2024-2025学年九年级上学期数学第9周阶段性训练模拟练习

江苏连云港市海滨中学2024-2025学年九上数学第9周阶段性训练模拟练习 一．选择题（共8小题） 1．周长相等的正方形与正六边形的面积分别为S1、S2，S1和S2的关系为（　　） A．S1＝S2 B．S1：S2＝3：16 C．S1：S2＝：3 D．S1：S2＝：2 2．配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论： ①用配方法解方程x2﹣8x﹣10＝0，变形后的结果是（x﹣4）2＝26； ②已知方程x2﹣8x+q＝0可以配成（x﹣4）2＝12，那么x2﹣8x+q＝3可以配成（x﹣4）2＝9； ③若关于x的方程（x﹣2）2＝k有实数根，则k≥0； ④若x2+ax+9可以配成形如（x+m）2的形式，则a＝6； ⑤用配方法可以求得代数式x2﹣6x+10的最小值是1． 其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．矩形纸片ABCD的边AD＝10，AB＝4，将其折叠，使点D与点B重合，则折叠后DE的长为（　　） A．4 B．5.8 C．4.2 D．5 4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　） A．45° B．55° C．60° D．75° 6．根据下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 … 4 5 6 x2﹣bx﹣5 13 5 ﹣1 … ﹣1 5 13 确定方程x2﹣bx﹣5＝0的解的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5 B．﹣2＜x＜﹣1或5＜x＜6 C．﹣3＜x＜﹣2或5＜x＜6 D．﹣3＜x＜﹣2或4＜x＜5 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 8．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c 二．填空题（共6小题） 9．已知x＝a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解，则代数式a2﹣2a的值为 　 　． 10．某种商品原价每件130元，经过两次降价，现售价每件83.2元．若设该种商品平均每次降价的百分率是x，根据题意，可得方程 　 　． 11．如图，已知点P是二次函数y＝﹣x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点．若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出点P的坐标 　 　． 12．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0必有一根为　 　． 13．已知（x﹣2）（2x+1）＝0，则2x+1的值为　 　． 14．定义符号min{a，b）的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b当a＜b时，min{a，b}＝a，如：min{1，﹣2）＝﹣2，min{﹣3，﹣2）＝﹣3，则方程min{x，﹣x}＝x2﹣1的解是　 　． 三．解答题（共10小题） 15．某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下： 购票人数 收费标准 不超过30人 400元/人 超过30人 每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元 某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有x人． （1）当x＝33时，该公司应支付 　 　元的购票费用； （2）若共支付14000元的购票费用，求观看演出的员工的人数． 16．“转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解二元一次方程组，把它利用消元法转化为一元一次方程；解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如： 解无理方程＝2 解：方程两边同时平方，得：x+1＝4， 解这个一元一次方程，得：x＝3， 检验：当x＝3时，左边＝＝2＝右边， 所以，x＝3是原方程的解． 通过“方程两边平方”，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验． 通过上面的学习，请解决以下两个问题： （1）解无理方程：＝x； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（5，3），∠OAB＝∠B＝90°，OC+BC＝7，求点C的坐标． 17．小华同学学习了课本1.4节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究．请你和他一起解决以下几个问题： 问题6如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动． （1）几秒钟后点P、Q的距离为4？请说明理由； （2）几秒钟后∠DQP为直角？请说明理由； （3）当BP＝BQ时，Rt△PBQ内有一个动点M，连接PM、QM、BM．若∠BOM＝∠MBP，线段PM的最小值为 　 　． 18．已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 19．已知关于x的方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0． （1）求证：无论m为何值，方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是﹣1，请求出m的值和方程的另一个根． 