精品解析：上海市七宝中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

七宝中学2024学年第一学期高一数学期中练习 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若，则______________． 【答案】9 【解析】 【分析】 将对数式转化为指数式求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为：9 2. 设全集，集合，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的运算法则求解即可. 【详解】由题可知，，所以 故答案为： 3. 已知幂函数的定义域为，则实数______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，由幂函数的定义以及性质，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得或， 当时，，定义域为； 当时，，定义域为，不满足； 所以. 故答案为：3 4. “若且，则且”是_____命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】直接取特殊值验证即可. 【详解】当时，且；此时不满足且，故该命题为假命题. 故答案为：假 5. 化简__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【详解】 故答案为：1． 6. 已知，化简：__________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数的运算法则即可得解. 【详解】. 故答案为： 7. 已知，则______（结果用a，b表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，求出，结合对数的运算法则化简，即可得答案. 【详解】因为，所以，则， 故， 故答案为：. 8. ，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据真数大于零可求得的取值范围，再由解方程即可求得结果. 【详解】因为， 所以可得，即， 两边同时除以得，即 解得或（舍）； 所以 故答案为： 9. 已知，且，则的最小值是__________. 【答案】9 【解析】 【分析】利用不等式乘“1”法即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9， 故答案为：9 10. “”是关于x的方程“至少有一个负数根”的___________条件.（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空） 【答案】充分非必要 【解析】 【分析】先分类讨论求出方程“至少有一个负数根时的参数的范围，再判断充分性和必要性即可. 【详解】当时，显然函数开口向上， 对称轴为， 所以若有根，则根为负数， 所以有，即； 当时，得，此时有一个负数根； 当时，显然开口向下，， 所以有两根，一正一负； 综上所述，， 所以“”是关于x的方程“至少有一个负数根”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 11. 已知函数(常数)在区间上是严格减函数，且在上存在自变量使得函数值为正，则满足条件的整数的所有取值为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】先分离常数，然后再利用复合函数的单调性判断方式以及该函数的函数值为正求出的取值即可. 【详解】由题可知 因为函数(常数)在区间上是严格减函数， 所以 因为在上存在自变量使得函数值为正 所以，解得. 又因为， 所以或. 故答案为： 12. 设，若，则的取值范围为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角绝对值不等式得到，，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，， 当且仅当，时取等号. 所以，又， 所以成立， 则， 易知， 所以 所以 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用及其成立时的条件，得到的取值范围，从而得解. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置直接填写正确选项. 13. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象都经过点和； B. 幂函数的图象不经过第三象限； C. 当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D. 若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【详解】当时，幂函数不过原点，故A错误； 当时，幂函数过第三象限，故B错误； 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故C正确； 若幂函数的图象过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故D错误. 故选:C 14. 设，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的单调性可得A错误；由的单调性可得B错误；作差可得C正确，取可得D错误； 【详解】对于A，由在上是增函数可得，故A错误； 对于B，由在上是减函数可得，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：C. 15. 已知集合，则下列结论不正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 当时， C. 当时， D. 对任意的，都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据几何含义可知A错误；通过求解两直线交点可知B错误；分别讨论和的情况，得到C错误；通过计算两直线重合的情况可知D正确. 【详解】对于A，表示过定点，且斜率不为的直线， 集合表示直线上所有的点，，A错误； 对于B，当时，，， 由得：，，B错误； 对于C，当时，，满足； 当，即时，直线与平行， ，解得：； 综上所述：当时，或，C错误； 对于D，若，则且直线与重合， ，方程组无解，，D正确. 故选：ABC. 16. 定义“正对数”： ，现有四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则； 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由“正对数”的定义分别对、分，；，两种情况进行推理判断①；通过举反例说明判断②③④. 【详解】对于命题①，当时，，，，则； 当时，，，，则， 因此，，命题①正确； 对于命题②，取，，， 此时，②错误； 对于命题③，取，， ， 此时，③错误； 对于命题④，取，， 而，此时，④错误， 所以真命题的个数为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决命题①的关键是按给定定义分类讨论，并利用对数函数的性质推理判断. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）已知全集为，记的补集为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分式不等式的解法解出集合，再利用交集运算即可； （2）由可得，解出该不等式即可. 【小问1详解】 结合题意可得：当时，， 又因为或. 所以． 【小问2详解】 因为或， 所以, 由知，，解得． 故实数的取值范围为. 18. （1）已知且，试比较与的大小； （2）已知，，求证：. 