江苏省前黄高级中学2024-2025学年高三上学期十月检测数学试卷

36740:uId:36740 1 一、单选题：共8小题，计40分 1．设复数 z 在复平面内对应的点的坐标为( )7, 1- ，则1 i z  的模为（ ） A．2 2 B．5 C．5 2 D． 2 5 2.从装有红球、白球和黑球各 2 个的口袋内一次取出 2 个球，有如下的一些事件：①两球 都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球” 互斥而非对立的事件是（ ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 3．已知函数  2 3f x  的定义域为 2,3 .记  f x 的定义域为集合  , 2 1xA f  的定义域为集合 B .则“ x A ”是“ x B ”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知   2 30 1 2 31 2 n n nx a a x a x a x a x       ，随机变量 2( , )N   ，其正态密度曲线 如图所示，若    1 2 a E D a   ，则 n的值为（ ） A．5 B．8 C．9 D．14 5．已知向量 ,a b   满足 2 2a b a b       ， 2 5a b    ，则 2a b   的值为（ ） A．2 2 B． 5 C．8 D．5 6．在△ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 1 1 6 tan tan tanA B C   ， cos b a k C a b   ， 则实数 k的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知正三棱锥 P ABC 的外接球O的表面积为36 ，侧棱 3 2PA  ，点D为 AB的中点， 过点D作球O的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ） A． 21 π,9π 4      B． 27 π,9π 4      C． 21π,36π D．  27π,36π 1121850:fId:1121850 2 8．已知  , , exa b f x ax b   R ，若  e 1f x  恒成立，则 b aa  的取值范围是（ ） A． 0, B． 1, C． 2,  D．  1,  二、多选题（共3小题，计18分） 9．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、 21、14，现采用分层抽样的方法从中 抽取7 人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7 人中有5人对此感兴趣，有 2 人不感兴趣，现 从这7 人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用 X 表示抽取的3人中感兴趣的学生人数， 则（ ） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、 2人 B．随机变量 57, 7 X B       C．随机变量 X 的数学期望为 15 7 D．若事件 A表示“抽取的 3 人都感兴趣”，则   2 7 P A  10．如图，在正四面体 ABCD中，已知 2AB  ，O为棱 AB的中点. 现将等腰直角三角形EAB 绕其斜边 AB旋转一周（假设 EAB 可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正 确的是（ ） A．三角形 EAB绕斜边 AB旋转一周形成的旋转体体积为 3  B． ,O C D E, , 四点共面 C．点 E到CD的最近距离为 3 1 D．异面直线CD与 AE所成角的范围为[ , ] 4 2   11．下列各个选项结果为 1 的有（ ） A． 1tan 12 tan 12   的值； B． 32(cos cos ) 5 5    的值； C．当 1, 1x y  ， 2 log 2 log 3 0x yy x   时， 2 24 5x y  的最小值； D．当 1sin cos 4    时， 1 cos sin 2   的最大值与最小值的差； 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题 纸的指定位置上 12．在△ ABC中，AD为中线，AD = 3，BC = 2，则 AB AC   等于 . 13．已知函数   , 0 1, ln , 1, x x f x x x      若存在实数 1 2,x x 满足 1 20 x x  ，且    1 2f x f x ，则 1 2 1x x  eyurp :uId: eyurp 3 的取值范围为 . V 14．如图所示，四面体 ABCD的体积为V ，点M 为棱 BC 的中 点，点 E 为线段DM 上靠近D的三等分点，点 F 为线段 AE 上靠 近 A的三等分点，过点 F 的平面 α与棱 AB, AC, AD 分别交于 P,Q, R ，设四面体 APQR 的体积为V ′，则 V ′ 的最小值为 . 