精品解析： 2024-2025学年北师大版九年级上册期中数学模拟卷

2024-2025学年九年级（上）期中数学模拟卷 考试范围：1-4章；考试时间：100分钟；命题人：姚老师 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列性质中，菱形具有但矩形不一定具有的是（ ） A. 对边相等 B. 对边平行 C. 对角相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的性质和矩形的性质进行判断可求解． 【详解】解：平行四边形具有的性质有：对角相等，对边相等且平行，对角线互相平分； ∵菱形具有的性质有平行四边形的一切性质同时还具有四边相等，对角线互相垂直； 而矩形具有的性质有平行四边形的一切性质同时还具有四个角都是直角，对角线相等， ∴菱形具有但矩形不一定具有的是对角线互相垂直， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 2. 如图，在中，，若，为边上的中线，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及中线，先通过勾股定理求出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出． 【详解】解：由勾股定理，， ； 故选：A． 3. 下面说法正确的是（ ） A. 是一元二次方程 B. 方程的解为 C. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 D. 已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为1 【答案】D 【解析】 【分析】A、化简整理后再判断； B、用因式分解解方程后再判断； C、注意一元二次方程的有解的条件； D、把代入方程，可得答案. 【详解】A、化简整理后，没有二次项，所以，A错误； B、方程可可化简为，解得：或，所以，B错误； C、忽视了一元二次方程的有解的条件，即且，所以，C错误； D、已知一元二次方程当时，，所以，D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念及方程的解，熟练掌握一元二次方程解的求法是解题的关键. 4. 一个密闭不透明的盒子里由若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入10个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复，共摸球200次，其中40次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球( ) A. 30个 B. 35个 C. 40个 D. 50个 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的计算方法，先由小刚摸球的情况得出盒子摸出黑球的概率，可计算出黑球和白球总个数的近似值，最后求出白球的个数的近似值. 【详解】解：∵摸球200次，其中40次摸到黑球 ∴摸到黑球的概率为 ∴黑球和白球的个数之和约为：10÷=50（个） ∴白球的个数约为：50-10=40（个） ∴选C 故答案是：C. 【点睛】本题主要考查概率的计算问题，准确掌握概率的计算方法是解题的关键. 5. 如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由DE∥BC得，由DF∥AC得，于是，可判断A错误；由DE∥BC得，可判断B正确；由DF∥AC得，可判断C正确；由DE∥BC得，可判断D正确． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴， ∵DF∥AC， ∴， ∴， ∴， 故A错误； ∵DE∥BC， ∴， 故B正确； ∵DF∥AC， ∴， 故C正确； ∵DE∥BC， ∴， 故D正确． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的对应边成比例正确地列出比例式是解题的关键． 6. 已知在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．若以点为位似中心，在平面直角坐标系内画出，使得与位似，且位似比为，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了网格图中作图，图中点的坐标表示，位似的定义和相似比的应用，掌握位似的作图是解题的关键．根据位似的定义和相似比，结合网格画出图形即可得出结果． 【详解】解：根据位似的定义和相似比，结合网格图，作出位似图形，如图所示，可以得出点的坐标为或， 故选：D． 7. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（　　） A. 方程x2﹣4x+3=0是3倍根方程 B. 若关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程，则m+n=0 C. 若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程 D. 若3m+n=0且m≠0，则关于x方程x2+（m﹣n）x﹣mn=0是3倍根方程 【答案】B 【解析】 【分析】通过解一元方程可对A进行判断；先解方程得到x1=3，x2=- ，然后通过分类讨论得到m和n的关系，则可对B进行判断；先解方程，则利用m+n=0可判断两根的关系，则可对C进行判断；先解方程，则利用3m+n=0可判断两根的关系，则可对D进行判断． 【详解】解：A. 解方程−4x+3=0得x1=1, x2=3，所以A选项的说法正确； B. 解方程得x1=3, x2=-,当−=3×3,则9m+n=0;当−=×3，则m+n=0，所以B选项的说法错误； C. 解方程得x1=3, x2=−,而m+n=0,则x2=1，所以C选项的说法正确； D. 解方程得x1=−m, x2=n,而3m+n=0,即n=−3m,所以x1=3 x2，所以D选项的说法正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查根与系数的关系, 一元二次方程的解，熟悉掌握是关键. 8. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ） A. AC＝BD B. ∠DAB＝90° C. AB＝AD D. ∠ADC+∠ABC＝180° 【答案】C 【解析】 【分析】首先证出四边形ABCD是平行四边形，再分别对各个选项分别进行判定是不是矩形即可． 