20．新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元． （1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买多少盆B种花苗，B种花苗每盆就降价多少元．若九年级一班的同学本次购买花苗共花费了256元，请计算出本次购买了A、B两种花苗各多少盆？ 21．平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，4）、C（12，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒4个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值． （2）当t为何值时，△PQB为直角三角形． 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m是正整数，求关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0的根． 23．某水晶饰品商店购进300个饰品，进价为每个6元，第一天以每个10元的价格售出100个，第二天若按每个10元的价格销售仍可售出100个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出25个，但售价不得低于进价） （1）若商家想第2天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？ （2）单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批饰品共获得625元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？ 24．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件． （1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？ （2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：设正方形的边长为3a，则正六边形的边长为2a， ∴S1＝（3a）2＝9a2． ∵正六边形的边长为2a， ∴把正六边形分成六个小正三角形，其高为＝a， ∴S2＝6××2a×a＝6a2． ∵S1：S2＝9a2：6a2＝：2， 故选：D． 2．【解答】解：①x2﹣8x﹣10＝0， x2﹣8x＝10， x2﹣8x+16＝10+16， （x﹣4）2＝26 故此选项结论正确，符合题意； ②x2﹣8x+q＝0可以配方变形为：（x﹣4）2＝﹣q+16， ∵方程x2﹣8x+q＝0可以配成（x﹣4）2＝12， ∴﹣q+16＝12， ∴q＝4， ∴x2﹣8x+q＝3即为x2﹣8x+4＝3， ∴x2﹣8x＝﹣1， x2﹣8x+16＝﹣1+16， （x﹣4）2＝15， ∴x2﹣8x+q＝3可以配成（x﹣4）2＝15， 故此选项错误，不符合题意； ③若关于x的方程（x﹣2）2＝k有实数根，则k≥0， 此选项正确，符合题意； ④若x2+ax+9可以配成形如（x+m）2的形式， 则x2+ax+9＝（x+m）2＝x2+2mx+m2， ∴m2＝9，a＝2m， ∴m＝±3，a＝±6， 此选项错误，不符合题意； ⑤x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1， ∴x2﹣6x+10的最小值是1， 选项正确，符合题意； 故选：B． 3．【解答】解：设ED＝x，由翻折的性质可知：ED＝BE＝x，则AE＝10﹣x． Rt△ABE中，由勾股定理可知：BE2＝AB2+AE2， 即x2＝42+（10﹣x）2． 解得：x＝5.8． 则DE＝5.8． 故选：B． 4．【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D， ∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB， ∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD， ∵△PMN周长的最小值是8cm， ∴PM+PN+MN＝8， ∴DM+CN+MN＝8，即CD＝8＝OP， ∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠AOB＝30°， 故选：A． 5．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， 又∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°， ∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°， 又∵∠BAC＝45°， ∴∠BFC＝45°+15°＝60°． 故选：C． 6．【解答】解：由表格得：x＝﹣2时，x2﹣bx﹣5＝5，x＝﹣1时，x2﹣bx﹣5＝﹣1； x＝4时，x2﹣bx﹣5＝﹣1，x＝5时，x2﹣bx﹣5＝5， 可得方程x2﹣bx﹣5＝0的解取值范围是﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5． 故选：A． 7．