辽宁省大连王府高级中学2023-2024学年高一下学期第一学段考试数学试题

2023-2024学年辽宁省大连市王府高级中学高一（下）第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若扇形的圆心角为2rad，半径为1，则该扇形的面积为(    ) A. B. 1 C. 2 D. 4 2.“角a与的终边关于直线对称”是“”的(    ) A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.下列不等关系不成立的是(    ) A. B. C. D. 4.已知常数，函数在区间上单调，则不可能等于(    ) A. B. 2 C. D. 5.已知为锐角三角形，且角A为最小角，则点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则(    ) A. 5 B. 2 C. D. 7.已知定义在R上的函数满足，当时，若对任意都有，则实数m的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.已知函数的图像与直线的交点中距离最近的两点间距离为，则函数的是小正周期是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知函数满足，则(    ) A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有两个零点 10.函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(    ) A. B. 的表达式可以写成 C. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 D. 若方程在上有且只有6个根，则 11.已知函数在上至少存在两个不同的，满足，且在上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是(    ) A. 的最小正周期为 B. C. 在上是减函数 D. 将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，得到的图象，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.“数濯聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为______ 13.已知，则的值为______. 14.设，分别为定义在R上的奇函数和偶函数，若，则曲线与曲线在区间上的公共点个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知，且 求的值； 求的值． 16.本小题15分 已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为 求的解析式； 将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数m的取值范围. 17.本小题15分 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．如图，筒车的半径为4m，轴心O距离水面2m，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时图中点开始计算时间． 将点P距离水面的距离单位：在水面下，z为负数表示为时间单位：分钟的函数； 已知盛水筒Q与盛水筒P相邻，Q位于P的逆时针方向一侧．若盛水筒P和Q在水面上方，且距离水面的高度相等，求时间 18.本小题17分 已知函数，，且在上单调递增. 若恒成立，求的值； 在的条件下，若当时，总有使得，求实数m的取值范围. 19.本小题17分 函数的部分图象如图所示． 求的解析式； 若，，求实数m的取值范围； 求实数a和正整数n，使得函数在上恰有2021个零点． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：由题意可得，， 则扇形的面积为 故选： 利用扇形的面积公式化简即可求解． 本题考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题． 2.【答案】C  【解析】解：角与的终边关于直线对称， 则， 反之，当时，则， 从而角a与的终边不一定关于直线对称． 故“角与的终边关于直线对称”是“”的充分不必要条件． 故选： 根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解． 本题考查了对充分不必要条件的判断，也考查了三角函数的计算，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：根据单位圆中三角函数线的定义可知： ， ， ， ， 选项正确，C选项错误． 故选： 根据单位圆中三角函数线的定义，即可分别判断． 本题考查三角函数线的应用，属基础题． 4.【答案】C  【解析】解：因为时，， 所以当在区间上单调时，在内不含形如的值． 对于A，当时，区间即，故A符合条件； 对于B，当时，区间即，故B符合条件； 对于C，当时，区间即，由，可知C项不符合条件； 对于D，当时，区间即，故D符合条件． 故选： 由在区间上单调，可知在区间内不含形如的值，由此对各项加以验证，可得答案． 本题主要考查正弦函数的图象与性质及其应用，考查逻辑推理能力，属于中档题． 5.【答案】A  【解析】解：因为A为最小角，所以， 则，所， 因为为锐角三角形，所以， 则，所以，即， 所以点位于第一象限， 故选： 根据A为最小角得，由余弦函数的性质判断出的符号，再由为锐角三角形得，根据诱导公式和正弦函数的性质判断出的符号，即可判断出点P所在的象限． 本题考查诱导公式，正弦、余弦函数的性质，以及三角形中的角的性质，属于中档题． 6.【答案】D  【解析】解：由题意设，， 则，化简可得：， ，化简可得：， 则， 所以函数 故选： 由题意设，，然后根据函数的奇偶性建立方程组求出函数的解析式，再求出所求的函数的关系式，进而可以求解． 本题考查了正弦函数的奇偶性，涉及到正余弦的同角关系，属于基础题． 7.【答案】B  【解析】解：由，得， 又当时，， 故当时，； 以此类推可知，当时，，且 由，得，解得或 若对任意都有， 结合的图象可知，， 所以m的最大值为 故选： 根据条件，画出的图象，再结合图象求出m的最大值即可． 本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了数形结合思想，属中档题． 8.【答案】D  【解析】解：令， 则有， 所以或，； 所以最近两点间距离为， 又因为函数的图像与直线的交点中距离最近的两点间距离为， 所以， 所以， 所以函数的最小正周期为： 故选： 令，可得或，，从而有，求得，再利用周期公式求解即可． 本题考查了三角函数的性质，属于中档题． 9.【答案】BCD  【解析】解：， 函数关于对称， ， ， ，，，故A错误； ，即为函数的一条对称轴，故B正确 若，则， 又在上单调递增，即在上单调递增，C正确； ，，，故D正确． 