【详解】解：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， 若AC=BD，则四边形ABCD是矩形， 故选项A不符合题意； 若∠DAB=90°，则四边形ABCD是矩形， 故选项B不符合题意； 若AB=AD，则四边形ABCD是菱形， 故选项C符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC=∠ABC， 若∠ADC+∠ABC=180°， ∴∠ADC=∠ABC=90°， 则四边形ABCD是矩形， 故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，关键是熟练掌握矩形的判定定理． 9. 为响应市委市政府提出的建设“绿色泰安”的号召，我市某单位准备将院内一块长，宽的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为多少米？注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程．设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为平方米列出方程求解即可． 【详解】解：设小道进出口的宽度为米，依题意得， 整理，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴． 即小道进出口的宽度应为米． 故选：D． 10. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接，，，，则的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，旋转的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设，则，证明，根据相似三角形对应边的比相等，列出方程进行求解即可． 【详解】，， ， ， 设，则 解得：或（舍去） ． 故选A． 二 、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 线段，线段，则线段的比例中项是________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，设线段的比例中项是c，则，即可求出c，正确理解比例中项定义是解题的关键． 【详解】解：设线段的比例中项是c，则 ∴ ∴（负值舍去） 故答案为：4． 12. 从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条,则能组成三角形的概率为___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：利用列举法得到所有四种结果，然后根据三角形三边的关系得到能组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解．从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，共有（3 5 6）、（3 5 9）、（3 6 9）、（5 6 9）四种等可能结果，其中能组成三角形的有（3 5 6）、（5 6 9）两种等可能结果，所以能组成三角形的概率==．故答案为． 考点：1.列表法与树状图法；2.概率公式. 13. 如图，用长度为32米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个面积为120米的长方形花圃．若设的长为x米，则根据条件能得到一个关于x的一元二次方程，该方程的一般形式为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程和一元二次方程的一般形式，根据矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：依题意得：， 整理，得． 故答案为：． 14. 如图，正方形ABCD的边长是a，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），作EG⊥CD于点G，EF⊥BC于点F，连接FG；①四边形EFCG是矩形；②四边形EFCG的周长是2a；③S△BEF+S△DEG＝2S△CFG；④FG的最小值是a，其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①证明∠EFC＝∠EGC＝∠C＝90°即可； ②证明△DEG是等腰直角三角形，DG＝EG＝x，GC＝DC﹣DG＝a﹣x，即可求出四边形EFCG的周长； ③分别求出S△BEF，S△DEG，S△CFG即可； ④当矩形RFCG是正方形时FG最小． 【详解】证明：①∵EF⊥BC，EG⊥DC ∴∠EFC＝∠EGC＝90° ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠C＝90° ∴四边形EFCG是矩形 故①正确； ②设EG＝x ∵EG∥BC ∠DEG＝∠DBC＝45° ∴△DEG是等腰直角三角形 ∴DG＝EG＝x，GC＝DC﹣DG＝a﹣x ∴四边形EFCG周长是（x+a﹣x）×2＝2a 故②正确； ③S△BEF•BF•EFEF2（a﹣x）2 S△DEGx2 S△BEF+S△DEG（a2﹣2ax+x2+x2）a2﹣ax+x2 S△CFGx（a﹣x）axx2，2S△CFG＝ax﹣x2 ∴S△BEF+S△DEG≠2S△CFG 故③错误； ④∵四边形FCGE是矩形 ∴GF＝EC ∴当CG⊥BD时即矩形EFCG是正方形时GF最小，即EC最小 ∵BC＝CD＝a ∴FG＝ECa 故④正确 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查正方形、等腰直角三角形的性质，矩形的判定和三角形面积，关键是对知识的认识和运用． 15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． 三 、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，解题的关键是选择合适的方法求解，因式分解法就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了． （1）利用公式法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ，． 17. 如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度． 【答案】16米 【解析】 【分析】过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，则，求出x即可解决问题． 【详解】解：过C作CE⊥AB于E， ∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°， ∴四边形CDBE为矩形， ∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2， 设AE＝x， ∴， 解得：x＝14， ∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 18. 