6.2.4 向量的数量积(第1课时)课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积(第1课时) 1 一、两向量的夹角 思考1 前面我们学习了向量的加、减运算.类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能 否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ W＝|F||s|cos θ ∠AOB＝θ (0≤θ≤π) 同向 反向 垂直 a⊥b 0 0 一、两向量的夹角 训练1 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角 又是多少？ <a＋b，a>=30° <a-b，a>=60° 0 0 二、向量的数量积 |a||b|cos θ 0 B B 0 0 三、投影向量 0 0 三、投影向量 e是与b同向的单位向量 |a|cos θ e |a||cos θ | |a||b|cos θ =a·b 0 0 三、投影向量 A 训练3 (1)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的 投影向量是(　　) A.－4e B.4 C.－2e D.2 (2)已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝___. 4 例3 已知向量a，b，且|a|＝2，e是与b同向的单位向量，当a与b的夹角分为60°，90°， 120°时，向量a在向量b上的投影向量分别为_____________. 0 0 四、向量数量积的性质 0 |a|cos θ |a||b| －|a||b| a2=|a|2 ≤ 思考4 如果a·b=0，是否有a=0，或b=0？ 思考3 如果a·b>0能否有两向量的夹角为锐角，a·b<0能否有两向量的夹角为钝角？ 0 0 五、课堂小结 1.重要思想与方法 (1)计算向量的数量积与投影向量要紧扣其定义进行. (2)在求向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法. 2.易错易混点提醒 (1)向量夹角共起点. (2)a·b>0⇒/ 两向量的夹角为锐角，a·b<0⇒/ 两向量的夹角为钝角. 0 0 谢谢大家！ 10 定义 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则____________________叫做向量a与b的夹角. ② 如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，我们说a与b______，记作________. ① 当θ＝0时，a与b______；当θ＝π时，a与b______. 例1 在等边三角形ABC中，向量eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))的夹角为________. 训练2 在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝eq \r(2)，则eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))的值等于(　　) A.－2 B.2 C.－2eq \r(2) D.2eq \r(2) cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|) 定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与 b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________. 规定 零向量与任一向量的数量积为____. 例2 (1)若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝(　　) A.－3eq \r(2) B.－6eq \r(2) C.6eq \r(2) D.2 (2)若|a|＝3，|b|＝2，a·b＝5，则a与b夹角的余弦值为________. 如图，设a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(CD,\s\up16(→))＝b，过eq \o(AB,\s\up16(→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up16(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up16(→))，这种变换为向量a向向量b投影，eq \o(A1B1,\s\up16(→))叫做向量a在向量b上的投影向量. 如图，在平面内任取一点O，作eq \o(OM,\s\up16(→))＝a，eq \o(ON,\s\up16(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则_____就是向量a在向量b上的投影向量. 当θ∈(，π]时，=λe=|a| cosθ e 对任意的θ∈[0，π]，向量a在向量b上的投影向量eq \o(OM1,\s\up16(→))＝________，|eq \o(OM1,\s\up16(→))|＝_________. 当θ=时，=0e=|a| cos e eq \o(OM1,\s\up16(→)) ·b = _______________. eq \o(OM1,\s\up16(→)) = eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|) 思考2 如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么eq \o(OM1,\s\up16(→))与e，a，θ之间 有怎样的关系？ 当θ∈[0，)时，=λe=|a| cosθ e e，0，-e 向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ① a⊥b⇔a·b＝____. ② a·e＝e·a＝________. ③ 当a与b同向时，a·b＝_____； 当a与b反向时，a·b＝_______. 特别地，a·a＝__________或 |a|＝eq \r(a·a). ④ |a·b|____|a|·|b|(当且仅当向量a，b同向时，等号成立). $$