四、解答题（本大题共5小题，77分，答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13 分） 如图，已知函数     π2sin 0, 2 f x x    =       的图象过点  0,1A 和    0 0, 2 0B x x  ，且满足 13AB  . （1）求  f x 的解析式；（2）当 1 ,1 4 x      时，求函数  f x 值域. 16．（15 分） 算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九 qqwqitp :fId: qqwqitp 4 至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简 称上珠）代表 5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表 1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠 的大小.（例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字 15.）现将算盘的 个位、十位、百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上. (1)设事件 A为“表示的三位数能被 5 整除”，B为“表示的三位数能被 3 整除”.分别求事件 A， B发生的概率. (2)求随机变量“表示的三位数除以 3 的余数（能整除时记余数为 0）”的概率分布列及数学 期望. 17.（15 分） 已知边长为 4 的菱形 ABCD（如图 1）， 3 BAD   ，AC与 BD相交于点O，将三角形 ABD EYURP :uId: EYURP QQWQITP fId: QQWQITP 2024-10-18T08:51:39.197332 5 沿 BD折叠成三棱锥 A BCD  使得 2 3A C  （如图 2）, E为线段 AO 上一点，. （1）求三棱锥 A BCD  的体积； （2）若二面角 B CE O  的余弦值为 3 61 61 ，求OE长. 18．（17 分） 已知△DEF 为等边三角形，点 , ,A B C分别是线段DE、EF、DF上的动点； 6 (1) 若 ABCV 为锐角三角形，且满足 sin( ) sin( ) cos cos A B A C B C    , sin 1BC C  ， ①求证： B C ； ②求 2 2 2 1 1 1 AAB BC C   的最大值； (2)若 60BAC  ； 3AC  ，试问当 AB长为多少时，DE的长取得最大值2 7． 19．（17 分） 已知函数 ( ) e ex xf x ax   . （1）当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在 0x  处的切线方程； （2）若 2a  ， 1x  ，求证： ( ) 3cosf x x ； （3）当 4a  时，令 1( ) e [ 1 ( )] 2 2 x ag x f x   ，曲线 ( )y g x 的图像在 x m ， ( )x n m n  处 切线的斜率相同，记 ( ) ( )g m g n 的最小值为 ( )h a ，求 ( )h a 的最小值. 36740:uId:36740 7 数学参考答案 1.B 2.D 3．C 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．ACD 10．BD 11．BC 12．8 13． 2 ,1 e     14． 1 54 15.（13 分） 如图，已知函数     π2sin 0, 2 f x x           的图象过点  0,1A 和    0 0, 2 0B x x  ，且满足 13AB  . （1）求  f x 的解析式；（2）当 1 ,1 4 x      时，求函数  f x 值域. 解：（1）由  0,1A ，    0 0, 2 0B x x  ， 13AB  得 20 0 09 13, 0, 2x x x   则 ……2 分 又     1 π π0 1, sin 2 2 6 f      即 ， 得 ……………………………………4 分 由   π π 3π 2π2 2, sin 2 1 2 6 6 2 3 f               得 ， 从而 解得 ………………7 分   2 π2sin 3 6 f x x       …………………………………………………………8 分 （2） 1 2 5,1 0, 4 3 6 6 x x                 故  2π πsin 0,1 3 6 x      ，    2π π2sin 0,2 3 6 f x x       ，即    0,2 .f x 的值域为 ……………………………13 分 16．（15 分） 解：将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上，因此各位上数字可以 是 1、2、5、6，三位数的个数是 34 64 ， 要使得组成的三位数能被 5 整除，则只需个位数是 5 即可， 而这些数中个位数是 5 的数的个数为 24 16 ， 所以事件A发生的概率   16 64 4 1P A   .…………………………………………………………3 分 要使得组成的三位数能被 3 整除， 则数字组合有 126，156，225，552，111，222，555，666 共 8 种，因此满足条件的三位数 有 3 1 3 32 2 4 22A A   个， 1121847:fId:1121847 8 所以事件 B发生的概率   64 32 22 11P B   . 故   4 1P A  ，   1 32 1P B  .…………………………………………………………4 分 （2）记三位数除以 3 的余数为 X，则 X 的可能取值为 0,1,2，由（1）知   32 10 1P X   X=1 时数字组合有 256，112，115，226， 556，661 共 6 种， 因此被 3 整除余 1 的三位数有 3 13 35 21A A  个，所以   211 64 P X         212 0 1 64 1 XP XP X P    X 的概率分布列为 X 0 1 2 P 11 32 21 64 21 64 数学期望   4 21 21 6 11 630 1 2 6 6432 4 E X        17.（15 分） 解：（1）在菱形 ABCD中，BD AC ，折叠后 BD A O ，BD CO ，又 A O CO O  ， ,A O CO A CO 平面 ，所以 BD A CO平面 ， 又 BD BCD平面 ，所以 BCD A CO平面 平面 ， 由 2 3A O A C CO    可知， 3 A OC   ，过 A作 A H CO  于H，由 BCD A CO平面 平面 ， BCD A CO CO 平面 平面 ， A H A CO 平面 ，所以 A H BCD 平面 ， 又因为 3A H  ，三棱锥 A BCD  的体积为 1 1 4 3 3 4 3 3 3BCD S A H       …………7 分 （2）以 ,OB OC   为 x 轴，y 轴正方向，在 A CO平面 中过O作Oz OC轴 ，建立如图所示 直角坐标系，则 (2,0,0), (0, 2 3,0), (0, 3,3)B C A ， ( 2, 2 3,0)BC    ，设 (0, 3 ,3 ),0 1OE OA         ，所以 ( 2, 3 ,3 ),BE     易知 (2,0,0)OB   是 A CO平面 的法向量；设 BCE平面 的法向量为 ( , , )n x y z  ， 所以 2 2 3 0 2 3 3 0 n BC x y n BE x y z                   ，取 (3 , 3 , 2 )n      ， eyurp :uId: eyurp 9 由二面角 B CE O  的余弦值为 3 61 61 可知 2 2 2 6 3 61cos , 612 9 3 (2 ) OB n               ，即 212 1 0    ，又0 1  ， 解得 1 1, ( ) 4 3     舍去 ，此时 1 3 4 2 OE OA  .……………………15 分 18．（17 分） 已知△DEF 为等边三角形，点 , ,A B C分别是线段DE、EF、DF上的动点； (2) 若 ABCV 为锐角三角形，且满足 sin( ) sin( ) cos cos A B A C B C    , sin 1BC C  ， ①求证： B C ； ②求 2 2 2 1 1 1 AAB BC C   的最大值； (2)若 60BAC  ； 3AC  ，试问当 AB长为多少时，DE的长取得最大值2 7． 【详解】（1）①证明：因为 sin( ) sin( ) cos cos A B A C B C    ，所以 sin( ) cos sin( ) cosA B C A C B   . 所以 sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin cosA B C A B C A C B A C B   . 所以 cos sin cos cos sin cosA B C A C B . 因为A为锐角，即 cos 0A  ，所以sin cos sin cosB C C B . 所以 tan tanB C，所以 B C . ② ABC 中，由正弦定理 sin sin sin 2 sin a b a b A B B B  得 ，即 , 1 , ( , ). 2sin cos sin 2cos 2sin cos 4 2 a b ab B B B B B B B     即 ，故 由①知 1 2sin cos c b B B  2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 1 1 sin 8sin cos sin 8sin (1 sin ) 9sin 8sinB B B B B B B B a b c            令 2 2 2 2 2 1 1 1 9 81 81sin , ( ,1), 9 8 8( ) 2 16 32 32 B t t t t t a b            (当且仅当 9 16 t  时取 ”“ )， max2 2 2 1 1 1 81( ) 32a b c     . （2） π 3 A  ， 3b  ，因为 π 3 CAB  ，所以 2π 3 DAC BAE   ， 因为 2π 3 DAC ACD   ，所以 ACD BAE  ， qqwqiru :fId: qqwqiru 数学答案 0 设 ACD BAE     ，则 2π 3 