湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考试卷（三）数学试题

长沙市一中2025届高三月考试卷（三） 数 学 时量：120分钟 满分：150分 得分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1,若复数之满足十i=3一4i,则1z= A &号 c号 号 如 如 2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2一2n,则ag十a4十a5等于 拟 A.12 B.15 C.18 D.21 都 3.抛物线y=4x2的焦点坐标为 输 A.(1,0) B.(-1,0) 闲 c(o,-) D.o,) 4.如图是函数y=sin(ax十o)的部分图象，则函数的解析式可为 新 A.y=sin(-2z) B.y=sin(+) C.y=sin(2+) D.y=cos2z 数学试题（一中版）第1页（共8页） 5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基就提出单级火 箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度？满足公式： v=lnm十m他，其中m1,m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是 m 发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火 箭的最大速度为8km/s,则火箭发动机的喷气速度为 (参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln4≈1.4) A.10 km/s B.20 km/s C.km/s D.40 km/s 6.者3cose+=Bg,3sina-V0sim=号，则cos(a十的值为 A、⑤ 4 B⑤ 4 C.10 4 D.V10 4 7.如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位 长度，向左的概率为号，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次 到达1的位置的概率为 -4-3-2-1d十234 A.27 B会 c号 D 8.设Sn为数列{an)的前n项和，若am十a+1=2n十l,且存在k∈N,Ss= Sk+1=210,则a1的取值集合为 A.{-20,21} B.{-20,20} C.{-29,11) D.{-20,19} 数学试颗（一中版）箪？而（止而） 二、选择题（本大题共3小题，每小题6，分，共18分.在每小题给出的选项 中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分， 选错或不选得0分) 9.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，点E,F分 D 别为AD1,DB的中点，则下列说法正确的是 A.直线EF与D1B1为异面直线 B.直线D1E与DC1所成的角为60° C.DF⊥AD D.EF∥平面CDDC 10.已知P是圆O:x2+y2=4上的动点，直线☑：xcos0十ysin0=4与 l2:xsin0ycos0=1交于点Q,则 A.41⊥2 B.直线(1与圆O相切 C.直线2与圆O截得弦长为2√3 D.1OQ1的值为√17 11.已知三次函数f(x)=ax3十bx2+cx十d有三个不同的零点x1,x2,x3 (x<x2<x3),函数g(x)=f(x)一1也有三个零点，t2,t(th<t2< t3),则 A.b2>3ac B若函成等差数列，则=一品 C.01十x3<t十t3 D.x十x经十x=好十场十号 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知随机变量X服从二项分布B(n,),若E(X)=3,D(X)=2,则 n= 13.已知平面向量a,b满足|a=2,b|=1,且b在a上的投影向量为 -a,则a+b1为 14.如图，已知四面体ABCD的体积为32，E,F分别为AB,BC的中点，G, H分别在CD,AD上，且G,H是靠近D点的四等分点，则多面体 EFGHBD的体积为 数学试题（一中版）第3页（共8页） 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin B一√3 bcos A =0. (1)求A; (2)若sinB十sinC=2sinA,且△ABC的面积为√3，求a的值. 16.(本小题满分15分) 设f(z)=(x+ax)lnx+2x2,a∈R (1)若a=0,求f(x)在x=1处的切线方程； (2)若a∈R,试讨论f(x)的单调性， 17.(本小题满分15分) 已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，PD=PB,H为PC上的 点，过AH的平面分别交PB,PD于点M,N,且BD∥平面AMHN. (1)证明：MN⊥PC; (2)当H为PC的中点，且PA=PC=√3AB,若PA与平面ABCD所 成的角为60°，求锐二面角P-AM-N的余弦值， 18.