浙江省台州市书生中学2024-2025学年高二上学期期中复习数学自主练习六

台州市书生中学高二上数学自主练习六 一、单选题 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在空间四边形中，设分别是，的中点， 则（ ） A． B． C． D． 3．已知圆的一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，圆心坐标为，则此圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．设aR,则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 5．已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 6．已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A.＋2，－2 B.＋2， C.，－2 D.， 7．在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得;其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9.关于空间向量，以下说法正确的是(    ) A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点，有，则、、、四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 10．已知直线l的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（     ） A．与直线垂直 B．的倾斜角等于 C.在y轴上截距为 D.圆上存在两个点到直线的距离等于 11．设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（    ） A．若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B．若，则的面积等于 C．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D．以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 三、填空题 12．设，向量，，，且，，则 . 13．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 . 14.已知双曲线：的左右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆：上一点，则的最小值为          ． 四、解答题 15．已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，面，，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点． Ⅰ求证：平面． Ⅱ是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由． 17．已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为.过点的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线的斜率分别为． (1)求双曲线的方程；(2)证明：为定值． 参考答案： 1．D 【分析】求出直线的斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，结合倾斜角的范围即可求解. 【详解】由可得， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以， 故选：D. 2．C 【分析】根据平面向量的平行四边形法则得出，再由平面向量的三角形加法运算法则即可得出结果. 【详解】解：由题可知，分别是，的中点， 根据平面向量的平行四边形法则，可得， 再由平面向量的三角形加法法则，得出： . 故选：C. 3．B 【分析】根据题意，设这条直径与轴交点为，与轴交点为，圆的半径为；由中点坐标公式可得，即可求出的值，再结合两点间距离公式可求出的值，根据圆的标准方程，即可求出结果． 【详解】根据题意，圆的一条直径的两个端点分别在轴和轴上， 设这条直径与轴交点为，与轴交点为，圆的半径为； 又由圆心坐标为，则有，解可得， 又，所以， 所以圆的方程为：. 故选：B． 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题． 4．A 【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0， 两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到， 解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者， ∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系． 5．A 【分析】根据椭圆的定义结合条件即得. 【详解】椭圆，，，， 设，，则， ，， ， ， ，即． 故选：A． 6．C 【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】由，可知，， 且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：    又因为表示半圆上的动点与点的距离， 又因为， 所以的最小值为， 当动点与图中点重合时，取最大值， 故选：C． 7．A 【分析】根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项. 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误. 于是四个选项都是错的. 故选：A 8．D 【分析】利用已知条件求出点坐标，代入中形成齐次方程，解出离心率即可. 【详解】    如图：由题意不妨设在第一象限，知， 因为，所以， 所以， 则，且，即， 又由，所以，又，即， 结合解得， 代入中，整理得， 即，解得（舍）或. 故选：D. 9.AD  【分析】本题主要考查了空间向量的投影、向量的夹角，共面、线面垂直的坐标运算，属于中档题． 由向量法判断；由空间四点共面判断；由空间向量的夹角判断；利用投影向量的概念判断． 【解答】 解：对于由题意得，即，故，A正确； 对于在中，，故，，，四点不共面，B错误 对于当，反向共线时也成立，但与夹角不为钝角，C错误： 对于在上的投影向量为，D正确 故选：． 10．AD 【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，利用圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系，再找到圆周上的点到直线的最近距离，即可判断D. 【详解】因为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 又直线经过点， 代入点斜式方程可得，，即直线的方程为：. 对于A，将直线化为斜截式方程可得，，斜率为， 又直线的斜率， 因为，所以直线与直线垂直，故A正确； 对于B，由直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，，则， 所以，故B不正确； 对于C，令，代入直线的方程，得， 即直线在轴上的截距等于，故C不正确； 对于D，圆的圆心到直线的距离， 因此直线与圆相离， 又圆上点到直线的最近距离为， 因此可得圆上存在两个点到直线的距离等于，故D正确； 故选：AD. 11．BCD 【分析】将且，带入方程求解渐近线方程即可判断A；，结合双曲线的定义求解即可判断B；把点坐标代入的方程，然后计算离心率的取值范围即可判断C；画图，两圆的圆心距是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，即可判断D. 【详解】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误； ，故选项B正确； 把点坐标代入的方程得： ，选项C正确； 如图，两圆的圆心距是的中位线， 两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确. 故选：BCD 12．3 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解. 【详解】因为，，，且，， 所以，，可得，， 所以，，， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可． 【详解】由题意可知，动直线，经过定点， 动直线即，经过定点， 时，动直线和动直线的斜率之积为， 时，也垂直， 所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， ， ． 设，则，， 由且，可得， ， ， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围. 14．  【分析】 本题主要考查了双曲线的性质、标准方程、两点间的距离公式以及圆锥曲线中的最值问题，属于拔高题．由题意可得与的值，即得到双曲线方程，求得焦点坐标，利用双曲线的定义和三点共线取得最小值，计算可得答案． 【解答】 解：由题意可作出图形，如下图： 双曲线实轴长为，，即，渐近线方程为，即有， ，由此可得双曲线方程为，， 故焦点为，，由双曲线的定义可得， 由圆方程可得圆心，半径，，连接，交双曲线于点，交圆于点，可得此时取得最小值， 且，则的最小值为，故答案为． 15．(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程. （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积. 【详解】（1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 （2），∴直线：， 联立方程组得, 设， 则， 点到直线的距离 ∴    16.【答案】解：Ⅰ因为平面，，平面，所以，， 又，所以，，两两垂直． 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示． 则，，， 点为中点，故 故， 又，， 所以， 所以，，为共面向量， 则在平面内存在直线与平面外的直线平行， 所以平面． Ⅱ设，， 依题意可知平面的法向量为． ，， 设平面的法向量为， 则 令，则． 因为二面角的余弦值为， 所以， 即， 解得或． 所以存在点符合题意， 当或时，二面角的余弦值为．  17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线的方程，联立方程组，由韦达定理可解； （2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得，再结合（1）中结论即可得证. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，由题意得，，所以． 因为，所以，所以C的标准方程为． （2）设，则． 因为，所以． 设直线，由消去x化简并整理得． 设，则， 故 ． 所以为定值． 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$