【解答】解：过D点作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，如图， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠BCD， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠BCD＝∠B， ∴CD＝BD＝3， ∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF ∵S△CAD：S△CBD＝AD：BD＝2：3， ∴DE•AC：DF•BC＝2：3， ∴AC：BC＝2：3， 设AC＝2x，BC＝3x， ∵DB＝DC， ∴CF＝BF＝BC＝x， 在Rt△CDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL）， ∴CE＝CF＝x， ∴AE＝x， ∵DE2＝DA2﹣AE2＝CD2﹣CE2， ∴22﹣（x）2＝32﹣（x）2，解得x＝， ∴AC＝． 另一种解法：∵∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB， ∴∠B＝∠ACB，∠BCD＝∠ACB， ∴∠B＝∠BCD， ∵∠ADC是△BCD的外角， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝2∠B， ∴∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵AD＝2，BD＝3， ∴， 解得：AC＝． 故选：B． 8．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝0， 又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c， 代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0， 即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0， ∴a＝c． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．【解答】解：将x＝a代入x2﹣2x﹣3＝0， ∴a2﹣2a﹣3＝0， ∴a2﹣2a＝3， 故答案为：3． 10．【解答】解：依题意得：130（1﹣x）2＝83.2． 故答案为：130（1﹣x）2＝83.2． 11．【解答】解：过点P做PH⊥y轴，交于点H， 设：点B坐标为（0，2a），则直线AB的表达式为：y＝﹣2x+2a， 点A（a，0），则AB＝a， ①当∠ABP＝90°时， 设点P（x，﹣x2+3x）， 当PB：BA＝OA：OB＝1：2时， PB＝， 由题意得：PH2+BH2＝PB2， AB2+PB2＝PA2， 即：， 解得：x＝，a＝， 点P坐标为（，）； 当BA：PB＝OA：OB＝1：2时， 同理：点P坐标（2，2）； ②当∠BAP＝90°时， 当PB：BA＝OA：OA＝1：2时， 同理：点P坐标为（，）， 当BA：PB＝OA：OB＝1：2时， 点P坐标为（，）； 综上所述：点P的坐标为（，）或（2，2）或（，）或（，）． 12．【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0， 设t＝x﹣1， 所以at2+bt﹣1＝0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019， 所以at2+bt﹣1＝0有一个根为t＝2019， 则x﹣1＝2019， 解得x＝2020， 所以a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0必有一根为x＝2020． 故答案为：x＝2020． 13．【解答】解：∵（x﹣2）（2x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或2x+1＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣0.5， 当x＝2时，2x+1＝5； 当x＝﹣0.5时，2x+1＝﹣1+1＝0； 综上，2x+1＝5或0； 故答案为：5或0． 14．【解答】解：当x≥﹣x时， 即x≥0， 此时﹣x＝x2﹣1， 解得：x＝， ∵x≥0， ∴x＝； 当x＜﹣x时， 即x＜0， 此时x＝x2﹣1， 解得：x＝， ∵x＜0， ∴x＝， 故答案为：或 三．解答题（共10小题） 15．【解答】解：（1）∵每增加1人，每张票的单价减少5元， ∴当x＝33时，该公司应支付的购票费用为33×（400﹣15）＝12705（元）， 故答案为：12705； （2）由题意得，x[400﹣5（x﹣30）]＝14000， ∴x2﹣110x+2800＝0， 解得x1＝70，x2＝40， 当x＝70时，单价为200元，不合题意舍去， 当x＝40时，单价为350元， ∴观看演出的员工的人数为40人． 16．【解答】解：（1）方程两边平方得：2x+3＝x2， 解一元二次方程得x＝3或x＝﹣1， 检验：当x＝3时，左边＝＝3＝右边， 当x＝﹣1时，左边＝＝1≠右边， ∴原方程的解为x＝3； （2）设C（x，3）， ∴OC＝，BC＝5﹣x， ∵OC+BC＝7， ∴+（5﹣x）＝7， ∴＝x+2， 两边平方得：x2+9＝x2+4x+4， 解得x＝， 经检验，x＝是原方程的解， ∴C（，3）． 17．【解答】解：（1）结论：当t＝2或时，PQ＝4． 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∵AP＝tcm，BQ＝2tcm，AB＝6cm， ∴PB＝（6﹣t）cm， ∵PQ2＝PB2+BQ2， ∴（4）2＝（6﹣t）2+（2t）2， ∴t＝2或； （2）结论：t＝时，∠PQD＝90°． 