6.2.4向量的数量积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积 学习目标: 1.平面向量的数量积的定义及几何意义 2.平面向量数量积的性质及运算律 3.平面向量数量积的坐标表示 4.平面向量的模、夹角 2 问题情景 一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那么力F 所做的功应当怎样计算? 思考:功是一个矢量还是标量?它的大小由那些量确定? s F F 标量,大小由力、位移及它们的夹角确定。 问题2 类比数的乘法运算律,结合向量的线性运算的运算律,你能得到数量积运算的哪些运算律?你能证明吗? 二、创设问题情境,引入数量积运算律 由向量数量积的定义,可以发现下列运算律成立: 对于向量a,b,c和实数 ,有 ①a b= b a; ②( a) b= (a b)= a ( b); ③(a+b) c=a c + b c. |a+b|cos e =|a|cos 1 e +|b| cos 2 e. |a+b||c| cos =|a||c| cos 1+|b||c| cos 2. 二、创设问题情境,引入数量积运算律 (a+b) c=a c + b c. 证明向量的分配律: 证明:如图,任取一点O,作 =a, =b, =c, =a+b.设a,b,a+b与c的夹角分别为 1, 2, ,它们在c上的投影分别为 , , ,与c方向相同的单位向量为e,则 =|a|cos 1 e, =|b| cos 2 e, =|a+b|cos e. 因为a= ,所以 , 则 ,即 (a+b) c=a c + b c. 追问:设a,b,c是向量,(a b)c=a(b c)一定成立吗?为什么? 对于实数a,b,c,有(a b)c=a(b c);但对于向量a,b,c,(a b)c=a(b c)不一定成立.这是因为(a b)c表示一个与c共线的向量,而a(b c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a b)c=a(b c)不一定成立. 二、创设问题情境,引入数量积运算律 例1 我们知道,对任意a,b∈R,恒有 (a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2. 对任意向量a,b,是否也有下面类似的结论? (1)(a+b)2=a2+2a b+b2; (2)(a+b) (a-b)=a2-b2. (1)(a+b)2 =(a+b) (a+b) =a a+a b+b a+b b =a2+2a b+b2; (2)(a+b) (a-b) =a a-a b+b a-b b =a2-b2. 三、例题分析与知识巩固 解: 例2 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60 ,求(a+2b) (a-3b). 解:(a+2b) (a-3b) =a a-3a b+2b a-6b b =|a|2-a b-6|b|2 =|a|2-|a||b|cos -6|b|2 =62-6 4 cos60 -6 42 =-72. 三、例题分析与知识巩固 例3 已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线.当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直? 三、例题分析与知识巩固 解:a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是 (a+kb) (a-kb)=0, 即a2-k2b2=0. 因为 a2=32=9,b2=42=16,所以 9-16k2=0. 因此 k= . 也就是说,当k= 时,a+kb与a-kb互相垂直. 四:向量数量积的性质 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 向量数量积的定义: 已知两个非零向量 与 ,它们的夹角为 ,我们把数量叫做 与 的数量积(或内积),记作 ,即 注意: (1)在书写数量积时, 与 之间用实心圆点“ ”连接,不能写成“ ”,更不能不写. (2)向量的线性运算的结果是向量,但两个向量的数量积却是一个数量,而不是向量,其大小与两个向量的长度以及夹角都有关,符号由夹角的余弦值决定. (3)一种新的运算法则,以前所学的运算律、性质不适合. 例9 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角 =120 ,求a b. 解:a b = |a| |b|cos = 5 4 cos120 =5 4 (-1/2)= -10 解: 例10 设 ,求 与 的夹角 。 向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负? 探究 当 时, 为正; 当 时, 为零。 当 时, 为负; 五:向量数量积的运算律 由向量数量积的定义,可以发现下列运算律成立: 对于向量a,b,c和实数 ,有 (1)a b=b a (2)( a) b= (a b)=a ( b) (3)(a+b) c=a c+b c 探究 证明:如图,任取一点O,作 =a, =b, =c, =a+b.设a,b,a+b与c的夹角分 别为 1, 2, ,它们在c上投影向量各为 , , ,与c方向相同的单位向量为e, 则 探究 所以 因此 探究 思考:设a,b,c是向量,(a b)c=a(b c)一定成立吗?为什么? 解析:对于实数a,b,c,有(ab)c=a(bc); 但对于向量a,b,c,(a b)c=a(b c)未必成立. 因为(a b)c表示一个与c共线的向量,而a(b c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a b)c=a(b c)未必成立. 知识应用 知识应用 因此,上述结论是成立的. 知识应用 因此,上述结论是成立的. 知识应用 例2 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60 ,求(a+2b) (a-3b). 解: 知识应用 例3 已知|a|=3, |b|=4,且a与b不共线. 当k为何值时,向量a+kb 与a-kb互相垂直? 解: 向量a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是 (a+kb) (a-kb)=0, 即 a2-k2b2=0 因为 a2 = 32 = 9,b2 = 42 =16, 所以 9-16k2=0, 解得 k = . 也就是说,当 k = 时,向量a+kb与a-kb互相垂直. 知识应用 课堂小结: 1、向量的数量积的定义 已知两个非零向量 与 ,它们的夹角为 ,我们把 数量 叫做 与 的数量(或内积,点乘),即 规定:零向量与任意向量的数量积为0,即 0. 2、向量数量积的几何意义 3、数量积运算律 (交换律) (数乘结合律) (分配律) 4、向量数量积的性质 5. 常用︱a︱= 求向量的模. $$