已知：关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个实数根； （2）当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数； （3）我们定义：若一元二次方程的两个正实数根，满足，则称这个一元二次方程有两个“梦想根”．如果关于x的一元二次方程有两个“梦想根”，求k的范围． 【答案】（1）证明见解析（2）1（3）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法一元二次方程，解不等式组等知识；掌握一元二次方程根的判别式及正确解一元二次方程是解题的关键． （1）根据方程的判别式，可得答案； （2）因式分解法求出一元二次方程的两个根，根据互为相反数的和为零，可得关于k的方程，解方程，可得答案； （3）根据k的取值进行讨论，根据方程的梦想根，可得不等式组，解不等式组，可得答案． 【详解】解：关于x的一元二次方程， ， ， 关于x的一元二次方程有两个实数根； （2）关于x的一元二次方程， 解得：，， 由于方程的两个实数根互为相反数，得， 即， 解得； 所以当时，此方程的两个实数根互为相反数； （3）由（2）知，关于x的一元二次方程两个根为：，， 当时，，不符合题意； 当时，，，由，得， 解得； 当时，，，由，得， 解得； 综上所述：关于x的一元二次方程有两个“梦想根”，k的范围是： 或． 19. 如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且． （1）求证：； （2）若，延长交的延长线于点G，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）15 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，能够正确找到相似三角形是解决本题的关键． （1）利用“一线三直角”即可证明； （2）由，求出和的长，利用求出的长度，再由求出的长度，即可求出的长． 【小问1详解】 解： 四边形正方形， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ，， ， ， 设， ∵， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，，，连接BE． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求BE的长， 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定证明即可； （2）作EF⊥BD交BD延长线于点F，根据菱形的性质和三角函数解答即可． 【小问1详解】 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝OD， ∴四边形OCED是菱形； 【小问2详解】 解：∵∠AOB＝60°，AB＝2， 在菱形OCED中，OC＝CE＝ED＝DO， ∴△OCD、△CDE均为等边三角形， ∴OB＝OD＝DE＝CD＝2， 如图，作EF⊥BD交BD延长线于点F， ∵∠ODE＝60°+60°＝120°， ∴∠EDF＝60°， ∴DF＝1，EF＝， ∴BF＝BD+DF＝4+1＝5， ∴BE＝． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ （3）在（2）条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？ 【答案】（1）每次下降的百分率为； （2）每千克应涨价5元； （3）应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元． 【解析】 【分析】（1）设每次下降的百分率是x，找出等量条件列方程求解即可； （2）设每千克应涨价a元，利润为W，找出等量条件列方程求解即可； （3）根据（2）中的，求二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率是x，则由题意列方程得： 解之得：（舍去），， 故每次下降的百分率是； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价a元，利润为W，则由题意列方程得： 令，解方程得：或， ∵要尽快减少库存， ∴取，即每千克应涨价5元； 【小问3详解】 解：由（2）可得， 当时，W取最大值为6125元， ∴应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用：增长率问题，二次函数的实际应用：销售问题，解该类题的关键是找出等量条件列方程求解，将销售问题中的最大利润问题转化成求二次函数最值问题． 22. 在正方形中，点E在的延长线上，且，点F为边上一点，连接，作交射线于点G． （1）如图1，连接，若，判断的形状，并说明理由；[提示：连接] （2）如图2，若，试探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）等腰直角三角形，理由见解析； （2），证明见解析． 【解析】 【分析】（1）连接，可证，又，可证，再证，再根据，可证，根据可证≌，从而得到，可知为等腰直角三角形． （2）过点F作，交于点H，则，有，根据，可证，再证，根据可证≌，则有，而为等腰直角三角形，有，，则可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌（）， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形． 【小问2详解】 证明：如图，过点F作，交于点H，则． 由（1）知，． ∴． ∴，． ∴． 由（1），得， ∴， 同（1），得． 在和中， ∴≌（）． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等、勾股定理解直角三角形等知识，作出辅助线构造全等三角形是求解此题的关键． 23. 如图，为线段上一点，与交于点，，且交于点，交于点．  （1）直接写出图中的三对相似三角形； （2）连接，当时，求证：； （3）在（2）条件下，若，，，求的长． 【答案】（1），，； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形、等腰三角形的性质， （1）由可求得，即可证，然后由是公共角，是公共角，证得，； （2）由，根据相似三角形的对应边成比例，可得，又由，即可证得，然后由，证得； （3）由，可得是等腰直角三角形，又由，可得，即可求得的长，继而求得与的长，继而求得答案． 