理由：∵∠PQD＝90°，则∠DQC+∠PQB＝90°， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴∠DQC+∠QDC＝90°， ∴∠PQB＝∠QDC， ∴△DQC∽△QPB， ∴＝， ∴CD•BP＝QB•CQ， ∴6（6﹣t）2t•（12﹣2t）＝， 解得：t＝6或； （3）∵BP＝BQ， ∴6﹣t＝2t， ∴t＝2， ∴BP＝BQ＝4， 如图1中，取BQ的中点O，连接OM，PO． ∵∠BQM＝∠PBM，∠PBM+∠QBM＝90°， ∴∠BQM+∠QBM＝90°， ∴∠BMQ＝90°， ∵OQ＝OB＝2， ∴OM＝BQ＝2， ∴OP＝＝＝2， ∴PM≥OP﹣OM＝2﹣2， ∴PM的最小值为2﹣2． 故答案为：2﹣2． 18．【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0， ∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵△＝1＞0， ∴AB≠AC， ∴AB、AC中有一个数为4． 当x＝4时，原方程为：16﹣4（2k+1）+k2+k＝0， 即k2﹣7k+12＝0，解得：k1＝3，k2＝4． 当k＝3时，原方程为x2﹣7x+12＝0， ∴x1＝3，x2＝4． ∵3、4、4能围成等腰三角形， ∴k＝3符合题意； 当k＝4时，原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5． ∵4、5、5能围成等腰三角形， ∴k＝4符合题意． 综上所述：k的值为3或4． 19．【解答】（1）证明：方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0， ∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1， ∴Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4＞0， 则无论m取何实数值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：把x＝﹣1代入方程得：1﹣m﹣2+2m﹣1＝0， 解得：m＝2， 设另一根为a，则有﹣1+a＝﹣m﹣2＝﹣4， 解得：a＝﹣3，即方程的另一根为x＝﹣3． 20．【解答】解：（1）设A种花苗的单价为x元，B种花苗的单价为y元， 依题意得：， 解得：． 答：A种花苗的单价为20元，B种花苗的单价为30元． （2）设购买B种花苗m盆，则购买A种花苗（12﹣m）盆， 依题意得：20（12﹣m）+（30﹣m）m＝256， 整理得：m2﹣10m+16＝0， 解得：m1＝2，m2＝8， 当m＝2时，12﹣m＝10； 当m＝8时，12﹣m＝4． 答：共购买了A种花苗10盆，B种花苗2盆；或购买了A种花苗4盆，B种花苗8盆． 21．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝∠OAB＝90°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠DOQ＝45°， 在Rt△AOD中，∠AOD＝45°， ∴△AOD是等腰直角三角形， ∴AO＝AD＝4，OD＝4， ∴t＝＝2； 即当点P移动到点D时，此时t为2秒． （2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB＝90°或∠PBQ＝90°． 如图： 作PG⊥OC于点G， 在Rt△POG中，∵∠POQ＝45°， ∴∠OPG＝45°， ∵OP＝2t， ∴OG＝PG＝2t， ∴点P（2t，2t） 又∵Q（4t，0），B（12，4）， 根据两点间的距离公式可得：PB2＝（12﹣2t）2+（4﹣2t）2，QB2＝（12﹣4t）2+42，PQ2＝（4t﹣2t）2+（2t）2＝8t2， ①若∠PQB＝90°，则有PQ2+BQ2＝PB2， 即：8t2+[（12﹣4t）2+42]＝（12﹣2t）2+（4﹣2t）2， 整理得：t2﹣2t＝0， 解得：t1＝0（舍去），t2＝2， ∴t＝2， ②若∠PBQ＝90°，则有PB2+QB2＝PQ2， ∴[（12﹣2t）2+（4﹣2t）2]+[（12﹣4t）2+42]＝8t2， 整理得：t2﹣10t+20＝0， 解得：t＝5±． ∴当t为2秒或（5+）秒或（5﹣）秒时，△PQB为直角三角形． 22．【解答】解：（1）根据题意得：（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0， 解不等式得：m＜2； （2）由（1）得：m＜2 ∵m为正整数， ∴m＝1， 把m＝1代入原方程得：x2﹣2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝2． 23．【解答】解：（1）设降低x元销售（0≤x≤4），由题意得： 300﹣100﹣（100+25x）＝0 解得：x＝4 10﹣4＝6（元） 答：销售价格应定为6元． （2）设单价降低x元销售，由题意得： （10﹣6）×100+（10﹣x﹣6）（100+25x）+（4﹣6）[300﹣100﹣（100+25x）]＝625 化简得：x2﹣2x+1＝0 ∴x1＝x2＝1 ∴10﹣1＝9 ∴第二天每个饰品的销售价格为9元． 24．【解答】解：（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元， 根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元． （2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000， 整理得：a2+75a﹣2500＝0， 解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去）， ∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100． 答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．声明：试题解析著作权属所 学科网（北京）股份有限公司 $$