故选： 由已知结合余弦函数对称性先求出，然后结合余弦函数的性质检验各选项即可判断． 本题主要考查了余弦函数性质的综合应用，属于中档题． 10.【答案】BCD  【解析】解：A选项，由图象可得，函数过点，将代入得， 故，又，解得，故A错误； B选项，，又为函数的第一个正零点，故， 故，， 解得，， 因为，故只有当时满足要求，此时， 故，故B正确； C选项，的图象向右平移个单位长度后得到的新函数为，其定义域为R， 由于，故为奇函数，故C正确； D选项，令得， 当时，， 要想在上有6个解，则 解得 若方程在上有且只有6个根，则正确． 故选： A选项，将代入解析式得到，结合，求出；B选项，结合为函数的零点，得到，得到函数解析式，并结合诱导公式得到B正确；C选项，先得到平移后的解析式，从而根据函数奇偶性定义进行判断；D选项，转化为在上有6个解，数形结合得到不等式组，求出m的取值范围． 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了三角函数的图象变换，属于中档题． 11.【答案】BC  【解析】解：由题意可得函数，即，，， 可得， 在上至少存在两个最大值或最小值，上具有单调性， 当时，解方程可得，， 的最小正周期为；； 由可得减区间为，， 可得在上是减函数； 将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变， 得到的图象，可得 故AD错误；BC正确． 故选： 由对称中心和对称轴方程，可得，由题意可得可得，，，结合三角函数的周期和单调性、图象平移变换可得所求结论． 本题考查三角函数的图象和性质，主要是解析式的求法，考查化简运算能力，属于基础题． 12.【答案】  【解析】解：因为与所在扇形的圆心角分别为，， 所以， 由，解得， 所以扇形的面积为 故答案为： 根据扇形的面积公式，结合题意列方程求出，即可求出的值． 本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题． 13.【答案】0  【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．由已知利用三角函数的诱导公式分别求得与的值，则答案可求． 【解答】 解：， 故答案为： 14.【答案】4047  【解析】【分析】 本题考查函数的图象交点个数问题，属于中档题． 根据函数的奇偶性确定y的解析式，根据其对称性，图象变化特点可判断． 【解答】 解：因为①，所以， 又因为，分别为定义在R上的奇函数和偶函数， 所以，， 故②， 由①②可知，，， 为奇函数，图象关于原点对称， 当，，且，又最大值为1，如图， 曲线与曲线在区间上的公共点个数为个． 故答案为 15.【答案】解：两边平方可得， ， ，可得，解得，或， ，可得，可得， ，   【解析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，结合角的范围可求的值，即可得解． 利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 16.【答案】解：因为，所以、， 依题意可得得， 又当时，的最小值为， ，又，即， 将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到， 再向左平移个单位得到， 当，所以， 因为在区间上有最大值没有最小值，所以， 解得， 即实数m的取值范围为  【解析】根据可求得，根据当时，的最小值为，可得，即可求得； 根据三角函数的变换规则得到解析式，再由x的取值范围，求出的范围，最后结合正弦函数的性质计算可得． 本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 17.【答案】解：以O为原点，平行于水面向右作为x轴正方向建立平面直角坐标系， 设，则P距离水面的距离，，为Ox为始边，OP为终边的角， 由O到水面距离为2，半径，可得， 由该筒车逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，可知， 则，则， 故 筒车上均匀分布了12个盛水筒， 所以， 设， 则，， 由P点纵坐标，P和Q在水面上方，且距离水面的高度相等可得，， 则或，解得， 由盛水筒P和Q在水面上方， 则，即， 故， 则， 由得，  【解析】以O为原点，平行于水面向右作为x轴正方向建立平面直角坐标系，设，则P距离水面的距离，，为Ox为始边，OP为终边的角，由该筒车逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，可知，即可求解． 设，则，，由已知条件得，或，解得，即可求解． 本题主要考查三角函数的实际应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题． 18.【答案】解：由题意得， 所以，，解得， 设的最小正周期为 因为在上单调递增， 由于， 故，即，得， 所以，经检验满足题意； 当时，总有使得， 设在上的值域为A，在上的值域为B，则， 由得， 当时，， 的图象的对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增， 由，得，解得，所以 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由，得解得， 又因为，所以 当，即时，在上单调递减，， 由，得，解得， 又因为，所以 综上，m的取值范围为  【解析】根据恒成立可得，代入可得，进而根据单调性得，两者结合即可求解； 根据题意转化成两个函数的值域问题，利用三角函数的性质可求解，分类讨论求解含参的二次函数的值域即可求解． 本题考查了三角函数、二次函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题． 19.【答案】解：由函数图象知，， ，所以， 时，， ，，解得，， 又， ， 的解析式为； ，，， 要使恒成立，令，则， 即，因为图象开口向上， 要使时，， 则有，解得， 即实数m的取值范围是 由题意可得的图象与直线在上恰有2021个交点， 在上，， ①当或时，的图象与直线在上无交点； ②当或时，的图象与直线在上仅有一个交点， 若此时的图象与直线在上恰有2021个交点，则； ③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点， 的图象与直线在上有偶数个交点，不可能有2021个交点； ④当时，的图象与直线在上恰有3个交点， 若此时的图象与直线在上恰有2021个交点，则 综上可得，当或时，；当时，  【解析】利用周期求出，再代入特殊点求出，即可求得函数解析式； 求出函数在上的值域，令，原不等式转化为恒成立，由二次函数的图象与性质进行求解； 分或，或，或，四类情况讨论的图象与直线在上的交点情况，再分析当的图象与直线在上恰有2021个交点时n应满足的条件． 本题主要考查根据函数的图象确定三角函数的解析式，余弦型函数的图象与性质，二次不等式恒成立问题，利用函数图象的交点研究函数零点问题，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$