(本小题满分17分) 已知双曲线：2-首=1的左、右焦点为R,F,过F,的直线L与双曲 线Γ交于A,B两点. (1)若AB⊥x轴，求线段AB的长； (2)若直线1与双曲线的左、右两支相交，且直线AF1交y轴于点M, 直线BF交y轴于点N. (i)若S△r,AB=S△R,MN,求直线L的方程； ()若F1,F2恒在以MN为直径的圆内部，求直线L的斜率的取值 范围。 19.(本小题满分17分) 已知{an}是各项均为正整数的无穷递增数列，对于∈N*,设集合B。= {i∈N"|a:<k},设b为集合Bs中的元素个数，当B=心时，规定bs=0. (1)若an=n2,求b1,b2,b1,的值； (2)若an=2",设bn的前n项和为Sn,求S2+; (3)若数列{bn}是等差数列，求数列{an}的通项公式.长沙市一中2025届高三月考城卷（二） 收学输考答案 一，湖焊照《本大身我8个小指，海小精5，具0今小精州出的网个晚项中，以有一项是科合程日要水的) 藤号 D 挥案 B A 1+其-1士3"=3十4+-4--11万 1.C【解析】周嘴得，一3一(a十行 9+10 +(层 之8【解桥】超意得a,十a,+a-S,一5：-(51-2X5)-(2-2X2)=15. 及D【解桥】由y=《2,停马y, 所假热物线的黑底在》轴的正年轴上，且2一子，所以力一音号-，所以焦点皇标为(0，) 么A【解析1由图泉可知言=号-晋-受，所以T-,由T-哥=，可取w-2,所以y=(2z十p）, 网为f(告）=0，所以sin(得十e)-0,剥等+9=x+2kxg=号+2kx,kE乙， sk=0时y=sin(2x+）=-sin(2x+-）=-sin(2z-骨）=sin(骨-2. 点.B【篇折球搭想念得m=2m-8,又p=hm待座，所以8=lh2点=山是， a也音h2=07广0，利火精双特和的内气速度为202 8 6.C【解析】两式平方相加可得(3osa十/10cosB)2+(3sina一√10sing)2=4, 9+10+6√10co5aco3f-6√10 sin asin=4, 即6/0cos(a+0=-15,即os(a十m=- 7.A【解析】记质点两次经过1为事件B,若第一步位于0，想要经过1两次，则有0一1+0→1， 0-1→2-1两种情元，所以P()=号·号吉十号·号：号-会 8.A【解析】因为a十a+:=2n十1， 所以S.=(a,+a)+(a十a4)+…十(a1十an)=3+7+…+(4n-1)=3+4g-l=m(2m+1), 2 复Sn(2a十1)=210，解得m=10成=-号（合去）， 由存在k∈N”,S=S+1=210,所以有=19成k=20, 由a,十a+1=2m十1可得，a+1十a+a=2n十3，两式湘诚得a-1一a,=2, 当b=20时，有Sw=S如=210，即a2=0, 根据a+2一a,=2可如，数列奇数项是等差数列，公差为2， 所以a如=a1十(11-1)X2=0,解得a=-20; 当k=19时，有S,=Sw=210,即am=0, 根据a+2一a,=2可知，数列偶数项也是等差数列，公益为2， 所以a=a2十(10-1)X2=0,解得a2=-18, 由已如得a十a2=3,所以a1=21.故选A 二选扬圈（本人道共3小题，产小沿6分，共18分.在华小题路山的选项中，显少戎两项是特合凝日卖泉，若金苹 选对得6分，部分选财得部分分，速情我不选得0分，】 题 对 9 10 11 ABD ACD ABD 答 案 10.ACD【解桥2周0半径为2，cos0·sin0叶in0:(一cos0)=0,所以h⊥4，A正确： 9.ABD =4>2,4与周O相离，B带误： 国心0到t钱，的远离为d√co30叶sim0 1 =1,故孩长为2/2一1下=23，C正确； 圆心O到立线的距商为d= vcos0十sin0 ros0叶sin0=4,x=4cos0+sin8r即Q4cos0叶sin0,4sin0-cosD, imn0-oos9='得 由 y4sin0cos 0, 所以|0Q|=v(4os0Hin0)+(4sin0-cos0)7=V17,D正痛. 1山，ABD【解析】对于A,产()型3治年2bx十c,因为原函数有三个不同的零点， 则f(x)=0有两个不同的实根，即3ax2+2bx十c=0, 则△=4-12ar>0,即6>3ac,故A正确： 对于B,狼题意，国》为x)的时称中心，放=品故B正扇： 对于C,当a>0时，由图可知，对<，x<,故x十<十i 当a<0时，则十x>4十t,故C错误； 对子D,由韦达定理，西十十=4十红十， x十x2xg十xa2的=tt红十女4十a, 得(1十十x西)2-2(1十xx十工x1)=(十红十a)2-2(十红十4)， 即十是十=好十垃十娟，故D正确 y/ 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 边9【得桐凝可泽p)=么年释一专明=8 1这后【得折调为6在a上的投都向量为品部a=一文4，则品=一子 a…b=-1, 故|a+bl=a++2a·b=√/4+1-2=3】 11【解析选接ED,EG,因为H为AD上的靠近D点的四等分点，所以DH=AD, 因为E为AB的中点，所以点E到AD的距离为点B到AD的距离的号， 所以S6m=SA0,又G为CD上靠近D点的四等分点，所以点G到平面ABD的距 高为点C到平面ABD的距离的7，所以Vo=君Voao=号×Voeo一2×32=1， Sawm=SAm-SAus=Sm-是Sam=8SAm, 所以VEam=音Va-骨×2Vrm=品×32=10， 所以多而体EFGHBD的体积为Vc-H十Vg-o=1+10=11, 华面A 15.