【小问1详解】 解：，，， ， ，  又是公共角，是公共角，  ，．  故答案为：，，； 【小问2详解】 证明： ，  ，  ，  ，即，  ，  ∴； 【小问3详解】 连接，当时，可得且，  为的中点，  ．  ，  ，  ，  ，  ，，  ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级（上）期中数学模拟卷 考试范围：1-4章；考试时间：100分钟；命题人：姚老师 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列性质中，菱形具有但矩形不一定具有是（ ） A. 对边相等 B. 对边平行 C. 对角相等 D. 对角线互相垂直 2. 如图，在中，，若，为边上中线，则的长为（　　） A. B. C. D. 3. 下面说法正确的是（ ） A. 是一元二次方程 B. 方程解为 C. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 D. 已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为1 4. 一个密闭不透明盒子里由若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入10个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复，共摸球200次，其中40次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球( ) A. 30个 B. 35个 C. 40个 D. 50个 5. 如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（　　 ） A. B. C. D. 6. 已知在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．若以点为位似中心，在平面直角坐标系内画出，使得与位似，且位似比为，则点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（　　） A. 方程x2﹣4x+3=0是3倍根方程 B. 若关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程，则m+n=0 C. 若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程 D. 若3m+n=0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn=0是3倍根方程 8. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ） A. AC＝BD B. ∠DAB＝90° C. AB＝AD D. ∠ADC+∠ABC＝180° 9. 为响应市委市政府提出的建设“绿色泰安”的号召，我市某单位准备将院内一块长，宽的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为多少米？注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接，，，，则的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 二 、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 线段，线段，则线段的比例中项是________． 12. 从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条,则能组成三角形的概率为___． 13. 如图，用长度为32米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个面积为120米的长方形花圃．若设的长为x米，则根据条件能得到一个关于x的一元二次方程，该方程的一般形式为_________________． 14. 如图，正方形ABCD的边长是a，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），作EG⊥CD于点G，EF⊥BC于点F，连接FG；①四边形EFCG是矩形；②四边形EFCG的周长是2a；③S△BEF+S△DEG＝2S△CFG；④FG的最小值是a，其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号） 15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 三 、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2） 17. 如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度． 18. 已知：关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个实数根； （2）当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数； （3）我们定义：若一元二次方程的两个正实数根，满足，则称这个一元二次方程有两个“梦想根”．如果关于x的一元二次方程有两个“梦想根”，求k的范围． 19. 如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且． （1）求证：； （2）若，延长交的延长线于点G，求的长． 20. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，，，连接BE． （1）求证：四边形OCED菱形； （2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求BE的长， 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ （3）在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？ 22. 在正方形中，点E在的延长线上，且，点F为边上一点，连接，作交射线于点G． （1）如图1，连接，若，判断的形状，并说明理由；[提示：连接] （2）如图2，若，试探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 23. 如图，为线段上一点，与交于点，，且交于点，交于点．  （1）直接写出图中的三对相似三角形； （2）连接，当时，求证：； （3）在（2）条件下，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$