ABE   ， 在 ACD 中，由正弦定理得 sin sin AC AD D ACD   ，所以 3 π sinsin 3 AD   ，得 3 sinπsin 3 AD   ， 在 ABE 中，由正弦定理得 sin sin AB AE E ABE   ，所以 π 2πsin sin 3 3 c AE        ， 得 2πsinπ 3sin 3 cAE       ， 所以 3 2πsin sinπ π 3sin sin 3 3 cDE AD AE           1 2π 1 2π 2π3 sin sin 3 sin sin cos cos sinπ π3 3 3sin sin 3 3 c c c                        221 1 3 1 1 33 sin cos 3 sinπ π2 2 2 2sin sin 3 3 c c c c                               ， 其中 3 2tan 13 2 c c    ，所以当  sin 1   时，DE取得最大值， 所以 221 1 33 2 7π 2 2sin 3 c c              ， 所以 2 3 3 21c c   ，所以 2 3 3 21c c   ， 即 2 3 18 0c c   ，所以   2 3 3 3 0c c   ， 解得 2 3c  或 3 3c   （舍去），所以当 2 3c  时，DE取得最大值 2 7． 19．（17 分） 已知函数 ( ) e ex xf x ax   . （1）当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在 0x  处的切线方程； （2）若 2a  ， 1x  ，求证： ( ) 3cosf x x ； （3）当 4a  时，令 1( ) e [ 1 ( )] 2 2 x ag x f x   ，曲线 ( )y g x 的图像在 x m ， ( )x n m n  处 切线的斜率相同，记 ( ) ( )g m g n 的最小值为 ( )h a ，求 ( )h a 的最小值. 解：（1）当 1a  时， ( ) e e , (0) 1x xf x x f    ， ' '( ) e e e , (0) 2x x xf x x f      EYURP :uId: EYURP QQWQIRU :fId: QQWQIRU 2024-10-18T08:51:40.682984 11 ( ) 0 2 1.y f x x y x    在 处的切线方程为 （1） 若 2a  ， 1x  时， ( ) e e e 2 ex x x xf x ax x     令 2 ' (e ) (2 2 )( ) e 2 e , ( ) e (2 2 )e x x x x x x xh x x h x x e         则 令 '( ) e 1, ( ) e 1x xx x x     则 ' '0 ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0, ( )x x x x x x      当 时， 单调递增；当 时， 单调递减； ( ) (0) 0 e 1xx x     ，即 2 2 2 21 e ) ( 1) e ) 2 1 0x xx x x x      又 ，所以( 即( 2 '(e ) (2 2 ) 2, ( ) 0x x h x    即 ( ) e 2 ex xh x x    在[1,+ )上单调递增， 2( ) ( ) (1) 3 3cosf x h x h e x e        （3） 21( ) e [ 1 ( )] ( 1) 2 2 2 2 2 x x xa e a axg x f x e        ' 2( ) ( 1) ( )( 1) 2 2 2 x x x xa a ag x e e e e         ，又 4, ln 0 2 aa    ' '( ,0) (ln , ) ( ) 0, (0, ln ) ( ) 0, 2 2 a ax g x x g x      当 时， 当 时， ( ) ( ,0) (ln , ) 0 ln 2 2 a ag x  在 和 上单调递减，在（ ， ）上单调递增 由题意 ' '( ) ( ) 1 2 m n ag m g n e e   得 21( ) ( ) ( 1) ( ) 2 2 2 m na ag m g n e m n       1 2 2 m n m nae e e e   由 2( 1) 2 4 m nm n a e    又 ，则0 记 2( 1) 2(0, ) 4 m n a t e     ，则 2 1( ) ( ) ( ) ( 1) ln 2 2 2 a ag m g n F t t t      ' ( ) 1 , 2 aF t t   12 2 ' ' ( 1) 2(0, ) ( ) 0, ( ) ( , ) ( ) 0, ( ) 2 2 4 a a at F t F t t F t F t     当 时， 单调递减；当 时， 单调递增 21( ) ( ) ( 1) ln 2 2 2 2 2 2 a a a a ah a F      14 '( ) ( ln 1) 0 2 2 2 a aa h a    时， min 13( ) ( ) (4) 2 ln 2 2 h a h a h   单调递增，