【解析(1)山正然定理得sin Asin B-√3 sin Beo8A=0. 四、解答照 国为B∈(0，x),所以inB0,放tnnA=√3. C中A∈(0，元），所以A=。。 九C2加小，由压孩定现的边所五化可得叶e一2a、 的余狱定理可得+一28小y十一分 序以a'=(b+c一3，所以a2-e 别Sx=4imA-含×号-原，解得a=2 1分 1【解析1)当a=0时，0)丈（仙对号），知f(x)=2xlnx+2, 于是fa)-2,)-是 批物贱方程为y-2(4-)年号单纪y一昌-0 5分 (2)盛数f(x)的定义城为(0，十o∞)，… 且f(x)=(2x+a)nx+x+a十x=(2x+a)(lhx+1). 若20，则2x十a>0,知f(x)=0有唯一解x=日 越x)在(0，)上单调递减，在（合，十∞）上单调逅增1… …8分 若4<0，则令了(x)=0,有两解五=日=一受 期当<-号，即a<-是时，f在(0，）上通增，在（合-号）上递减，在(-受，+∞)上递端，…10分 当=一号，即a=一名时，加了✉≥0，故)在0，十o)上举调递增；… …12分 当>-受，即-名<a<0时，✉)在(0，一受)上运地，在(-受）上递减，在（任，十∞）上遥地 e 44414分 蛛上，当≥0时，fx)在(0，)上单调递减，在（日，+∞上单调适增； 当a<-名时，✉)在(0，日)上适增，在（合，一受）上递减，在(-受十o∞)上递增： 当a=一是时，x)在(0，十o0)上苹调造增) 当-名<a<0时，x)在(0，一号)上诡增，在（号）上递减，在（侣+）上造增 …15分 17.【解析】(1)证明：连接AC交BD于点O,四边形ABCD为菱形， 42 BD⊥AC,且O为AC,BD的中点，PD=PB,.PO⊥BD AcnPO=O,且ACC平面PAC,POC平面PAC,.BD⊥平面PAC.…3分 PCC平面PAC,BD⊥PC…4分 :BD∥平面AMHN,且平面PBD∩平面AMHN=MN,BDC平面PBD, ,BD/∥MN.…6分 MIN LPC…7分 (2)由(1)得DB⊥AC且PO⊥BD,:PA=PC,且O为AC中点， ∴，PO⊥AC,又AC∩BD=O,ACC平面ABCD,BDC平面ABCD, P0⊥平面ABCD,………8分 PA与平面ABCD所成的角为∠PAO=60°. …9分 .华然个…山 度得：U学 4-A.02 联0地属太，建点如图的定时量角空样果O- f0X0oA.a0.B01.0,G-.0,09.0,-1,0.P0,0,要，0,2)…10分 2AB=2,4-25,线)-1， -0i-(2,o2》i-（-厅，0，-（-后0，n 设平雨N的珠向黄考m一， /防-3-0 44…12分 m…府-耳+.水71.可得m=1,0. 蓬平面PAB岭洽量为程à，活：)记 2 14分 0来可得原， awa-高i品 15分 所以二面角P-W-N的◆雀丝为僵 18【得析水1)周为d=1,=3,所以2=。2十-4c=2, 所R(2,0),每直线1过点F:具Lx轴，所以=西=2， 代人可得-3 …4分 为=-3， 并滋AB引-为一为1-6 (2))如圈所示， 设z=my十2，A(国为)，B(m,为) 联 =叶2，得(3m-1y+12my十9=0， 18-=3, 3m2-1>0, 4…6分 因为与双曲钱左、右两支相史，故 4=36(m+1)>0, 时ARr产+2)，截M0,同理N,号辛) 4…7分 Sae=lSa-Saal-lRBX|h一为l=2ln-为l, 48分 5w一nxw一w-后号-副a+不l 4…9分 南S=S,得利m为为+4m(为十为)十16=4， 而h十为=32M为3 12u 10分 代入可得2H-4:解得-器 0 11分 所以m=土8，经检验此时满是A>0且3m-1>0, 21 …12分 就存在满足康件的直线2，其方程为一士严)2 …14分 《)淡题湾时.网·N<0,即4十2￥2·x,罕2≤0“ 36 由(i)可如2业 2 3m2一1 6·即4什w26<0,故二品<0， 36 36 ”an+2‘n千219n了48m2 3m73m+16 16分 17分 周地-∈（品别，脚E(3乎，-u(得，平）. 8K解标]1)B=(eNla<1)=,B=(iEN~1a<2)=1,B,=i∈N1a,<17)=1,2,3,4, 放0=0，b2=1,b1g=4,… …3分 (2)依题意，a1=2,a2=4,则B={i∈N|a:<1}=0,B2={i∈N|a<2}=必， 当=1,2时，b=b=0, 当2<k≤2冲1时，则满足a4<k的元素个致为i个，故bm+1=b+2=…=br+1=i) 故Sa*1=b十b十(b十b)+(bs十bs+b+bs)++(br+1十br+2+…十b+1), =1×21+2×22++n×2 注意到nX2"=(n一1)2+1一(n一2)2"， St1=0×22-(-1)×21+1×23-0X2+…+(n-1)2t1-(n-2)2=(n-1)X2+1+2.…9分 (3)由题可知a1≥1，即B1=心，所以b=0. 若a1=m≥2，则B2=财，B1=(1},所以b2=0,b+1=1,与{b}是等差数列矛盾，所以a1=1. 设dn=a+1一an(n∈N~),因为{a,}是各项均为正整数的逃增数列，所以dn∈N”, 假设存在∈N”使得d≥2.设au=t,由au+1一a:≥2得a+1≥t十2. 由au=1<t十1<1十2≤a+1得b<k,b+1=b+2=k,与{b.}是等差数列矛盾. 所以对任意n∈N”都有dn=1 所以数列{an}是等差数列，an=1十(n一1)=九 017分