精品解析：上海市川沙中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市川沙中学2024学年度高一第一学期期中考试 命题人：曹伟春 审题人：李昆 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 用适当符号填空： 1________ 2. 已知集合，则下图阴影部分表示的集合是________． 3. 已知，为正数，化简_______． 4. 已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围是_________. 5. 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________. 6. 若，则________ 7. 若关于x的不等式的解集为，则实数________ 8. 不等式的解为________ 9. 关于x的不等式对于任意恒成立，则k的取值范围是________ 10. 已知集合，若，且，则实数的取值范围是__________． 11. 若关于x的不等式的解集为若，试探究的值，则的最小值为______ 12. 设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为________ 二、选择题（每小题3分，共12分 13. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 14. 下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 若正实数x、y、z满足，则当最大时，的最大值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 三、解答题（共52分，8+8+10+12+14） 17. 已知不等式的解集为或或． （1）求实数a，b的值； （2）解不等式． 18. （1）已知集合，若，求实数t的取值范围； （2）已知集合{对任意恒成立}，，求. 19. 某企业在现有设备下每日生产原先成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本（总成本为原先成本和除尘费用之和）为142万元． （1）求k的值： （2）求引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的成本最小，并求出最小值． 20. 已知关于x不等式的解集为A，其中． （1）当时，求集合A； （2）当时，求集合A； （3）是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知集合，其中.定义：若对任意的，必有，则称集合A其有性质G.由A中元素可构成两个点集P和，，其中P有m个元素，Q中有n个元素. （1）已知集合，判断K是否具有性质G；由题意可知K对应的集合P为，写出K对应的集合Q； （2）若集合，求对应集合Q的元素个数，若集合A有k个元素，猜测对应的集合Q的元素最大个数，并说明理由； （3）若集合B具有性质G，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市川沙中学2024学年度高一第一学期期中考试 命题人：曹伟春 审题人：李昆 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 用适当符号填空： 1________ 【答案】 【解析】 【分析】由元素与集合的关系可得答案. 【详解】因为是集合中的一个元素, 所以. 故答案为：. 2. 已知集合，则下图阴影部分表示的集合是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦恩图及集合交、补运算求集合即可. 【详解】由题图知：阴影部分为，而或， 所以. 故答案为： 3. 已知，为正数，化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算公式即可求出结果. 【详解】原式． 故答案为：． 4. 已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据必要不充分条件的概念，结合题中条件，可直接得出结果. 【详解】∵，，是的必要不充分条件， ∴是的真子集，因此，即a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛： 根据命题的充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 5. 已知集合有且仅有两个子集，则实数__________. 【答案】1或 【解析】 【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可. 【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解， ①当时，，满足题意； ②当时，，所以， 综上所述，或. 故答案为：1或. 6. 若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据根式的性质以及平方的性质可化简集合,即可根据交集的定义求解. 【详解】由可得， 故， 故答案为： 7. 若关于x的不等式的解集为，则实数________ 【答案】 【解析】 【分析】不等式可化为，对分等于，大于，小于三种情况进行讨论即可. 【详解】由不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为，符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 综上，实数. 故答案为：. 8. 不等式的解为________ 【答案】 【解析】 【分析】由，所以，解分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为：. 故答案为：. 9. 关于x的不等式对于任意恒成立，则k的取值范围是________ 【答案】． 【解析】 【分析】根据的范围分类讨论可得． 【详解】即时，原不等式为，恒成立， 时，原不等式恒成立，则，解得， 综上，， 故答案为：． 10. 已知集合，若，且，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先解分式不等式，即可得出集合，再由，且，即可求出实数的取值范围. 【详解】由可得：，解得：， 所以， 因为，且， 所以. 故答案为：. 11. 若关于x的不等式的解集为若，试探究的值，则的最小值为______ 【答案】##2.25 【解析】 【分析】利用三个二次的关系得出方程有两个相异的正实根，求出的范围，推得，再利用常值代换法和基本不等式即可求得所求式的最小值. 【详解】由题意，可得方程有两个相异的正实根， 故有解得. 则，. 则， 当且仅当时，即时等号成立. 由可解得，于是， 即当时，取得最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于先通过三个二次的关系，推出为定值，并利用根的判别式求出的范围，再由“1”的妙用构建基本不等式的条件即可求出最值. 