【答案】（1） （2）证明:因为，，且， 则，所以． 【解析】 【分析】（1）利用求差法比较大小即可； （2）利用绝对值不等式的性质证明即可. 【详解】（1）因为，，所以，，，由题意， ， 所以(当且仅当当时取等)． （2）略. 19. 为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨．当月处理量为x吨时，月处理成本为元，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． （1）若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围? （2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低为多少元? 【答案】（1）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在，范围内； （2）每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低,最低为200元. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合利润总价值总成本，列式即可得到函数关系，令，求解不等式即可； （2）利用基本不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 由题意可得，， 令，即，解得， 又， 所以， 故要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在，范围内； 【小问2详解】 每吨的平均出来成本为， 当且仅当，即时取等号， 所以该单位每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低,且最低为200元. 20. 已知全集为，关于x的不等式：的解集为， （1）若或，求的值； （2）若，记的补集为，中恰好有3个整数，求实数a的取值范围； （3）若，集合，且满足，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系，即可由韦达定理求解， （2）因式分解可得，即可根据三个整数列不等式求解， （3）根据一元二次不等式恒成立，即可结合二次函数的性质求解. 【小问1详解】 因为的解集为或， 所以1，4是方程的两根， 由，解得． 【小问2详解】 由于的解集为，则的解集为， 由可得， 若，则时，不等式的解集， 若，则时，不等式的解集， 若，则时，不等式的解集，不符合题意舍去， 故中的3个整数只能是或，0，1； 若解集中的3个整数是，则，得； 若解集中的3个整数是，0，1，则，得． 综上，由知，实数a的取值范围为或． 【小问3详解】 若，集合，且满足， 即在上恒成立， 所以或，可得． 21. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集. （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由. 【答案】（1） （2）5 （3）不存在，理由如下： 法1：假设存在5个正实数构成的集合， 使其积集，不妨设， 则.，， 所以，，，， 设，则，，，， 所以，但集合中不存在元素4，所以矛盾，假设不成立， 故不存在5个正实数构成的集合A，使其生成集. 法2：不存在，理由如下：假设存在5个正实数构成的集合， 使其积集，不妨设， 则， 所以集合A的生成集B有三种情况：， 或. 当时，则必有，所以 又因为，或6，所以或72，矛盾； 当时，则必有，所以 又因为，矛盾； 时，则必有，所以 又因为，或12，所以或60，矛盾； 所以假设不成立，故不存在5个正实数构成的集合A， 使其生成集. 【解析】 【分析】（1）根据定义即可求解， （2）根据积集的定义即可求解， （3）方法一，根据，可得集合中最大两个元素以及最小的两个元素，即可根据，，，得矛盾求解，方法二，根据生成的三种情况，可讨论得矛盾求解. 【小问1详解】 因为，故集合中所有可能的元素有，即， 所以. 【小问2详解】 设，不妨设，因， 所以中元素个数大于等于5个， 又当时，，此时中元素个数等于5个， 此时积集中元素个数的最小值为5. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七宝中学2024学年第一学期高一数学期中练习 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若，则______________． 2. 设全集，集合，，则___________. 3. 已知幂函数的定义域为，则实数______. 4. “若且，则且”是_____命题.（填“真”或“假”） 5. 化简__________. 6. 已知，化简：__________________. 7. 已知，则______（结果用a，b表示）. 8. ，则的值为____________． 9. 已知，且，则的最小值是__________. 10. “”是关于x的方程“至少有一个负数根”的___________条件.（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空） 11. 已知函数(常数)在区间上是严格减函数，且在上存在自变量使得函数值为正，则满足条件的整数的所有取值为__________________. 12. 设，若，则的取值范围为__________________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置直接填写正确选项. 13. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象都经过点和； B. 幂函数的图象不经过第三象限； C. 当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D. 若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. 14. 设，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知集合，则下列结论不正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 当时， C. 当时， D. 对任意的，都有 16. 定义“正对数”： ，现有四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则； 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）已知全集为，记的补集为，若，求实数的取值范围. 18. （1）已知且，试比较与的大小； （2）已知，，求证：. 19. 为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨．当月处理量为x吨时，月处理成本为元，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． （1）若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围? （2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低为多少元? 20. 已知全集为，关于x的不等式：的解集为， （1）若或，求的值； （2）若，记的补集为，中恰好有3个整数，求实数a的取值范围； （3）若，集合，且满足，求实数a的取值范围. 21. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集. （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正实数构成的集合，使其积集，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $