递增 C. 当时，数列单调递减 D. 当时，数列单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】由等差数列得，然后在或分别确定的单调性判断AB，进行讨论判断各选项．再由或确定的范围，从而确定的单调性判断CD． 【详解】数列是各项为正数的等比数列，则公比为， 由题意，得， 时，，有，，数列单调递增，A选项错误； 时，，，若数列单调递增，则， 即，由，需要，故B选项错误； 时，，解得， 时，，由，若数列单调递减，则， 即，而 不能满足恒成立，C选项错误； 时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：本题数列的单调性，解题方法是利用等差数列的定义确定与的关系，利用此关系通过的范围确定的单调性，同样根据的大小确定的范围，再得单调性． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______. 【答案】91 【解析】 【分析】方法一：利用等比数列前项和的性质即可求解；方法二：利用等比数列前项和的公式，代入计算即可求解. 【详解】方法一：等比数列中，，，成等比数列， 则，，成等比数列，∴，∴， ∴. 方法二：设公比为，由题意显然且,所以， ∴， 故答案为：. 13. 已知数列中，，，则数列前2024项的和为__________. 【答案】2024 【解析】 【分析】利用数列的周期性可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， ，，， 所以数列是周期为4的周期数列， 且， 所以. 故答案为：2024. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为（）.已知，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到、，再应用和角正弦公式、倍角公式，将目标式化为，应用换元法及导数研究其最大值即可. 【详解】由，则，， 所以或，而，且，即， 所以，且，即， ， 令，则，， 当时，则在上递增； 当时，则在上递减； 故为的极大值点， 的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等比数列{an}满足，． （1）求{an}的通项公式； （2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式； （2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 根据题意，有，解得， 所以； （2）令， 所以， 根据，可得， 整理得，因为，所以， 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目. 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若，求的长. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)变形后利用余弦定理可求； (2)先将代入可得，再将代入得，联立方程组解得，由此将向量用表示，求解向量的模可得. 【小问1详解】 由得， 则由余弦定理得， ，. 【小问2详解】 由，解得①， ，，则②， 联立①②可得，，或. ，， 则，且， 所以， 当时，，则长为； 当时，，则长为. 综上所述，的长为或. 17. 已知数列的前n项和为，. （1）求证：数列为等差数列； （2）在数列中，，若的前n项和为，求证：. 【答案】（1） 因为， 所以，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. （2） 由（1）知：， 则， 又，所以， 所以 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式，结合等差数列的定义即可得证； （2）利用（1）中结论求得，进而利用累乘法求得，再利用裂项相消法求得，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列. （1）求证：，并求出数列的通项公式（用表示）； （2）设为实数，对满足且的任意正整数，不等式都成立，求证：的最大值为. 【答案】（1） 由题意知：，， 因为，则，所以， 则， 整理得，则， 所以， 当时，，适合情形. 所以. （2） 由，得，则， 所以恒成立， 又且，为正整数， 所以，则，故， 当时，， ， 由不等式可得，即， 当且仅当时，等号成立，而，故， 故，故的最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式得到关于的关系式，再利用题设条件得到关于的方程，进而依次求得，从而得解； （2）利用（1）中结论与完全平方公式求得，再利用基本不等式检验时的情况，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若，且在R上恒成立，求的最大值； （3）设，证明：. 【答案】（1） 令，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，单调递增，则，即； （2） （3） 由（1）知，， 令，则，即， 设，则满足， 所以，即， 所以， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）不等式成立转换为函数最小值问题，利用导函数求得到点区间，从而得出最小值，不等式得证； （2）构建函数，利用导函数求得单调区间，从而找到最小值，由题意得到不等关系，再令所求代数式为函数，借助导函数求得最大值； （3）由（1）中结论，对变量进行合理转化构建出不等关系，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，； 由得出；由得出； ； ，， 令，；， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，，的最大值为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：不等式成立问题： （1）通过令两项的差为函数关系，再利用函数单调性求出函数的最值的方式来解决； （2）多项求和的不等关系的证明，可以先找到某一项的不等关系，再求和得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $