2.1 椭圆 同步练习-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.1椭圆 练习 一、单选题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 3．已知椭圆 ，过点且倾斜角为 的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 5．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 6．已知椭圆：经过点，右焦点为，，分别为椭圆的上顶点和下顶点，若过且斜率存在的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率分别为和，则的值为（   ） A．1 B．3 C．2 D． 7．已知椭圆，若圆心在坐标原点，直径为a的圆与该椭圆有四个交点，则称该椭圆为“圆椭圆”，则下列椭圆中是“圆椭圆”的是（    ） A． B． C． D． 8．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（    ） A． B． C．12 D． 二、多选题 9．已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（    ） A．长轴长为6 B．两个焦点的坐标分别为， C．的最大值是5 D．的周长为12 10．已知椭圆，下列结论正确的是（    ） A．椭圆的长轴长是 B．椭圆的短半轴长是4 C．经过椭圆焦点的最短弦长是 D．椭圆的焦点坐标分别是 11．已知椭圆，则（   ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 三、填空题 12．过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 13．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围 . 四、解答题 14．求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 15．已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 参考答案 1．B 【分析】由椭圆定义得到，结合，相加得到周长. 【详解】由题意得，故，， 由椭圆定义得， 故的周长为. 故选：B 2．D 【分析】利用椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【详解】若方程表示椭圆， 则，解得或， 所以方程表示椭圆的充要条是或. 故选：D. 3．A 【分析】记，反射点为，由直线的方程联立求得点坐标，而在直线上得出的关系，从而求得离心率． 【详解】， 由题意直线方程为，直线的方程为， 由解得， 点在直线上，则， ，由得， 解得（负值舍去）， 故选：A． 4．C 【分析】根据椭圆的定义及基本不等式求解即可. 【详解】由已知得，，， 设，则，所以， 从而或时取最小值为4. 故选：C. 5．D 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 6．B 【分析】由已知可得关于，，的方程组，从而可得，的值，从而可得椭圆的方程；设直线，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，利用两点的斜率公式表示出和，作比，结合根与系数的关系即可求解． 【详解】由题意可知，，， 椭圆的标准方程为． 设直线：，联立直线和椭圆方程， ，得 ，记，， 则， 由题意知和．则，， 则， 所以． 故选：B 7．B 【分析】根据题意可得，依次判断各选项即可得出结果． 【详解】根据题意可得：，即， 对于A选项，椭圆方程为，则，不符合，故A错误； 对于B选项，椭圆方程为，则，符合，故B正确； 对于C选项，椭圆方程为，则，不符合，故C错误； 对于D选项，椭圆方程为，则，不符合，故D错误. 故选：B． 8．C 【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以， 即实数的值为12. 故选：C 9．AC 【分析】先把椭圆C方程化为，然后结合椭圆定义和性质等一一判断即可. 【详解】椭圆化为， 于是，，所以长轴长为，A正确； 由方程可知，椭圆C的两个焦点在y轴上， 又，所以两个焦点的坐标分别为，，B错误; 由椭圆的性质知的最大值为，C正确; 根据椭圆的定义知的周长，D错误. 故选：AC. 10．AC 【分析】根据椭圆的几何性质求解判断. 【详解】因为椭圆方程为，所以，，则， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为， 经过椭圆焦点的最短弦长为，焦点坐标为，， 所以A正确，B错误，C正确，D错误. 故选：AC. 11．ACD 【分析】根据椭圆几何性质逐一判断即可. 【详解】因为，且椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的长轴长为10，顶点为，焦距为8，离心率. 故选：ACD 12． 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 13． 【分析】根据方程表示椭圆得到不等式，求出的取值范围. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，设椭圆方程为，代入点解出即可； （2）设椭圆方程为，代入两点解出即可； （3）设椭圆方程为，代入点解出即可； 【详解】（1）由题意可得，设椭圆方程为， 由点在椭圆上可得， 又， 由以上两式消去并整理可得，解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆方程为， （2）设椭圆方程为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为， （3）由题意可设椭圆方程为， 代入，可得，整理可得， 解得或（舍去） 所以椭圆方程为， 15．(1) (2)存在， 【分析】（1）由焦距是4求出，将代入椭圆方程求出，得到答案； （2）根据题意有，转化为，由韦达定理代入运算得解. 【详解】（1）由题意，，将点代入椭圆方程得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）在轴上存在点使得，理由如下： 设,直线， 联立与椭圆可得， 则， 因为，所以，即， 整理得，即， 即， 则，又，解得， 所以在轴上存在点使得. 学科网（北京）股份有限公司 $$