12. 设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为________ 【答案】 【解析】 【分析】记最大值与最小值的差为，的值分别为，根据的值分类讨论确定的值及与之对应的集合的个数．然后由平均数定义计算． 【详解】由已知集合的非空子集有个， 其中一元集有7个，，的和为， 记最大值与最小值的差为，的值分别为，其中是上面的一元集， 的集合有6个：中相邻两个元素构成的集合，，的和为， 的集合有个：如，之类的，，每个值对应两个集合，的和为， 的集合有个：如之类的， ，每个值对应4个集合，的和为， 的集合有个，，的和为， 的集合有个，，的和为， 的集合有个，，的和为， 所以所求平均数为． 故答案为：． 二、选择题（每小题3分，共12分 13. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 14. 下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质及特例逐个判断即可. 【详解】对于A，当时，不成立； 对于B，取，满足，显然不成立； 对于C，取，满足，显然不成立； 对于D，由，可得，所以成立. 故选：D 15. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件、必要条件概念判断即可. 【详解】由可得或， 所以由绝对值的几何意义可知或， 所以不能推出，能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 16. 若正实数x、y、z满足，则当最大时，的最大值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由条件等式求出，将化成，利用基本不等式可求得其最大值，得出等号成立条件：和，代入所求式，整理成二次函数，即可求出其最大值. 【详解】由，可得， 则， 因，， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，取得最大值为3. 由， 即当时，取得最大值. 故选：A. 三、解答题（共52分，8+8+10+12+14） 17. 已知不等式的解集为或或． （1）求实数a，b的值； （2）解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）得到为方程的两根，由韦达定理得到方程，求出； （2）分式不等式转化为，求出不等式解集. 【小问1详解】 由题意得为方程的两根，且， 故，解得； 【小问2详解】 由（1）得， ， 等价于，解得， 不等式解集为 18. （1）已知集合，若，求实数t的取值范围； （2）已知集合{对任意恒成立}，，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，是的子集，列出不等式组可得实数t的取值范围； （2）分别利用绝对值不等式和分式不等式的性质求两个集合，再求交集即可. 【详解】（1）根据题意，，， 又，所以是的子集， 则，得， 所以实数t的取值范围为. （2）因为,当且仅当取等号， 所以的最小值为7,所以,即 因为 所以即,,即,即， 所以或,即， 所以. 19. 某企业在现有设备下每日生产原先成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本（总成本为原先成本和除尘费用之和）为142万元． （1）求k的值： （2）求引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的成本最小，并求出最小值． 【答案】（1）1 （2）日产量8吨时，每吨产品的成本最小44万元 【解析】 【分析】（1）求出除尘后的函数关系式，利用当日产量时，总成本为万元，代入计算即可； （2）引进除尘设备后，每吨产品的成本为，利用基本不等式求出最值，得到答案. 【小问1详解】 该企业引进了除尘设备， 每日生产总成本h（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的关系为 ， 当日产量时，总成本为万元，代入得， 【小问2详解】 由（1）知，， 所以每吨产品的成本为， 当且仅当，即时，取等号， 所以引进除尘设备后日产量为8吨时，每吨产品的成本最小，且最小值为44万元. 20. 已知关于x不等式的解集为A，其中． （1）当时，求集合A； （2）当时，求集合A； （3）是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或； （2） 时,，且时,或，时,. （3）存在不等式的解集A中只有有限个整数，整数个数最少. 【解析】 【分析】（1）应用不含参的一元二次不等式的解法求解集； （2）讨论、，结合求含参一元二次不等式的解集； （3）根据（2），解集中整数解个数有限有，再结合即可判断整数个数最少的对应k值. 【小问1详解】 由题设，可得或，则或； 【小问2详解】 当，则，可得，此时； 当，则，而，当且仅当时取等， 若，即时，原不等式解集为； 若，即时，原不等式解集为或； 综上，时，且时或，时. 【小问3详解】 由（2），时中整数解均为无数个， 当时，，不等式的解集A中只有有限个整数， 此时，当且仅当时取等号， 所以，故， 要使中整数解最少，只需即可， 所以，存在使解集A中有有限个整数且最少. 21. 已知集合，其中.定义：若对任意的，必有，则称集合A其有性质G.由A中元素可构成两个点集P和，，其中P有m个元素，Q中有n个元素. （1）已知集合，判断K是否具有性质G；由题意可知K对应的集合P为，写出K对应的集合Q； （2）若集合，求对应集合Q的元素个数，若集合A有k个元素，猜测对应的集合Q的元素最大个数，并说明理由； （3）若集合B具有性质G，证明：. 【答案】（1）具有性质，对应集合 （2）45，猜测个数为，理由如下： ， 则对应集合Q中的元素为： ， ， ， ， ， 共有个元素，即对应集合Q的元素个数45； 集合A有k个元素，猜测对应的集合Q的最大个数为. 理由如下： 由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个， ∵，∴ 又∵时，，∴时候，， ∴集合的元素个数为个， （3）证明：当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知 【解析】 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合； （2）直接根据定义写出中的元素，得出元素个数，再根据定义，探讨出与的关系式； （3）分和两种情况，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，从而得到答案. 【小问1详解】 因为，都不属于集合， 所以集合具有性质，对应集合 【小问2详解】 集合的元素个数为个，理由略； 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $